周期和隨機聯合激勵作用下滯回系統非平穩隨機響應的一種近似方法

孔 凡，沈子恒，何 衛，李書進

(1.武漢理工大學 土木工程與建筑學院，武漢 430070;2.中國地質大學(武漢) 工程學院，武漢 430074)

隨機振動分析方法已被廣泛地應用于工程科學的各個領域。由Booton[1]和Caughey[2]先后提出的統計線性化(statistical linearization,SL)方法是解決非線性系統隨機振動最常用方法之一[3]。該方法的可靠性在幾個典型的非線性隨機動力系統中得到了驗證，例如Duffing振子[4-5]、Van der Pol振子[6]、雙線性[7]和Bouc-Wen模型[8]滯回動力系統等。然而，多數研究均集中于隨機動力系統的平穩隨機動力響應。

在地震工程領域，隨機過程常用來描述地震動的隨機性。目前，常見的隨機地震動的平穩色噪聲模型有金井清模型[9]、Clough-Penzien模型[10]、歐進萍-牛荻濤模型[11]和彭凌云模型[12]等。然而，實際地震加速度的數據記錄表明地震動中存在明顯的非平穩特性。研究表明，該特性對結構響應的影響不可忽略。Priestley[13]提出通過調制函數描述非平穩激勵，為隨機過程非平穩性提供了理論基礎。基于此理論，大量研究者[14-19]開始使用非平穩激勵模擬地震動或大氣湍流。

有些實際工程中，工程或機械系統會同時受到確定性周期和隨機激勵的聯合作用，例如地震中的旋轉機械[20-21]、風力作用下行進中的列車[22]、大氣湍流作用下的風力發電機葉片[23]以及近場地震作用下的結構[24]等。Bouc-Wen模型常用來模擬隔震結構的滯回特性[25-26]。因此，求解非平穩隨機激勵和確定性周期激勵共同作用下的Bouc-Wen滯回系統動力響應是有實際意義的。

最近，本文作者和其他作者發展了非線性(包括滯回)系統在聯合激勵作用下平穩響應的統計線性化方法[27-28]。本文可視為上述平穩方法在非平穩響應方面的拓展：它是一種用于求解非平穩隨機激勵和確定性諧波聯合作用下，單自由度滯回系統非平穩響應的統計線性化方法。該方法的關鍵在于：將系統響應分解為確定性諧波和零均值隨機分量之和。由此，將原運動方程等效地化為兩組耦合的、分別以確定性和隨機動力響應為未知量的非線性微分方程。隨后，利用統計線性化方法處理非平穩隨機激勵下的隨機運動(子)方程，并由此導出關于隨機響應分量二階矩的Laypunov微分方程。將Laypunov微分方程與確定性非線性運動微分方程聯立，并利用龍格庫塔法求解。最后，數值算例驗證此方法的適用性和精度。

1 動力學方程

單自由度滯回系統在確定性諧波和非平穩隨機激勵聯合作用下的運動方程為

(1)

Q(t)=a(t)QS(t)

(2)

式中：QS(t)為譜強度為S0的零均值白噪聲；a(t)為確定性調制函數；z(t)為系統滯回位移，采用Bouc-Wen滯回模型描述

(3)

式中，A,n,γ和β均為Bouc-Wen系統參數。注意到，本文發展的方法亦可用于非平穩色噪聲和其他非線性滯回模型的情況；限于篇幅，不在本文中討論。特別地，當n=1時，式(3)化為

(4)

假定式(1)的非線性響應x(t)和z(t)均可分解為確定性諧和分量和零均值隨機分量之和，即

(5)

(6)

(7)

對式(7)兩邊求期望得

(8)

用式(7)減去式(8)得

(9)

同樣地，將式(5)和式(6)代入式(4)中，可得

(10)

對式(10)兩邊求期望得

(11)

用式(10)減去式(11)得

(12)

其中，利用統計線性化方法經常采用的響應高斯假定，可得

(13)

(14)

2 統計線性化方法求解隨機分量

(15)

式中：

分別為質量、阻尼、剛度矩陣和激勵向量；Φ=[φ1,φ2]T，且φ1=0

(16)

將式(15)線性化為

(17)

式中，

分別為等效阻尼和等效剛度矩陣，且

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

采用線性隨機振動的狀態空間方法，求解等效線性系統中未知響應統計量σx,σz和ρ與等效參數ke和ce的關系。為此，使用狀態空間方法表示式(17)，如下

(24)

