L型管路系統動力學有限元建模及基于遺傳算法的卡箍支撐位置優化

高志輝，王東海，孫 偉，汪 博

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819；2.東北大學 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，沈陽 110819)

航空發動機管路系統結構復雜，主要用于完成燃油、滑油、空氣等介質的輸送。由于內部空間有限，給管路系統安裝、約束、維護帶來很多限制，導致純直管管路較少，更多的是L型、Z型或者更為復雜的空間異面管路。本文以L型管路為對象開展相關研究。

航空發動機管路在工作過程中會受到轉子、傳動組件和泵源壓力脈動的激勵而產生振動，過大的振動可能會導致卡箍松動、接頭裂紋等故障[1]，因而需要研究有效減少管路系統過大振動的方法。管路中卡箍的力學特性(主要是支撐剛度及阻尼)直接影響管路系統的動力學特性，因而在設計階段通過調整卡箍布局使其有效避開發動機轉子的激振頻率通常被認為是一種最簡單、最經濟的減振方法[2]。

為了完成以避振為目標的管路系統支撐位置優化，首先要研究創建管路系統的動力學模型作為優化研究的基礎模型。當前對管路系統動力學建模的眾多方法中，有限元法是一種最重要的方法，典型研究諸如Wu等[3]推導出了一種水平曲梁單元，將其用于有一定弧度的彎曲結構自由振動分析。Fonseca等[4]提出位移場由一組三角函數或五階多項式定義的有限彎曲殼單元，來解決受面內彎曲力作用的彎管應力分析問題。Zhai等[5]選用Timoshenko梁單元，推導出輸流管道的剛度矩陣及質量矩陣，建立了動力學有限元方程并執行了隨機激勵下管路系統動態響應計算。Gao等[6]基于Euler-Bernoulli梁理論，采用有限元方法建立了輸流管道的運動方程，通過引入人工彈簧來模擬任意邊界條件，提出了一種基于模態綜合的管道模型降階的有效求解方法。上述針對管路有限元建模的理論研究，所針對的對象或者是圓弧形彎管或者是直管，并未考慮直管與彎管部分的結合，因而相關有限元理論并不適用于同時含有彎管及直管的L型管路的建模。

當前，以減振為目標的管路卡箍位置優化已開展了部分研究。例如Zhang等[7]通過非概率靈敏度分析，研究了航空液壓管路系統中卡箍的設計問題，針對不同位置的卡箍，篩選出對最大應力響應、最大位移響應和一階固有頻率不敏感的個體，進一步執行了卡箍布局優化以提升管路系統的抗振性。李鑫等[8]通過優化飛機液壓系統的卡箍布局方式，降低了系統激振源頻率點的特征阻抗加權和。權凌霄等[9]采用ANSYS軟件平臺中的靈敏度分析工具，分析航空液壓管路支架參數對振動響應的靈敏度，在此基礎上，采用多目標遺傳算法對管路支架布局進行優化設計。Tang等[10]以卡箍位置為設計變量，以累積疲勞損傷失效概率為優化目標，建立了減振優化模型并執行了卡箍布局優化。陳艷秋等[11]利用NSTRAN軟件分析了航空管路系統的動力學特性，并用遺傳算法對管路系統分別進行調頻和調幅的卡箍布局優化。翟紅波等[12]綜合考慮了管路系統優化設計變量，通過優化卡箍位置、剛度和管徑提高了系統的首超可靠性。Zhang等[13]分析了多卡箍支撐的管路系統，得到了卡箍位置的靈敏度，以避振和減小應力為目標用多目標遺傳算法進行優化設計。劉偉等[14]分析了結構參數對管路系統基頻和隨機振動的靈敏度，在此基礎上，分別以基頻與激振頻率差值最大化及隨機振動響應均方差最小化為目標，對卡箍位置進行優化設計。上述關于卡箍布局優化研究多集中于使用工程有限元分析軟件，劃分網格時會降低計算效率，且主要針對的是航空或者輸油氣管路。目前以航空發動機管路為對象或者背景以避振為目標的卡箍布局優化研究還不充分。

另外，由于航空發動機空間限制，卡箍有時不一定能處于優化結果對應的最優位置，但其處于一定范圍時，也可滿足避振需要。因而，在管路設計中，對于一個特定的卡箍存在一個滿足避振要求的容許移動范圍，這里命名為“安全域”。以作者的認知，目前還沒有對這個“安全域”開展充分的研究。

