杠桿型串聯非線性能量阱整星隔振系統的振動控制

李東輝，李 晨，張業偉，臧 健

(1.沈陽航空航天大學 航空宇航學院，沈陽 110136；2.新鄉航空工業集團有限公司，河南 新鄉 453700)

眾所周知，航天器對于其附加質量有嚴苛的技術要求，而非線性能量阱(nonlinear energy sink,NES)具有附加質量小、可靠性強、魯棒性強、振動抑制頻帶寬、無需能源提供等優點[1-2]。

近年來研究人員對非線性能量阱進行了大量的研究。針對離散系統，楊凱等[3]基于非線性輸出頻率響應函數，對引入了非線性能量阱的單自由度振動系統進行了分析，通過分析非線性能量阱各參數對振動抑制效果的影響，對非線性能量阱進行了動力學參數設計。Boroson等[4]研究了幾種并聯非線性能量阱的最優設計，獲得了更大的平均效率。Dai等[5]研究發現在適當的非線性能量阱參數下，可以有效抑制圓柱渦激振動。Qiu等[6]將錐形彈簧所含有的立方非線性應用到非線性能量阱中，研究發現這種彈簧不會引入新的線性剛度。Xue等[7]研究了具有非線性能量阱的線性系統的非線性行為和減振問題，發現具有非線性能量阱的線性系統在簡諧和隨機激勵下也能實現較大的減振 。熊懷等[8]研究了耦合非線性能量阱的非保守系統的定向能量傳遞現象，給出了非線性能量阱具有吸振能力時線性振子阻尼的有效范圍。

對于連續體系統，Zhang等[9]研究了帶有非線性能量阱的軸向運動梁的熱激振動抑制問題，通過數值計算結果表明，該結構可以有效抑制熱激振動。劉艮等[10]研究了非線性能量阱在懸臂薄板振動抑制中的應用，發現非線性能量阱對結構響應位置較為敏感，并且在位移響應最大位置處減振效果最大。Zhang等[11]提出用非線性能量阱來抑制軸向運動梁的強迫振動，結果表明非線性能量阱與有很好的控制過度振動的潛力。

此外，非線性能量阱也被廣泛應用于工程實際中，Guo等[12]用非線性能量阱抑制機翼的極限環振蕩(Limit cycle oscillation,LCO)，研究了LCO抑制對氣彈性系統的影響。結果表明，結構參數對超臨界Hopf分岔系統和亞臨界Hopf分岔系統有不同程度的影響。楊凱等[13]研究了空間結構振動抑制的被動非線性消振方法，提出了適用于空間環境的非線性消振器結構及動力學模型。Yang等[14]將非線性能量阱耦合到整星結構的衛星適配器中，分別通過數值、有限元以及試驗驗證了非線性能量阱對于衛星振動抑制的有效性。孫斌等[15]針對某型民用航空發動機雙頻帶激勵特點，建立了單自由度線性振子耦合非線性能量阱的動力學模型，研究發現非線性能量阱對雙頻帶外激勵有更好的振動抑制效果。Zhang等[16]提出了一種將非線性能量阱與懸浮磁電式能量采集器相結合的整星能量采集裝置。該裝置有效地降低了振動，具有比現有系統更強的能量采集能力。Li等[17]將非線性能量阱與壓電能量采集裝置結合。研究結果表明，這種集成的壓電結構可以有效地降低振動，并獲得一定的振動能量。

近年來，非線性能量阱的結構設計有了若干發展，Wei等[18]提出并分析了一種并聯非線性能量阱的方法，研究發現并聯非線性能量阱與傳統非線性能量阱相比能跟有效地抑制振動。Zang等[19]提出了一種新型杠桿型非線性能量阱(lever-type nonlinear energy sink,LNES)，研究發現杠桿型非線性能量阱比傳統非線性能量的吸振性能更好而且附加質量更小。鐘銳等[20]對比研究了單自由度非線性能量阱和兩自由度串聯非線性能量阱的吸振效能，重點分析了串聯NES對高分支響應的抑制作用。Zhang等[21]提出一種新型磁滯非線性能量阱 (hysteresis nonlinear energy sink,HNES)，仿真結果表明新型磁滯非線性能量阱能夠有效的對主結構進行振動控制。

