組合激勵下冷軋機工作輥水平振動特性研究

李 麗，郝宇超，李 震

(1.北京科技大學 機械工程學院，北京 100083；2.內蒙古科技大學 機械工程學院，內蒙古 包頭 014010)

板帶軋機工作過程中普遍存在著明顯振動現象。在軋機多種振動形態中，存在著復雜機電液耦合振動問題[1-3]。其中機械結構振動方向的研究重點集中在軋機垂振、扭振、水平振動以及相互耦合等振動問題[4-7]。

毛君等[8]為對軋機振動進行精確的分析，建立軋機六自由度的垂直振動模型，對系統的固有頻率和主振型進行分析得到第五階固有頻率是引起自激振動的主要頻率。魏靜靜等[9]為分析波紋輥軋機振動問題，建立四自由度垂振模型，通過有限元仿真發現在垂直方向振動較為明顯。和東平等[10]考慮波紋輥軋機界面的非線性因素，建立了兩自由度垂直非線性激勵模型，為抑制軋機振動提供了理論指導。米凱夫等[11]基于小波分析和分形理論，為準確監視軋機振動提供了有效的識別方法。吳繼民等[12]考慮到軋機會受到電磁力矩和軋制力矩雙動力源的作用，建立了雙自由度的軋機傳動等效力學模型，通過復小波變換對非線性參數進行辨識，提出來抑制軋機振動的有效方法。有關學者[13-14]提出一種新的主動振動抑制方法，利用擾動估計和補償算法設計了基于擴張狀態觀測器的主動減振器。高崇一等[15]建立了軋機主傳動系統與帶鋼的耦合振動模型，將帶鋼簡化為Euler梁，分析了扭振基頻對帶鋼振動的影響。侯東曉等[16]通過分析輥系垂直位移與扭轉振動角對動態軋制力和力矩的影響建立了非線性垂直-扭轉振動力學模型。為研究單架機架以及多架機架之間的顫振，王橋醫等[17-18]結合輥系多模態結構模型建立了輥系垂直及水平方向的多模態模型以及機架之間的耦合模型。Lu等[19]對軋制過程軋機在垂直-水平-扭轉的動態耦合、非線性、多輥平衡等因素進行分析，得出振動系統的分叉點存在性和分叉特點。張陽等[20]綜合軋機系統垂直、水平方向的剛性振動和軋輥軸向彎曲變形建立了剛柔耦合動力學模型，得出軋輥模態振型的解析解，為提高軋制精度提供理論依據。

本文以某冷軋機工作輥為研究對象，建立了外激勵由頻率不等的三個部分組成的非線性動力學模型。分析三種外激勵頻率在接近系統固有頻率時，系統各參數對振動的影響，建立了相應的動力學方程，分析了工作輥在水平方向的振動特性，為研究軋機水平振動提供了合理的理論依據。

1 建立軋機輥系非線性動力學模型

板帶軋制是一個復雜的工作過程。為研究冷軋機工作輥機械結構水平方向的非線性振動特性，建立軋機工作輥機械結構非線性模型如圖1所示。板帶軋制過程中存在復雜的軋制界面，輥縫的非穩態潤滑會產生復雜的摩擦力Ff。在輥系機械結構中，工作輥與支撐輥之間會存在一定的偏移距，使液壓缸通過支撐輥傳遞給工作輥的壓下力Fp產生一個水平方向的分力。又由于萬向接軸的存在，主傳動方向會有附加彎矩和摩擦彎矩的產生，其水平方向投影之和為附加水平彎矩，在工作輥軸徑位置會產生附加水平力Fws引起軋機的振動。

圖1 工作輥水平振動動力學模型Fig.1 Dynamic model of horizontal vibration of work roll

輥縫摩擦可以用等效摩擦力來表示

Ff=AFa+(1-A)Fb

(1)

式中：A為真實接觸面積比；Fa為邊界潤滑摩擦；Fb流體動力潤滑摩擦力；θ1為摩擦力水平方向夾角。等效摩擦力在水平方向的分力為

F1=Ff×cosθ1

(2)

液壓缸通過支撐輥傳遞給工作輥的水平分力[21]可以表示為

F2=Fpsinθ=Ptanθ

(3)