其中,

(25)

通過與式(24)對應的Lyapunov微分方程

(26)

(27)

其中，

Λ(t)=2πS0a2(t)

(28)

考慮到V是對稱陣，則可將式(26)化為關于6個獨立未知量(v11,v12,v13,v22,v23,v33)的6個耦合的代數方程，即

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

3 數值算例

3.1 簡諧激勵頻率與幅值均不變的情況

取正歸化Bouc-Wen滯回系統的參數為m=1,ζ=0.3,ωn=1；取共振情況的確定性諧波激勵參數為F0=0.5,ω0=1。此時，運動方程為

(35)

其中，

Q(t)=a(t)QS(t)

(36)

a(t)=exp(-μt)-exp(-υt)

(37)

式中：μ，υ為控制調制函數a(t)非平穩性的參數；QS(t)的譜強度取為S0=4ζ/π。

利用軟化和硬化Bouc-Wen系統作為算例驗證所提方法的適用性。其中，軟化Bouc-Wen系統的滯回參數取為A=1,γ=0.5,β=0.5,n=1,α=0.1；硬化Bouc-Wen系統β=-0.35,γ=0.65，其他參數與軟化系統相同。本文建議方法(proposed method,PM)與Monte Carlo模擬(Monte Carlo simulation,MCS)的結果對比如圖1～圖4所示。MCS中涉及的樣本激勵由譜表現法生成。圖1和圖2為軟化Bouc-Wen系統響應的對比結果：可見，本文建議方法得到的響應均值和標準差與15 000個樣本的MCS估計的結果吻合良好，且能較好地捕捉到響應的非平穩性。注意到，本文建議方法與MCS得到的響應(特別對于滯回位移)標準差均出現了類似簡諧的抖動，這是由于確定性和隨機性響應耦合效應造成的。

為方便對比，對MCS和建議方法得到的標準差函數求時間平均，即

(38)

式中：T為時長；σ(t)為求得的標準差，并依此進行誤差分析。在圖1(a)所示的確定性位移響應對比中，二者得到的穩態幅值相差-3.75%；圖1(b)中，二者得到的標準差時間平均值相差-2.67%。圖2(a)和圖2(b)所示的滯回位移響應對比中，二者得到的均值穩態幅值相差-5.12%，而標準差時間平均值相差-2.98%。

圖1 聯合激勵下軟化Bouc-Wen系統在聯合激勵下的位移Fig.1 Displacement of a softening Bouc-Wen system subjected to combined excitation

圖2 聯合激勵下軟化Bouc-Wen系統在聯合激勵下的滯回位移Fig.2 Hysteretic displacement of a softening Bouc-Wen system subjected to combined excitation

(39)

同樣地，所建議方法對硬化系統也有很好的計算精度，如圖3和圖4所示。具體而言，二者得到的位移響應均值的幅值相差-7.08%，標準差時間平均值相差-6.12%；滯回位移均值的幅值相差-9.93%，標準差時間平均值相差-4.32%。以上誤差均在統計線性化方法的合理范圍之內。

圖3 聯合激勵下硬化Bouc-Wen系統在聯合激勵下的位移Fig.3 Displacement of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined excitation

圖4 聯合激勵下硬化Bouc-Wen系統在聯合激勵下的滯回位移Fig.4 Hysteretic displacement of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined excitation

本文的參數選擇均使滯回曲線飽滿，呈明顯非線性。軟化Bouc-Wen系統和硬化Bouc-Wen系統在諧波與隨機激勵樣本聯合激勵樣本聯合作用下的滯回曲線由圖5(a)和圖5(b)所示。可見，隨機擾動使系統響應不能形成閉合的滯回環。

圖5 聯合激勵下Bouc-Wen系統在聯合激勵下的滯回環樣本Fig.5 A sample hysteresis loop of two Bouc-Wen models subjected to combined excitation

3.2 簡諧激勵頻率的影響

當諧波激勵接近系統自振頻率或者諧波激勵幅值增大時，諧波響應分量μx,μz增大。由于確定性諧和分量作用下的運動方程與零均值隨機分量作用下的運動方程是耦合的，所以，諧波響應分量會對隨機響應分量產生影響。因此，討論諧波激勵在不同幅值與頻率下該方法的適用性是非常重要的。