本文基于杠桿型非線性能量阱，應用串聯非線性能量阱的方法，構成一個帶有杠桿型串聯非線性能量阱的整星結構。對采用串聯非線性能量阱后的杠桿非線性能量阱整星系統進行振動控制研究，對杠桿型串聯非線性能量阱與杠桿型并聯非線性能量阱的吸振性能進行對比研究。

1 帶有杠桿式串聯非線性能量阱的整星結構

傳統杠桿型非線性能量阱模型如圖1所示，本文所研究系統模型如圖2所示，質量m1、線性彈簧k1以及線性阻尼c1組成了單自由度整星結構，結構質量m1受到一個外部的諧波激勵F=Acos(ωt)。杠桿式串聯非線性能量阱由質量m2，m3阻尼c2，c3以及非線性剛度k2，k3組成的兩個非線性能量阱串聯組成，與一根忽略質量的剛性桿相連。剛性桿的A點與結構的質量相連。D點通過彈簧k2、阻尼c2與m2相連。

圖1 帶有傳統杠桿式非線性能量阱的整星結構Fig.1 The system model with a traditiona llever-type nonlinear energy sink

圖2 帶有杠桿式串聯非線性能量阱的整星結構Fig.2 The system model with lever-type nonlinear energy sinks

本文假設杠桿的運動幅值較小，因此由牛頓第二定律得到系統的動力學方程

式中：xi為結構mi(i=1，2，3)的位移；x0為D點的位移；A點的位移與結構m1相同；杠桿支點位置用參數α來表示，α為長度AD與AB的比值。

無量綱參數為

(2)

把式(1)進行無量綱處理得

(3)

式中，l為線性彈簧k1在100 N作用下的伸長。

基于諧波平衡法，式(3)的振動響應可以近似為一組有限諧波的疊加。因為系統僅含立方非線性，我們設解響應為1次諧波與3次諧波的疊加。

這里aij和bij(i=1，2，3)，(j=1，2，3)為待確定的諧波系數。將式(4)代入式(3)中，平衡sin(iγτ)與cos(iγτ)(i=1，3)的系數，得到一組非線性代數方程式(5)。

通過結合偽弧長延伸法我們可以得到各階諧波系數，進而確定幅頻特性曲線。為了有效的描述帶有高階系數的幅頻特性曲線，在這里我們用均方根值來處理系統的響應。

-a11cos(τγ)γ2-b11sin(τγ)γ2-9a31cos(3τγ)γ2-9b31sin(3τγ)γ2+a11cos(τγ)+b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+

b31sin(3τγ)+ζ1[-a11sin(τγ)γ+b11cos(τγ)γ-3a31sin(3τγ)γ+3b31cos(3τγ)γ]+

λ2[-a12cos(τγ)γ2-b12sin(τγ)γ2-9a32cos(3τγ)γ2-9b32sin(3τγ)γ2]+

λ3[-a13cos(τγ)γ2-b13sin(τγ)γ2-9a33cos(3τγ)γ2-9b33sin(3τγ)γ2]+

(5)

(6)

下面對由諧波平衡法得到的幅頻響應進行數值驗證，系統參數如表1所示。

表1 系統參數Tab.1 System parameter

通過比較諧波解析解與數值解發現，總體上，三階諧波解與數值解已經很吻合了，如圖3所示。

圖3 系統幅頻響應解析解與數值解的對比Fig.3 Comparison of the amplitude-frequency curve of the energy sink based on the analytical and numerical methods

此外，如圖4所示，在不同激振頻率下，系統的振動形式始終呈現穩定的周期響應，并無準周期與混沌運動。

圖4 不同激勵頻率對系統響應的影響Fig.4 Influence of different excitation frequencies on system response