本文以L型管路為研究對象，研究管路系統動力學有限元建模及基于遺傳算法以避振為目標的卡箍支撐位置優化方法。具體包括：提出了“以直代曲”的L型管路有限元建模方法；創建了以避振為目標的卡箍布局優化模型以及描述了基于遺傳算法求解該優化模型的方法；進行了實例研究，在用試驗校驗有限元模型合理性的基礎上，用所提出的優化方法確定了卡箍最優的布局，尤其是分析確定了各卡箍滿足避振條件下的可移動范圍，即“安全域”。

1 L型管路動力學有限元建模

1.1 “以直代曲”管體有限元建模原理

在現有的研究中，對于管路動力學模型的建立一般采用梁單元，對于圖1所示的L型管路，這里用三維Timoshenko梁單元進行模擬。

圖1 L型卡箍-管路動力學模型Fig.1 Dynamic model of L-type hoops-pipe system

如圖2所示，所選的梁單元共有2個節點，每個節點有6個自由度，分別為沿x，y，z軸的線性自由度及對應扭轉自由度。這樣，單元的自由度可以表示為

圖2 Timoshenko梁單元Fig.2 Timoshenko beam element

qe=[uiviwiθiφiφiujvjwjθjφjφj]T

(1)

針對L型管路動力學有限元建模，重點在于描述清楚彎管部分的建模方法，這里用“以直代曲”的方法模擬彎曲段。如圖3所示，將彎管段近似劃分為微小的直管，進而即可用直梁單元進行建模，然后用多個梁段模擬彎管的力學行為。圖中：D為管路外徑；R為管路彎曲半徑；l=R×π/2(n-1)為彎曲段以直代曲建模時直梁單元長度；n為彎曲段劃分單元數。為保證計算效率及結果準確性，彎曲段劃分單元長度應與直管段單元長度相近，從而使整體結構單元劃分均勻協調。1,2,…,i,i+1,…,m-1,m為彎曲段梁單元各個節點，在數值上，n=m-1，O為彎曲中心，虛線部分表示省略部分單元。

圖3 L型管路彎曲段俯視局部放大圖Fig.3 The top view partial enlarged drawing of L-type pipe bending section

劃分完單元后，求出彎曲段直梁單元在各自局部坐標系下的剛度矩陣和質量矩陣，而后，需要進行單元剛度矩陣、質量矩陣的組集。在組集過程中，需要對單元剛度矩陣和質量矩陣進行局部坐標系和整體坐標系的轉換，下面以彎曲段第k個單元為例，介紹轉換過程。

如圖4所示，O-xyz為整體坐標系，O′-x′y′z′為彎曲段第k個單元局部坐標系。考慮到單元的局部坐標系和總體坐標系的關系，局部坐標系中第k個直梁單元各節點位移在總體坐標系下可表達為

圖4 L型管路彎曲段第k個單元示意圖Fig.4 The schematic diagram of the k-th element of L-type pipe bending section

(2)

L=diag(T，T，T，T)

(3)

其中，

(4)

進一步，這里

(5)

式中，λk為第k個單元處總體坐標系x軸與局部坐標系x′軸的夾角；為避免單元和節點表示方法產生混淆，xi,xi+1,yi,yi+1分別為第i個和第i+1個節點在整體坐標系中坐標值，在數值上，k=i，則“以直代曲”的梁單元在總體坐系中的單元剛度矩陣和質量矩陣為

(6)

(7)

1.2 卡箍的模擬

(8)

迭代結束后，即可獲得滿足精度要求的彈簧對的4個剛度值參數。

1.3 運動方程建立以及固有特性求解

以下具體描述模擬卡箍的彈簧單元引入管路系統動力學分析模型的方法，并由此建立用于求解管路系統固有特性的運動方程。

創建一個與管體有限元模型自由度相等的零矩陣，接著找到模擬卡箍的彈簧單元對應的節點，將彈簧單元的剛度值加到零矩陣的對角線上，形成卡箍剛度矩陣Kk，具體為

(9)

其中，

(10)

(11)

式中：p為L型管路長邊添加彈簧單元節點號；q為短邊添加彈簧單元節點號。

將卡箍剛矩陣與管體剛度矩陣進行疊加可得到管路系統的總剛度矩陣K，表達為

K=Kw+Kk

(12)

而管路系統的質量矩陣就為管體的質量矩陣，表達為

M=Mw

(13)

