圓形建筑物傾斜監測中三點圓心法的應用研究

徐 建，曾群意

（西南電力設計院有限公司，四川 成都 610056）

隨著社會建設的快速發展，各種圓形高聳建筑（如火力發電廠的煙囪、冷卻塔、風機等）越來越多，而它們在建造及運行時均對垂直度有著嚴格要求，一旦傾斜量超出限值，后果可能是災難性的。為確保它們處于安全穩定狀態，需定期檢測其垂直度。

圓形高聳建筑的傾斜監測歷來是高精度工程測量的難點問題，特別是像煙囪、冷卻塔等直徑隨高度的變化而不同，且無安裝監測標志的建筑物。三點圓心法的提出很大程度上保證了監測成果的精度和可靠性。本文簡述了利用免棱鏡全站儀監測的原理和方法，推導出測量誤差理論計算公式，并對誤差公式進行了重點分析論證，闡述了精度變化規律及在使用該方法時應注意的事項。

1 三點圓心法介紹[1]

根據現場實際情況，在圓形建筑周圍埋設控制點A和B，使用免棱鏡全站儀，利用極坐標測量法可直接測量出同高度觀測點坐標，再根據坐標差值計算水平位移分量和位移方向。三點圓心法示意圖如圖1所示。

圖1 三點圓心法示意圖

設圓形建筑圓心坐標為（XO，YO），半徑為r，同一高度上3個觀測點的坐標為P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2）、P3（X3，Y3），該圓方程為：

由公式（1）—（3）可計算各個不同高度的觀測值的圓心坐標，底部中心坐標可采用設計值或測量值，至此可以較方便地計算不同高度的移量及位移方向。實際工程中常采用增加觀測組求均值的方法，或最小二乘平差法剔除粗差，以提高變形測量精度和可靠性。

2 誤差公式推導

由于建筑物外壁坐標為極坐標法測量所得，因此討論測量精度需對極坐標法的測量精度進行分析。極坐標法示意圖如圖2所示。

圖2 極坐標法示意圖

圖2中A、B為已知控制點，P點為監測點，則根據極坐標測量原理P點坐標的計算公式為：

假定控制點成果測量誤差固定，不影響待定點測量精度，對式（4）微分得：

令mβ為儀器測角誤差，mD為儀器測距誤差，則由式（5）及誤差傳播定律可得監測點點位誤差方程[2]：

整理式（6），可得極坐標法測量精度評定公式如下：

由于圓形建筑物各觀測點坐標值相互獨立，根據建筑物中心計算公式及誤差傳播定律可得建筑物中心點位誤差方程如下：

整理后得到計算公式如下：

已知：

整理式（7）—（9）后可得：

式（10）中：mD和r分別為儀器測距誤差和圓形建筑半徑；D12、D23和D13為圓形建筑外壁上3個監測點之間的距離。

一般圓形建筑半徑為固定值，因此變形監測精度由儀器測距誤差和監測點距離Dij（或相對位置）決定。

3 誤差精度分析

設三點構成的三角形邊長分別為a、b和c，對應的角度分別為A、B和C。由三角形外接圓性質可知：

將式（11）代入式（10），整理后式（10）可轉化為：

即：

由式（13）可以看出，三點圓心法測量誤差僅與3個測點的相對位置和儀器測距精度有關。由于三角形內角正弦值為位于0與1之間的值，故：

故上面式（12）和式（13）具有相同的單調增減性，為方便計算，后面討論極值問題采用式（12）。

由于A+B+C=180°，此項為條件約束項，λ為任意數值。對式（14）進行求偏導數，函數駐點處偏導數為0，則有下列各式：

由式（15）—（17）可以看出，當且僅當A=B=C時有唯一駐點。對式（14）本體函數項進行求二階偏導數，并代入駐點值，則有下列各式：

由于：

根據三元函數極小值的充分條件可以判定，駐點處為函數的極小值[3]，將駐點代入誤差計算公式（13）可得理論最小測量誤差：

由于誤差計算公式只有一個駐點為極小值，故誤差無極大值。假定三角形內角中A角度趨近于0，則：

由函數夾擠定理可知，根據誤差計算公式計算的測量誤差可在理論上無限大，故需要對三點圓心法適用范圍進行探討。測站視角示意圖如圖3所示。

圖3 測站視角示意圖

測站視角α值取決于測站至高聳建筑物的距離D和高聳建筑物半徑，目前電廠煙囪的測量的視角一般為160°～176°，按視線1/2處可以返回免棱鏡全站儀激光信號，則一個測站測量所得的三角形銳角β為20°，鈍角為140°，將各角度數值代入誤差計算公式（13）可得只架設一個測站的測量誤差：

以煙囪變形監測為例，鋼筒煙囪中心線垂直度偏差的限差為H/1 000，且小于等于100 mm，鋼筋混凝土煙囪筒身中心線垂直度偏差限值如表1所示。

表1 鋼筋混凝土煙囪筒身中心線垂直度偏差限差表[4]

表1（續）

現在免棱鏡全站儀TRK模式下的測距精度為±（3+0.000 3%×D）mm[5]，依現有的免棱鏡全站儀測程布設測站，測站至煙囪距離不超過500m，按500m計算測距精度為±4.5 mm，代入式（18）可得單測站三點圓心法測量誤差為±24.1 mm。小于表1中各高度允許偏差，說明單站測量精度理論上可以滿足規程規范要求。

4 結論

通過以上測量理論分析、誤差公式推導、精度范圍分析和現行規范要求對比分析，對三點圓心法研究后可以得出以下結論：①原理簡單，便于監測人員理解和操作，只需根據圖形幾何關系便可推導出變形量計算公式和變形方向計算公式。②內業計算簡單，可采用程序或電子表格自動計算，大大降低了測量人員復雜的內業計算工作。③外業操作簡單，僅需要架站一次對圓形建筑各高度采集坐標點，在經濟適用性、作業安全性和作業效率方面均較其他方法具有明顯優勢。④精度可靠性高，無需安裝監測點，避免了儀器照準目標時的人為誤差，且有多組觀測數據，可相互印證。⑤單個測站測量精度理論上可以滿足傾斜監測要求，故控制點選擇簡單。為提高激光信號反射性能和保證測量精度，激光入射角宜小于30°。⑥當測量儀器選定后，三點圓心法測量誤差僅與3個測點的相對位置有關，應避免測點之間距離近的情況，保證三角形最小內角不小于20°，測點應較均勻分布于建筑物四周。⑦為保證測量質量，提高成果可靠性。可采用多點測量模式，利用最小二乘原理，平差計算出最優成果解。