淺談數(shù)學(xué)哲學(xué)對數(shù)學(xué)思想的解釋*

呼家源 詹雨

（1.內(nèi)蒙古科技大學(xué)理學(xué)院；2.河套學(xué)院土木工程系）

英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、教育家BertrandArthurWilliamRussell曾指出：“作為社會與政治生活一部分的哲學(xué),是過去的各個時代的各具特色的社會的產(chǎn)物，而遠非只是源于天才閉門造車式的冥思苦想。”無論是哪個時代數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)理論的發(fā)展對哲學(xué)的影響都尤其巨大。著名的Pythagoras定理的發(fā)現(xiàn)者，也就是薩摩島人Pythagoras便將數(shù)學(xué)與神學(xué)融合為一體。他主張：“數(shù)學(xué)是永恒真理的主要來源，數(shù)學(xué)所依賴的思想比感觀高貴，因而思想的對象比感觀的對象真實”。這也使得無論哪個時代的哲學(xué)學(xué)派中都富含理性的成分，也使得文明的傳播必不可少地要具備數(shù)學(xué)、哲學(xué)、科學(xué)三要素。縱觀數(shù)學(xué)、哲學(xué)、科學(xué)的歷史著作也會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史的深刻發(fā)展離不開哲學(xué)背景，西方哲學(xué)史的著作也不得已要關(guān)注自然科學(xué)史特別是數(shù)學(xué)史。當我們講授高校中的數(shù)學(xué)專業(yè)課程中的原理時，通過對數(shù)學(xué)的思想方法與哲學(xué)思想之間聯(lián)系的分析，不僅可以幫助學(xué)生在學(xué)習的過程中更好地理解和掌握數(shù)學(xué)思想，還可以讓理工科類學(xué)生的思維得以拓展，能夠理解一些比較深刻的哲學(xué)問題。

一、“常”與“變”的辯證關(guān)系

中國哲學(xué)研究的核心是對人和人生的反思，從入世的角度來講即為探討人存在的意義與價值、人際關(guān)系和人事。既然如此，中國哲學(xué)必然受到環(huán)境、經(jīng)濟等因素的影響，這就是影響中國哲學(xué)元素中的“常”。故而在某個時期，人們總提及“四海之內(nèi)”“普天之下”，而沒有考慮到海上國家及海外環(huán)境。另外受農(nóng)耕文化的影響，中國哲學(xué)表述中出現(xiàn)了“本”與“末”“寒往則暑來，暑往則寒來”“日中則昃，月盈則食”等，無不源自于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)。難道中國哲學(xué)在“常量”所構(gòu)系統(tǒng)中注定要被封閉在“四海之內(nèi)”嗎？當然不是！馮友蘭在《中國哲學(xué)簡史》[1]中分析到，“任何民族在任何時代任何制度的哲學(xué)里，總有一些內(nèi)容只對處于當時經(jīng)濟條件下的大眾有用；但是，除此之外，還會有一部分哲學(xué)思想具有持久的價值。”這便是哲學(xué)發(fā)展中所謂的“變”。

數(shù)學(xué)各個分支中都滲透著“常”與“變”。每個數(shù)學(xué)原理在分析之前必須明確這個問題是放在哪個空間、哪個數(shù)域之中。或者當我們固定下來某些假設(shè)條件，這個分析問題的系統(tǒng)中的某些元素便成為了常量。也有的時候我們假定某些“變化”的元素為常量，來使得問題的分析更加明確。當這些元素發(fā)生變化時，便使得這個系統(tǒng)動了起來，并且在這個“常”與“變”的辯證過程中不斷深入發(fā)展。例如，微分方程模型中最常見的人口模型便是如此。最初Malthus做了基本假設(shè)：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率是常數(shù)，記此常數(shù)即生命系數(shù)為r，并據(jù)此建立了微分方程模型并得到滿足初值條件t=t0時人口數(shù)量為N(t0)=N0的解為N(t)=N0er(t?t0)。然而這個Malthus模型中的人口總數(shù)并不符合人口增長實際規(guī)律，是呈指數(shù)型函數(shù)無限增長。數(shù)學(xué)模型中的“常”經(jīng)常是專家和學(xué)者關(guān)注的對象，往往要對其修正或進行推廣、優(yōu)化使得數(shù)學(xué)問題更加豐滿。荷蘭Verhulst引入環(huán)境最大容納量Nm并假設(shè)生命系數(shù)為據(jù)此假定人口增長的模型修正為了著名的Logistic模型這兩個模型中的凈相對增長率是普遍存在的，是共性。而Malthus模型中人口數(shù)量增長與地球環(huán)境容納量的矛盾則具有特殊性。馬克思主義哲學(xué)中的“靜與動”“矛盾的普遍性和特殊性”也是如此辯證統(tǒng)一。縱觀“數(shù)”的起源與發(fā)展，從自然數(shù)、整數(shù)，到有理數(shù)、無理數(shù)，再到實數(shù)、虛數(shù)和復(fù)數(shù)，數(shù)的發(fā)展是一個不斷變化發(fā)展的過程。從計數(shù)到數(shù)基、進制，即使我們最終普遍接受了10進制，或許源于我們的每只手均有5根手指，但是隨著素數(shù)域、橢圓曲線的研究，數(shù)及數(shù)的運算一次又一次被向前推進，甚至橢圓曲線上的點之間也可以定義加法和標量乘法。