由式(2)可知，液壓缸外激勵水平分力與系統軋制力P相關，其中θ為軋機工作輥質心與支撐輥質心連線垂直方向的夾角。

附加水平力[22]可表示為

(4)

式中：φ1，φ2分別為萬向接軸和工作輥的旋轉角；a為接軸和軋輥軸線夾角；M1為作用在萬向接軸的扭矩。

(5)

由于系統激振力由頻率不等的三部分組成，基于牛頓定律建立軋機工作輥水平方向運動微分方程

(6)

式中：K1，K2，K3和C1，C2，C3分別為板帶、支承輥、牌坊立柱與工作輥之間的剛度和阻尼；ΔX為軸承座與牌坊立柱之間的間隙；ω1，ω2，ω3為系統三項激勵不等激振頻率。

基于Duffing振子和Rayleigh振子的非線性特性建立軋機系統的動力學模型[25]。

(7)

2 軋機水平振動響應求解

對式(7)進行無量綱處理

(8)

并考慮到弱非線性情況引入小參數ε，得到微分方程為

(9)

根據多尺度法[26]的基本思想，引進自變量

Tn=εnt,n=0,1

(10)

因此關于t的導數變成了關于Tn的偏導數的展開式，即

(11)

將式(11)代入式(7)中，整理方程為

(12)

系統激振力由頻率不等的三部分組成

(13)

假定方程的解為

(14)

將式(14)代入式(12)中，令方程兩端的ε0和ε的系數相等，就得到

(15)

式(13)第一個方程的通解為

(16)

其中，

(17)

將式(16)代入式(15)第二個方程，結果會得到單頻激勵項、多個頻率激勵項，包括兩個激勵項以及三個激勵項。

(18)

當滿足式(19)條件時，可以消除永年項。

(19)

(20)

經過計算可以得到系統永年項為

(21)

(22)

對式(22)中實虛部分離，令

得到

(23)

得到組合共振的幅頻響應方程為

(24)

3 工作輥組合共振仿真分析

為研究冷軋機在多種激勵下的組合共振現象，以某冷軋機為例，根據工藝參數及結構尺寸取以下參數：

m=2×104kg、工作輥半徑R=0.3 m、壓下量ΔH=0.32 mm、A1=2.533×109N·m-1、A2=2.952×1019N·m-1、B1=1.087×106N·s·m-3、B2=1×1010N·s3·m-3、τb=15 MPa、M1=9.98×106N·m、a=7.6° 計算值為：

ω0=1、γ=1.165、η=0.017 8、α=0.153、f1=6、f2=1.25、f3=3.25。

3.1 組合激勵下系統幅頻響應仿真研究

在存在三項不同頻率的組合共振中，剛度系數的變化對軋機振動狀態存在一定的影響。

如圖2和圖3所示，隨著剛度項系數的變化，脊骨線位置也會發生偏移，會影響到軋機的固有頻率，尤其在圖2中，線性剛度系數的微小變化，直接影響到軋機固有頻率，并且隨著線性剛度系數的增加，組合共振位移響應減小，振動峰值降低，說明選取適當線性剛度系數，能有效避開共振區域。

圖2 線性剛度變化組合共振幅頻曲線Fig.2 Common amplitude-frequency curve of linear stiffness change combination

圖3 非線性剛度變化組合共振幅頻曲線Fig.3 Common amplitude-frequency curve of nonlinear stiffness change combination

圖4所示為軋機線性阻尼系數變化對系統幅頻特性的影響，圖4(a)所示，隨之線性阻尼系數的變化，系統脊骨線位置及彎曲度不會發生改變。圖4(b)所示隨這系統線性阻尼的增大，系統振動幅值降低。但線性阻尼系數的微小變化，并不會使系統振動有明顯變化。

圖4 線性阻尼變化組合共振幅頻曲線Fig.4 Common amplitude frequency curve of linear damping change combination

圖5所示，類似與線性阻尼系數，隨之二次項阻尼系數增加系統振動幅值逐漸減小，相比與圖4非線性阻尼系數的微小變化對軋機振動影響明顯。

圖5 非線性阻尼變化組合共振幅頻曲線Fig.5 Common amplitude-frequency curve of nonlinear damping change combination