圖6 聯合激勵下軟化Bouc-Wen系統隨機響應分量標準差的時間平均與諧和激勵頻率之間的關系Fig.6 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different frequencies

當諧波激勵的幅值分別為F0=0.5和F0=1.0時，本文所提出方法與Monte Carlo模擬得到的確定性響應穩態幅值對比如圖7(a)和圖7(b)所示。由圖可見，該情況下本文所建議方法得到的結果與Monte Carlo模擬得到估計值符合良好。此外，本文所建議方法的精度在確定性響應穩態幅值方面要高于標準差時間平均值。

圖7 聯合激勵下軟化Bouc-Wen系統均值響應分量平穩幅值與諧和激勵頻率之間的關系Fig.7 Amplitude of the stationary deterministic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different frequencies

圖8 聯合激勵下硬化Bouc-Wen系統隨機響應分量標準差的時間平均與諧和激勵頻率之間的關系Fig.8 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different frequencies

圖9 聯合激勵下硬化Bouc-Wen系統均值響應分量平穩幅值與諧和激勵頻率之間的關系Fig.9 Amplitude of the stationary deterministic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different frequencies

3.3 簡諧激勵幅值的影響

圖10 聯合激勵下軟化Bouc-Wen系統隨機響應分量標準差的時間平均與諧和激勵幅值之間的關系Fig.10 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different amplitudes

圖11 聯合激勵下軟化Bouc-Wen系統均值響應分量平穩幅值與諧和激勵幅值之間的關系Fig.11 Amplitude of the stationary deterministic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic and harmonic excitation with different amplitudes

圖12 聯合激勵下硬化Bouc-Wen系統隨機響應分量標準差時間平均與諧和激勵幅值之間的關系Fig.12 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different amplitudes

圖13 聯合激勵下硬化Bouc-Wen系統均值響應分量幅值與諧和激勵幅值之間的關系Fig.13 Amplitude of the stationary deterministic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different amplitudes

3.4 隨機激勵強度的影響

圖14 聯合激勵下軟化Bouc-Wen系統隨機響應分量標準差與隨機激勵強度之間的關系Fig.14 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined harmonic excitation and stochastic excitation with different strength

圖15 聯合激勵下硬化Bouc-Wen系統均值響應分量平穩幅值與隨機激勵強度之間的關系Fig.15 Amplitude of the stationary deterministic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined harmonic excitation and stochastic excitation with different strength

圖16 聯合激勵下硬化Bouc-Wen系統隨機響應分量標準差的時間平均與隨機激勵強度之間的關系Fig.16 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined harmonic excitation and stochastic excitation with different strength

圖17 聯合激勵下軟化Bouc-Wen系統均值響應分量平穩幅值與隨機激勵強度之間的關系Fig.17 Amplitude of the stationary deterministic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined harmonic excitation and stochastic excitation with different strength

本文所建議方法對于不同的α的滯回動力系統同樣適用，限于篇幅，茲不贅述。

4 結 論

本文提出了一種求解Bouc-Wen滯回系統在確定性諧波與非平穩隨機激勵聯合作用下，非平穩響應的統計線性化方法。該方法將系統響應表示為確定性諧波和零均值隨機分量之和，進而以兩組耦合的非線性微分方程(分別以諧波和隨機響應為未知量)等效地替代原滯回運動方程。隨后，利用統計線性化方法處理非平穩隨機激勵下的隨機運動方程，導出了關于隨機響應分量二階矩的Lyapunov微分方程。將Lyapunov方程與確定性非線性微分方程聯立，并利用龍格庫塔法求解了上述耦合微分方程組。最后，以軟化和硬化Bouc-Wen系統為數值算例，在不同參數設置的情況下，對系統響應進行廣泛的數值分析，驗證了所建議方法的適用性。結果表明：在考慮的參數設置情況下，所建議方法具有合理的精度。

注意到，本文提出的基于統計線性化方法求解聯合激勵下滯回系統非平穩隨機動力響應的思路，具有較大的適用性范圍。因此，更適合于聯合激勵下工程結構系統隨機動力分析。此時，利用Lyapunov方程求解等效多自由度線性系統的隨機響應二階矩時，其復雜程度隨著自由度的增加而迅速提升。因此，可考慮使用狀態空間內復模態分析的方法降低計算量。