2 杠桿型串聯非線性能量阱的質量、剛度以及杠桿支點位置對系統幅頻響應的影響

2.1 質量對系統幅頻響應的影響

下面討論杠桿串聯非線性能量阱的質量λ2和λ3對系統幅頻響應的影響。首先討論質量λ2對系統幅頻響應的影響，參數設置如表1所示。質量λ2對系統幅頻響應的影響如圖5所示。

圖5 質量λ2對系統幅頻特性的影響Fig.5 Amplitude-frequency response curve of the structure varying mass λ2

在質量λ2較小時，隨著質量λ2參數的增大，幅頻響應曲線的峰值逐漸降低；繼續增大質量λ2，系統的幅頻響應曲線向右彎曲，彎曲頻率大約在0.79～0.81；隨著質量λ2的增大，在共振頻率附近出現孤立的環狀共振響應；伴隨著質量λ2的增大，孤立的環狀共振響應逐漸遠離系統原本的幅頻響應曲線，并逐漸減小直至消失。孤立環狀響應的出現會使系統幅頻響應曲線的峰值極大的增加，為避免孤立環狀響應的出現，需要進一步優化參數設置。

將初始參數λ3=0.002 78改為λ3=0.004 17。質量λ2對系統幅頻響應的影響如圖6所示。從圖6中可以看出，在質量λ2參數較小時，隨著質量λ2的增大，幅頻響應曲線的峰值逐漸降低。當質量λ2=0.020 83變為質量λ2=0.027 78時，幅頻響應曲線的峰值由86.10增至89.52，繼續增大質量λ2，幅頻響應曲線的峰值又開始逐漸增大。圖6與圖5相比，沒有出現孤立的環狀共振響應。

圖6 質量λ2對系統幅頻特性的影響Fig.6 Amplitude-frequency response curve of the structure varying mass λ2

綜上我們可以得出，適當質量的λ2可以有效降低系統的振幅。合適的質量λ3選擇，可以避免孤立的環狀共振響應的出現。

圖7展示了質量λ3對系統幅頻響應的影響。

從圖7中我們可以看出，在質量λ3較小時，隨著質量的增大，幅頻響應曲線的峰值逐漸降低，當質量λ3=0.006 94變為λ3=0.008 33時，幅頻響應曲線的峰值由101.02上升到105.73，繼續增大λ3的質量，幅頻響應曲線的峰值開始逐漸上升。綜上，一個適當質量的λ3可以有效降低系統的振幅。

圖7 質量λ3對系統幅頻響應的影響Fig.7 Amplitude-frequency response curve of the structure varying mass λ3

2.2 非線性剛度對系統幅頻響應的影響

下面討論杠桿型并聯非線性能量阱的非線性剛度β2和β3對系統幅頻響應的影響。圖8展示了非線性剛度β3對系統幅頻響應的影響。從圖8中可以看出，伴隨著非線性剛度β3的增大，系統幅頻響應曲線的峰值逐漸降低，這種下降的趨勢一直保持到大約在β3=6.156 6時停止；繼續增大非線性剛度β3，系統幅頻響應曲線的峰值逐漸上升。綜上，適當的非線性剛度β3可以小幅降低系統的振幅。

圖8 剛度β3對系統幅頻響應的影響Fig.8 Amplitude-frequency response curve of the structure varying nonlinear stiffness β3

圖9展示了非線性剛度β2對系統幅頻響應的影響。從圖9中可以看出，在非線性剛度β2較小時，隨著β2參數的增大系統幅頻響應的峰值逐漸降低；當非線性剛度β2達到大約6.156 55時，下降的趨勢開始停止。接著伴隨著非線性剛度β2的增大，系統幅頻響應曲線的峰值逐漸上升。綜上，適當的非線性剛度β2可以有效降低系統的振幅。

圖9 剛度β2對系統幅頻響應的影響Fig.9 Amplitude-frequency response curve of the structure varying nonlinear stiffness β2