3.2 組合激勵下系統響應仿真研究

據式(6)，由軋機結構計算的到的參數進行數值仿真求解，得到系統固有頻率為18 Hz,對軋機在組合激勵情況下系統水平振動仿真響應如圖6所示。圖6(a)為軋機水平振動位移，圖6中可以看出，系統振動存在明顯的非對稱現象，即軋機水平振動方向存在著非對稱結構，由于工作輥軸承與牌坊立柱之間存在著間隙，軋機工作時會產生撞擊現象，對生產設備產生影響。

圖6(b)為系統在組合激勵下的水平位移響應對應頻譜，圖中明顯表示振動系統的水平位移呈周期、倍周期運動。圖6(c)為水平系統響應相圖，圖6(d)是其龐加萊截面圖，圖中存在有限個數的點，進一步證明系統處于穩定周期運動，此時系統穩定。

圖6 組合振動仿真響應Fig.6 Combined vibration simulation response

3.3 外擾激勵幅值對系統分岔行為的影響

圖7 當n=0.25時系統振動特征Fig.7 n=0.25 system vibration characteristics

圖8 當n=0.55時系統振動特征Fig.8 n=0.55 system vibration characteristics

圖9 當n=0.8時系統振動特征Fig.9 n=0.8 system vibration characteristics

圖10 當n=1.1時系統振動特征Fig.10 n=1.1 system vibration characteristics

由圖6(c)和圖6(d)所示，此時幅值參數為1，得到的龐加萊界面為多個不動的點，此時系統處于倍周期，同樣當n=0.55和n=1.10時，系統在截面上留下有限個離散的點，也是屬于倍周期運動，此時系統是穩定的。但在n=0.25和n=0.80時系統在界面上留下成片的點集且具有相似性，故此種狀態下水平振動系統處于混沌周期，此時系統不穩定。

為研究組合振動中外擾力幅值對軋機水平振動周期特征的影響分布，對非線性系統進行更深入的數值仿真的到對應的分叉圖。如圖11當n在0.01～0.30時處于混沌周期隨后過度進入一段范圍的倍周期狀態(0.30～0.62)，再過度到混沌周期狀態，當n值快接近1及往后系統一直處于穩定的倍周期運動狀態，與圖7～圖10仿真結論吻合。

圖11 幅值變化的系統分叉圖Fig.11 Bifurcation diagram of the system with amplitude changes

3.4 系統水平結構間隙對振動位移的影響

在圖6(a)中得出，在軋機水平系統中由于軸承座與牌坊立柱存在間隙，造成系統的碰撞。圖12(a)為21組系統響應時間在0.5～2.5 s時的位移響應圖，在圖12(b)中可知，系統存在間隙時，水平振動位移為非對稱的，但是隨著間隙的減小，系統振動正負位移差會逐漸減小，同時系統正負位移趨于對稱，在間隙為0時，系統最為穩定。證明減小軸承座與牌坊立柱之間的間隙，能極大減小系統振動位移，降低設備碰撞損害。

圖12 軋機間隙變化水平振動響應圖Fig.12 Horizontal vibration response diagram of rolling mill gap change

4 結 論

本文建立冷軋機在組合激勵下，上工作輥水平振動動力學模型，經過計算仿真得到如下結論：

(1) 當三種激勵頻率之和接近固有頻率時，計算得到系統的幅頻特性響應方程，通過仿真發現，由于二次項剛度系數的存在，系統的幅頻特征曲線會出現脊骨線彎曲，出現明顯的跳躍和滯后現象，使在兩次跳躍之間出現不穩定區域。通過對系統剛度系數和阻尼系數的調整，有效避開系統振動區域減小振動幅值。

(2) 通過系統響應仿真發現，由于軋機軸承座與牌坊立柱存在間隙，致使在組合激勵下系統水平振動非對稱位移，又通過對系統頻譜圖、相圖及龐加萊截面圖的分析發現此時在組合激勵下，系統屬于周期、倍周期運動。通過改變系統組合激振力的幅值發現系統隨系統激勵幅值的變化，系統振動周期倍周期與混沌周期特征會交替出現，仿真發現外激勵幅值取一定范圍時有利于抑制軋機水平系統混沌運動的產生。改變系統水平方向的結構間隙，發現隨著間隙的減小不僅會降低系統的撞擊現象還會降低水平振動幅值，有利于抑制軋機的水平振動。