綜上，可得到求解管路系統固有特性求解方程為

(14)

其中：ωr和φr分別為管路第r階固有圓頻率及模態振型向量；n′為系統節點數。

2 L型管路卡箍支撐位置優化

為了完成面向L型管路的以避振為目標的卡箍支撐位置優化，需要創建相應的優化模型以及采用有效的尋優算法對該優化模型進行求解，本節具體描述上述問題。

2.1 L型管路避振優化模型

圖5 L型管路避振優化模型俯視圖Fig.5 Top view of optimization model of L-type pipeline vibration avoidance

(15)

為保證航空發動機安全性，在現有的管路系統設計準則中，要求管路系統的固有頻率要遠離轉子的激振頻率，即保證系統的固有頻率處于安全范圍。由于管路系統通常具有較高的剛度，通常情況下要求卡箍-管路系統第1階固有頻率f1需滿足f1>1.25SH，其中，SH為轉子系統激振頻率。因而，可設卡箍-管路系統固有頻率與激振頻率的差值為目標函數，使二者有較大差值，這樣，可以較好地避開激振源，避免管路系統發生共振。進一步需要設置約束條件限制卡箍在長邊及短邊上的移動范圍。最終，確定該多卡箍支撐L型管路的優化模型為

(16)

2.2 基于遺傳算法的優化求解

針對L型管路卡箍避振優化模型，這里采用遺傳算法[18]對其求解，該算法中所需術語與優化模型對應關系如圖6所示，優化基本流程如下：

圖6 遺傳算法與優化模型結合示意圖Fig.6 Schematic diagram of the combination of genetic algorithm and optimization model

步驟2個體評價。計算群體P(g′)中各個個體的適應度，即計算各個個體mi(i=1,…,M)中(n1+n2)個卡箍位置對應節點所得出的系統1階固有頻率f1與1.25SH的差值f1SH。

步驟3選擇操作。選擇每一代中適應度高的個體，對于卡箍-管路優化模型來說，即選擇1階固有頻率f1與1.25SH的差值f1SH大的個體。

步驟4交叉變異操作。這里是指交叉及變換各個個體中(n1+n2)個卡箍位置對應節點的二進制編碼中的部分片段，從而產生對應新卡箍位置的個體，各新個體組成下一代群體P(g′+1)。

步驟5終止條件判斷。若g′=G，則以進化過程中所得到的具有最大適應度，即1階固有頻率f1與1,25SH的差值f1SH最大的個體作為最優解輸出，同時輸出該個體中(n1+n2)個卡箍位置對應節點號，終止運算；若g′

3 實例研究

3.1 問題描述

這里選取如圖7所示L型管路試驗系統，來校驗研發的有限元模型，并以此為基礎實施卡箍布局優化。為使卡箍能在管路直管段任意位置移動，設計如圖8所示夾具，導軌通過螺栓固定在振動臺上，滑塊通過螺栓、墊片及螺母固定在導軌上。長短邊導軌長度不同，滑塊相同。經測試，長、短邊夾具1階固有頻率遠大于所考慮的管路系統頻率分析范圍，從而不會導致夾具與卡箍-管路系統發生耦合振動。

圖7 固有特性測試現場圖Fig.7 Schematic diagram of field test of inherent characteristics

圖8 夾具放大圖Fig.8 The enlarged view of the fixture

表1 L型管路幾何及材料參數Tab.1 Geometry and material parameters of L-type pipeline

使用錘擊法獲得卡箍-管路系統的固有頻率及模態振型。所用的儀器及用途描述如下：用PCB SN 30272模態力錘進行錘擊，用輕質加速度傳感器B &K 4517拾取振動信號，用LMSSCADAS進行數據采集與分析，試驗結果通過LMS Impact Testing進行處理。

3.2 振動特性分析

用第1部分描述的“以直代曲”的方法對L型管路進行有限元建模。在同時考慮卡箍寬度及后續執行優化時計算效率的基礎上，對該L型管路進行分網，具體如下：在直管段長邊劃分為300個單元，短邊劃分為150個單元，單元長度均為2 mm；同時，彎管段劃分為10個單元，單元長度也大致為2 mm。綜上，系統共劃分為460個單元，共有461個節點。3個卡箍的位置

