基于半正定松弛的賦形方向圖主瓣波紋控制方法

竇修全，胡孟凱，杜宇峰，苗 峻

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.河北省電磁頻譜認知與管控重點實驗室，河北 石家莊 050081)

0 引 言

賦形方向圖綜合技術可以實現特定區域的照射，提高能量增益，因此該技術在雷達、聲吶、衛星通信等領域具有廣泛的應用前景。近年來，研究人員已經提出了很多賦形方向圖綜合方法。這些方法大致可以分為以下幾類。一類是基于梯度的優化方法，李欣等提出了一種基于Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)的賦形方向圖綜合方法，J.Liang等提出了2種基于交替方向乘子法(ADMM)的方法，但這類方法需要多次迭代，且容易陷入局部最優解。另一類是基于進化算法的優化方法，D.W.Boeringer等提出了一種基于粒子群優化(PSO)的方法，Y.Jiang等提出了一種基于遺傳算法(GA)的優化方法，這類方法可以找到全局最優解，但需要調整大量參數。另外，還有一類基于凸松弛的方法，這類方法是目前應用最多的，B.Fuchs等提出了一種基于序貫凸優化(Sequential convex optimization)的方法，B.Fuchs提出了一種基于半正定松弛(SDR)的方法，P.Cao等提出了一種基于二階錐規劃(SOCP)的方法，Q.Lu等提出了一種基于一階迭代凸近似的方法。這類方法通過約束主瓣和旁瓣的幅度尋找可行解，從而使得到的方向圖逼近期望的賦形方向圖，但當給定的主瓣約束不合適時，往往找不到可行解。針對這一問題，本文提出了一種基于半正定松弛的主瓣波紋控制方法，該方法將主瓣波紋控制表示為一個最優化問題，然后通過半正定松弛技術得到該問題的解。仿真結果表明，該方法更加穩定，使賦形方向圖綜合問題總能找到可行解，且能有效地降低賦形方向圖的主瓣波紋。

1 問題建模

假設有一均勻線陣，如圖1所示，陣元數為，陣元間距為，則該陣列的陣因子為：

圖1 均勻線陣模型

(1)

式中：和分別為各陣元激勵的幅度和相位；=2π，為波數，為波長。

令：

(2)

(3)

則式(1)可改寫為矢量形式：

()=()

(4)

式中：為激勵矢量；()為導向矢量。

已有的方法通過約束主瓣和旁瓣的包絡來尋找可行解，可用如下模型表示：

式中：表示主瓣區域；()和()分別表示主瓣的下界和上界，上界與下界的差值表示主瓣的波紋；表示副瓣區域；()表示副瓣的上界。

但是當給定的主瓣約束不合適時，比如式(5b)中的上界與下界太接近時，該方法可能找不到可行解，但如果上界與下界相距較遠時，主瓣波紋又會過大。針對這一問題，本文提出了基于半正定松弛的主瓣波紋控制方法。該方法將主瓣波紋控制表示為一個最優化問題，既能保證總能找到可行解，又能盡可能降低主瓣波紋。根據這一思想，可將式(5)改寫為：

式中：()表示期望的主瓣形狀；2表示主瓣波紋的大小。

式(6)的含義是在獲得期望的賦形方向圖的同時，最小化主瓣波紋。

2 優化求解

式(6b)包含非凸約束，所以式(6)為一個非凸問題，很難直接優化求解，因此本文采用半正定松弛技術來求解。

首先對式(6)進行等價變換，令=，=()()，則式(6)等價于：

式中:僅有式(7e)為非凸約束，忽略該約束，可得到一個標準的凸問題，該問題可通過CVX求解。

在得到最優解后，為了滿足式(7e)，還需要從中抽取秩1向量，常用的方法為特征值分解，即最優的激勵向量為:

(8)

式中：為的最大特征值;為其對應的特征向量。

3 仿真實驗

為了驗證該方法的有效性，本文進行了一組仿真實驗，對比了本文方法和文獻[10]中方法實現的不同參數的平頂方向圖的主瓣波紋大小。仿真參數設置為：陣元數=20，陣元間距=2。所有實驗都在64位PC機上完成，CPU為Intel Core (TM) i5-7500 CPU，隨機存儲器(RAM)為4 GB，使用的仿真軟件為64位的MATLAB R2012b。

圖2～圖4對比了波束中心相同、波束寬度不同的平頂方向圖，圖3與圖5對比了波束中心不同、波束寬度相同的平頂方向圖。可以發現，本文提出的方法均能獲得比參考方法更小的主瓣波紋，盡管僅提高了約0.1 dB，但將主瓣波紋控制表示為一個最優化問題，避免了人工設置參數不合適時可能找不到可行解的問題，因此，該方法更加穩定。

圖2 波束中心為90°，波束寬度為20°的平頂方向圖對比

圖3 波束中心為90°，波束寬度為30°的平頂方向圖對比

圖4 波束中心為90°，波束寬度為40°的平頂方向圖對比

圖5 波束中心為60°，波束寬度為30°的平頂方向圖對比

4 結束語

已有的賦形方向圖綜合方法在給定的主瓣約束不合適時，可能找不到可行解，因此不能有效地控制主瓣波紋。針對這一問題，本文提出了一種基于半正定松弛的主瓣波紋控制方法，該方法將主瓣波紋控制表示為一個最優化問題，然后通過半正定松弛技術得到該問題的解。仿真結果表明，該方法更加穩定，使賦形方向圖綜合問題總能找到可行解，且能有效地降低賦形方向圖的主瓣波紋。