二、聚點思維與聚類思維

所謂聚點式思維,在數(shù)學(xué)學(xué)習中就是嚴格按照定義、定理、公式、法則等思維朝著一個方向思考,使思維規(guī)范化。聚類思維是指從諸多研究對象的性質(zhì)中挖掘共同的屬性，并以此為基礎(chǔ)歸納整理此類對象的相關(guān)性質(zhì)。數(shù)學(xué)中的聚點與聚類思維有以下一些通俗的實例。

數(shù)論的研究對象是整數(shù)特別是素數(shù)，例如孿生素數(shù)、完美數(shù)等。然而在研究整數(shù)性質(zhì)特別是素數(shù)的性質(zhì)時，我們用初等數(shù)學(xué)的方法去研究[2]，即利用研究對象本身的性質(zhì)去處理分析便是聚點思維。例如整數(shù)的整除、最大公約數(shù)理論、同余理論、原根等理論均為整數(shù)的初始結(jié)構(gòu)，僅僅關(guān)注的是整數(shù)結(jié)構(gòu)中的知識節(jié)點或位置。例如孫子定理的證明、存在無窮多個素數(shù)的證明，均在整數(shù)環(huán)上進行分析。

然而數(shù)學(xué)發(fā)生著深刻變革，數(shù)學(xué)研究在經(jīng)歷的危機和結(jié)構(gòu)性坍塌之后，數(shù)學(xué)本質(zhì)及結(jié)構(gòu)的理解與包容發(fā)生了巨大的變化。在不連續(xù)的整數(shù)之間，經(jīng)過引入連續(xù)量，而導(dǎo)出了新的關(guān)系系統(tǒng)，用分析的工具來解決數(shù)學(xué)問題，產(chǎn)生了解析數(shù)論這一分支，經(jīng)過Dirichle、Riemann、華羅庚等數(shù)學(xué)家的工作，將它發(fā)展起來，這就是聚類思維。例如：將整數(shù)的研究放在更大的復(fù)數(shù)域中，定義三角和，并且在1937年維諾格拉朵利用解析數(shù)論工具基本上解決了哥德巴赫猜想中的三素數(shù)問題。單一的、相互不關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識在聚類思維的作用下聯(lián)系起來，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)更趨于完美、完備。

三、數(shù)形結(jié)合思想中的抽象與具體

歐內(nèi)斯特以基礎(chǔ)主義的三大流派的分析中談到，某些直覺的元數(shù)學(xué)原理以及“原始直覺”的自明公理是絕對真理的可靠基礎(chǔ)之一，直覺主義也在自己假設(shè)的基礎(chǔ)上用演繹范式去證明數(shù)學(xué)定理的真理性，數(shù)形結(jié)合便是其中之一重要思想方法。在我們學(xué)習數(shù)學(xué)的過程中是普遍存在的。從小學(xué)到大學(xué)的學(xué)習過程中，數(shù)形結(jié)合就一直伴隨著我們數(shù)學(xué)知識的學(xué)習，它讓問題變得簡單，更加的直觀。數(shù)形結(jié)合思想就是在解題的過程中結(jié)合語言并且利用圖像使問題更加清晰明了。例如，設(shè)集合M={?1,0,1}，N={?2,?1,0,1}，求M∩N。

如圖1，我們可以知道M∩N={?1,0,1}。

圖1 Venn圖

例1所用到的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)形結(jié)合思想，通過Venn圖我們可以直觀的得到結(jié)果，使解決問題更加簡單、快捷。

數(shù)形結(jié)合思想在哲學(xué)中所體現(xiàn)的是具體與抽象的辯證統(tǒng)一，集合是抽象的，Venn圖則是具體的。例1中通過畫出Venn圖從而直觀地看出結(jié)果，得到抽象的結(jié)論，這也是具體到抽象的一個過程。把我們的研究對象看成一個集合，對其共同的性質(zhì)進行挖掘，并剔除和忽略這些研究對象之間的差異，這樣便得到一個抽象的事物。例如我們在研究整數(shù)的加減運算時，在整數(shù)集上建立了一種對應(yīng)關(guān)系。我們把這種對應(yīng)關(guān)系抽象出來，可以定義兩個非空集合上的運算，而這個集合的元素也可以是“東、南、西、北”，可以是動物，可以是矩陣等。這種從具體到抽象的上升，也是基于聚類思維的一種哲學(xué)活動，我們從中提取出共同的本質(zhì)來定義更普遍的定律或更一般的原理。像程和祥[3]認為的那樣，“數(shù)學(xué)對象作為客觀地存在著的個體對象，就應(yīng)該是所謂的抽象對象，這種抽象對象顯然和具體對象不同，它不是可見的物質(zhì)”，即“存在但又不存在”。當我們揭示了更一般的規(guī)律，便可以從抽象回歸到具體，解決具體的問題。例如我們在解決不定方程整數(shù)解的過程中，一開始是混沌狀態(tài)的，但是可以通過研究一般的代數(shù)數(shù)論中的有限域、有限擴張、唯一分解定理等抽象的理論，再用這些原理來解決具體的不定方程。因此數(shù)學(xué)思維從“混沌思維”到“聚類思維”再到“聚點思維”的演變，這也是哲學(xué)中從具體到抽象再到具體的辯證過程。