表2 卡箍剛度值Tab.2 The values of hoop stiffness

通過計算獲得L型管路的固有頻率及模態振型，相關結果如表3、表4及表5所示(為了比對，試驗結果也列在上述表中)。從表中可以看出，用所研發的模型計算獲得的前5階固有頻率與試驗值的最大偏差為3.2%，模態振型基本一致，從而證明了研發的“以直代曲”建模方法的合理性。需要說明的是，這里第1、第4階模態為豎直面(z向)振型，第4、第5階模態為水平面(y向)振型，而第2階模態既包括豎直面(z向)振型，也包括水平面(y向)振型。

表3 實測與仿真固有頻率對比Tab.3 Comparison of measured and simulated natural frequencies

表4 實測與仿真系統豎直面(z向)前3階振型對比Tab.4 Comparison of the first three modes of vertical plane (z direction) between measured and simulated system

表5 實測與仿真系統水平面(y向)前3階振型對比Tab.5 Comparison of the first three modes of horizontal plane (y direction) between measurement and simulation system

此外，這里最終形成的管路系統整體剛度、質量矩陣維度均為2 766×2 766階，利用所研發的程序進行固有頻率求解時單次計算所需時間為1.094 320 s(所使用設備為Intel(R) Core(TM) i7-8700 CPU)，計算效率較高，可以為工程實際應用提供一定借鑒。

最后，為驗證彎管部分單元數量對仿真結果的影響，分別對彎管部分劃分5個、8個、10個、20個單元，固有頻率仿真結果如表6所示。從表中可以看出當彎管段單元劃分為10個時，結果已經收斂。

表6 彎管部分劃分單元數對收斂性影響分析Tab.6 Analysis of the influence of the number of dividing elements on the convergence of elbow

綜上說明，本文提出的“以直代曲”方法對L型管路進行有限元建模是合理的。

3.3 卡箍支撐位置優化

這里將轉子系統激振頻率SH假定為225 Hz，此時，要求管路1階頻率大于1.25SH=281.25 Hz。由表3可知目前實例中的卡箍位置并不滿足此要求，因而要執行以避振為目標的卡箍位置優化。

圖9 1.25SH與系統1階固有頻率差值迭代過程Fig.9 The iterative process of the difference between 1.25SH and the first natural frequency

為了驗證所得優化結果的合理性，如圖10所示，選取2組非最優卡箍位置及最優卡箍位置所得結果進行對比，對應的卡箍布局方案列于表7中。

表7 卡箍布局方案Tab.7 The scheme of hoops layout

圖10 卡箍布局方案Fig.10 Scheme of hoops layout

最終獲得上述卡箍布局方案的1階固有頻率結果，并將試驗優化結果與仿真優化結果進行對比。其結果如表8所示。

從表8可以看出，方案1與方案2卡箍布局方案均不滿足避振要求，仿真卡箍布局優化結果與實測值誤差為-0.3%，從而驗證了本文優化結果的合理性。

表8 優化結果驗證Tab.8 Validation of optimization results

3.4 “安全域”分析

前面已述，在實際的管路系統設計中由于空間限制，并不一定能使卡箍處于經優化獲得的最優位置，但只要在“安全域”范圍內則就滿足避振要求。這里對實例中的3個卡箍，基于假定的激振頻率進行“安全域”分析。

圖11 單個卡箍位置變動安全域Fig.11 The safe region of single hoop position

4 結 論

本文針對L型管路，研究了管路系統有限元建模及以避振為目標進行卡箍支撐位置優化的方法，得出以下結論：

(1)L型等平面管路的彎曲部分在采用梁單元進行建模時，可以采用“以直代曲”的方法，即將彎管段近似劃分為若干微小的直管，進而用直梁單元進行建模。實踐表明用這種方式創建的有限元模型可有效模擬實際管路的振動特性，計算與實測管路的前5階固有頻率，最大偏差為3.2%，模態振型基本一致。

(2)對于包含多卡箍支撐的L型管路，可以將卡箍位置作為設計變量，以管路系統固有頻率與激振頻率的差值為目標函數，并參照相關標準確定卡箍位置的約束范圍，從而創建以避振為目標的管路系統優化模型。實踐表明該優化模型能與后續的遺傳算法有效結合，實現卡箍位置的布局優化。

(3)在實際的管路系統設計中由于空間限制，并不一定能使卡箍處于經優化獲得的最優位置。這里提出了“安全域”概念，并基于卡箍位置優化結果，對實例中3個卡箍的安全域進行分析，確定了滿足避振要求的各卡箍可移動范圍。