2.3 支點位置α對系統幅頻響應的影響

下面討論杠桿型并聯非線性能量阱的支點位置α對系統幅頻響應的影響。圖10展示了支點位置α對系統幅頻響應的影響。從圖10中可以看出，在α較小時，隨著α的增大，系統幅頻響應的峰值逐漸降低。當α大約為7時，下降的趨勢開始停止，接著增大α，系統幅頻響應曲線的峰值開始上升。綜上，適當的杠桿支點位置可以有效降低系統的振幅。

圖10 支點位置α對系統幅頻響應的影響Fig.10 Amplitude-frequency response curve of the structure varying fulcrum α

3 杠桿型串聯非線性能量阱與杠桿型并聯非線性能量阱性能的比較

下面我們對杠桿型串聯非線性能量阱與杠桿型并聯非線性能量阱的吸振性能進行系統比較，將幅頻響應曲線的峰值以及總體附加質量作為評價非線性能量阱吸振性能的指標。為了便于比較，我們將整星結構分別耦合杠桿型并聯非線性能量阱以及杠桿型串聯非線性能量阱。圖11為帶有杠桿式并聯非線性能量阱的整星結構。

圖11 帶有杠桿式并聯非線性能量阱的整星結構Fig.11 The system model with a lever-type parallel nonlinear energy sink

為保證總體附加質量相同，在調節參數過程中保持λ2=0.013 89不變，通過調節λ3來對比研究并聯非線性能量阱與串聯非線性能量阱的吸振性能。

如圖12所示，當λ3=0.001 39時，串聯非線性能量阱與并聯非線性能量阱系統幅頻響應的峰值分別是273.04和312.78。當λ3=0.002 78時，串聯非線性能量阱與并聯非線性能量阱系統幅頻響應的峰值分別是223.27和309.62。當λ3=0.006 94時，串聯非線性能量阱與并聯非線性能量阱系統幅頻響應的峰值分別是101.02和299.51。當λ3=0.008 33時，串聯非線性能量阱與并聯非線性能量阱系統幅頻響應的峰值分別是105.73和292.41。在總體附加質量參數較小時，串聯非線性能量阱系統幅頻響應曲線的峰值是低于并聯非線性能量阱的。隨著總體附加質量參數的增加，兩個系統的幅頻響應曲線的峰值都開始降低，串聯系統下降的幅度要遠大于并聯系統下降的幅度。繼續增大總體附加質量參數，串聯系統幅頻響應曲線的峰值開始上升，并聯系統幅頻響應曲線的峰值仍遠大于串聯系統。這說明，杠桿型串聯非線性能量阱的吸振性能是要優于杠桿型并聯非線性能量阱的。

圖12 杠桿型并聯非線性能量阱與杠桿型單個非線性能量阱吸振性能比較Fig.12 Comparison of vibration absorption performance of the lever-type series NES and the lever-type parallel NES

4 結 論

本文研究了諧波激勵下帶有杠桿型串聯非線性能量阱結構的整星系統的振動控制。基于諧波平衡法結合弧長延伸法確定了系統的幅頻響應。通過調節該結構的質量、非線性剛度以及支點位置等參數，對結構的整星振動控制能力進行了系統的分析與評價。最后，對比分析了杠桿型串聯非線性能量阱與杠桿型并聯非線性能量阱的吸振能力。具體結論如下：

(1)杠桿型串聯非線性能量阱結構可以有效的對整星系統進行振動控制。

(2) 在杠桿型串聯非線性能量阱下方串聯的質量較小時，系統的幅頻響應曲線會出現孤立的環狀共振響應，導致系統幅頻響應曲線的峰值增大。特別指出，串聯適當的質量可以避免孤立環狀響應的出現。

(3)隨著杠桿型串聯非線性能量阱的質量、非線性剛度和支點位置參數的逐漸增大，系統的幅頻響應曲線的共振峰會逐漸降低至最小值然后再逐漸增大。

(4) 在總體附加質量相同的情況下，杠桿型串聯非線性能量阱的吸振性能要優于杠桿型并聯非線性能量阱。