四、極限思想中的顯性思維、隱性思維與創(chuàng)造性思維

諸多學(xué)者根據(jù)不同歷史時期的數(shù)學(xué)范式，對數(shù)學(xué)的發(fā)展的歷程分為古希臘之前的前現(xiàn)代數(shù)學(xué)和古希臘之后的現(xiàn)代性數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)從經(jīng)驗數(shù)學(xué)向演繹數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換。而19世紀中葉，非歐幾何與非交換代數(shù)誕生，是數(shù)學(xué)思想從現(xiàn)代性逐步轉(zhuǎn)向超越現(xiàn)代性的深刻變革，數(shù)學(xué)語言更是上升到了抽象并與普通語言分離。特別是作為微積分學(xué)的主要工具之一的極限，讓實數(shù)理論更加完備。變速直線運動、曲邊梯形面積、變力沿平面曲線作功、曲頂柱體體積等不均勻的問題中所含的隱性思維需要極限這一數(shù)學(xué)語言將其準確的刻畫出來即顯性化。

極限思想是我們從有限到無限的質(zhì)的飛躍。然而抽象的無限接近，是我們高級思維中的隱性思維，如何顯性的將其表示出來呢？當我們表述頭腦中的隱性思維時，不會有能量的衰減，又能嚴格地、準確地將其刻畫出來。對于數(shù)列極限，ε?N語言便是顯性思維，是分析極限問題的標準語言，是顯性思維的體現(xiàn)。

極限的符號語言可以將上述的數(shù)學(xué)隱性思維顯性表述出來，還體現(xiàn)了哲學(xué)中量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系和對立統(tǒng)一的觀點。然而數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)知識有能量衰減和失真，哲學(xué)的原理與我們表述的理論之間也存在這樣的問題。

其一，量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系。當事物在量變時達到一定的程度的時候，就會發(fā)生質(zhì)的改變。如上例中，項數(shù)的無限增多，也就是從有限項變?yōu)闊o限項，也就是由量的變化最后造成了質(zhì)的變化。又如，求曲線C在點P的切線斜率，首先在曲線C上取一點Q，求出割線PQ的斜率。然后令曲線上的點Q沿曲線無限的靠近于P，則割線斜率的極限就是切線斜率。在此過程中，曲線上的點Q一直沿曲線靠近于P，割線的斜率是一直變化的，接近于切線的斜率，這是量變的過程。而當點Q到達極限位置的時候，才會得到割線的斜率就是切線的斜率，這是質(zhì)變的結(jié)果，也是由量變引起質(zhì)變。

其二，對立與統(tǒng)一的觀點。極限的作用就是從有限到無限的橋梁，它體現(xiàn)的是有限與無限的對立統(tǒng)一。如上例中，數(shù)列中每一項的值不斷發(fā)生變化，項數(shù)也是有限的。但是，當項數(shù)無限的增多的時候，an無限趨近于常數(shù)0。從中我們可以看出，無限是有限發(fā)展得來的，而有限是無限的最終結(jié)果，它們是對立統(tǒng)一的。在高中以及大學(xué)我們都學(xué)習過級數(shù)。在高中，我們所學(xué)的級數(shù)是有限項的，即數(shù)列的前n項和，它滿足交換律和結(jié)合律。大學(xué)所學(xué)的級數(shù)是無限項的，是不一定滿足交換律和結(jié)合律的，因為有一定的限制條件。這也就說明有限的問題中成立的結(jié)論在無限的問題中不一定成立。但是無論二者的區(qū)別是什么樣的，它們都是級數(shù)。這體現(xiàn)出了二者的對立統(tǒng)一。

五、結(jié)論

“理以心得為精，故當沉潛，不然，耳邊口頭也。”我們雖說利用哲學(xué)觀點分析了數(shù)學(xué)思維，但是也僅僅是五個方面而已，皆淺嘗輒止。在做學(xué)問的過程中，不僅僅要體會數(shù)學(xué)思維中所蘊含的哲學(xué)思想，也應(yīng)該觸類旁通，更深刻地去認識數(shù)學(xué)哲學(xué)所討論的對象之“存在且不存在”性，并體會聚類與聚點思維、顯性與隱性思維、認同與審辯思維、單數(shù)與復(fù)數(shù)思維、解構(gòu)與建構(gòu)思維[4-7]等。眾所周知，非歐幾何與非交換代數(shù)所觸動的對數(shù)學(xué)認識論、方法論、數(shù)學(xué)真理等方面的深刻變革，讓數(shù)學(xué)學(xué)科所研究的結(jié)構(gòu)或者說關(guān)系更具備相容性、獨立性和完備性。正如黃秦安[6]所言“一幅嶄新的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的畫卷逐步展現(xiàn)在人們面前。”