圓形建筑物傾斜監(jiān)測中三點(diǎn)圓心法的應(yīng)用研究

徐 建，曾群意

（西南電力設(shè)計(jì)院有限公司，四川 成都 610056）

隨著社會建設(shè)的快速發(fā)展，各種圓形高聳建筑（如火力發(fā)電廠的煙囪、冷卻塔、風(fēng)機(jī)等）越來越多，而它們在建造及運(yùn)行時均對垂直度有著嚴(yán)格要求，一旦傾斜量超出限值，后果可能是災(zāi)難性的。為確保它們處于安全穩(wěn)定狀態(tài)，需定期檢測其垂直度。

圓形高聳建筑的傾斜監(jiān)測歷來是高精度工程測量的難點(diǎn)問題，特別是像煙囪、冷卻塔等直徑隨高度的變化而不同，且無安裝監(jiān)測標(biāo)志的建筑物。三點(diǎn)圓心法的提出很大程度上保證了監(jiān)測成果的精度和可靠性。本文簡述了利用免棱鏡全站儀監(jiān)測的原理和方法，推導(dǎo)出測量誤差理論計(jì)算公式，并對誤差公式進(jìn)行了重點(diǎn)分析論證，闡述了精度變化規(guī)律及在使用該方法時應(yīng)注意的事項(xiàng)。

1 三點(diǎn)圓心法介紹[1]

根據(jù)現(xiàn)場實(shí)際情況，在圓形建筑周圍埋設(shè)控制點(diǎn)A和B，使用免棱鏡全站儀，利用極坐標(biāo)測量法可直接測量出同高度觀測點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)差值計(jì)算水平位移分量和位移方向。三點(diǎn)圓心法示意圖如圖1所示。

圖1 三點(diǎn)圓心法示意圖

設(shè)圓形建筑圓心坐標(biāo)為（XO，YO），半徑為r，同一高度上3個觀測點(diǎn)的坐標(biāo)為P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2）、P3（X3，Y3），該圓方程為：

由公式（1）—（3）可計(jì)算各個不同高度的觀測值的圓心坐標(biāo)，底部中心坐標(biāo)可采用設(shè)計(jì)值或測量值，至此可以較方便地計(jì)算不同高度的移量及位移方向。實(shí)際工程中常采用增加觀測組求均值的方法，或最小二乘平差法剔除粗差，以提高變形測量精度和可靠性。

2 誤差公式推導(dǎo)

由于建筑物外壁坐標(biāo)為極坐標(biāo)法測量所得，因此討論測量精度需對極坐標(biāo)法的測量精度進(jìn)行分析。極坐標(biāo)法示意圖如圖2所示。

圖2 極坐標(biāo)法示意圖

圖2中A、B為已知控制點(diǎn)，P點(diǎn)為監(jiān)測點(diǎn)，則根據(jù)極坐標(biāo)測量原理P點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式為：

假定控制點(diǎn)成果測量誤差固定，不影響待定點(diǎn)測量精度，對式（4）微分得：

令mβ為儀器測角誤差，mD為儀器測距誤差，則由式（5）及誤差傳播定律可得監(jiān)測點(diǎn)點(diǎn)位誤差方程[2]：

整理式（6），可得極坐標(biāo)法測量精度評定公式如下：

由于圓形建筑物各觀測點(diǎn)坐標(biāo)值相互獨(dú)立，根據(jù)建筑物中心計(jì)算公式及誤差傳播定律可得建筑物中心點(diǎn)位誤差方程如下：

整理后得到計(jì)算公式如下：

已知：

整理式（7）—（9）后可得：

式（10）中：mD和r分別為儀器測距誤差和圓形建筑半徑；D12、D23和D13為圓形建筑外壁上3個監(jiān)測點(diǎn)之間的距離。

一般圓形建筑半徑為固定值，因此變形監(jiān)測精度由儀器測距誤差和監(jiān)測點(diǎn)距離Dij（或相對位置）決定。

3 誤差精度分析

設(shè)三點(diǎn)構(gòu)成的三角形邊長分別為a、b和c，對應(yīng)的角度分別為A、B和C。由三角形外接圓性質(zhì)可知：

將式（11）代入式（10），整理后式（10）可轉(zhuǎn)化為：

即：

由式（13）可以看出，三點(diǎn)圓心法測量誤差僅與3個測點(diǎn)的相對位置和儀器測距精度有關(guān)。由于三角形內(nèi)角正弦值為位于0與1之間的值，故：

故上面式（12）和式（13）具有相同的單調(diào)增減性，為方便計(jì)算，后面討論極值問題采用式（12）。

由于A+B+C=180°，此項(xiàng)為條件約束項(xiàng)，λ為任意數(shù)值。對式（14）進(jìn)行求偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)駐點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)為0，則有下列各式：

由式（15）—（17）可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C時有唯一駐點(diǎn)。對式（14）本體函數(shù)項(xiàng)進(jìn)行求二階偏導(dǎo)數(shù)，并代入駐點(diǎn)值，則有下列各式：

由于：

根據(jù)三元函數(shù)極小值的充分條件可以判定，駐點(diǎn)處為函數(shù)的極小值[3]，將駐點(diǎn)代入誤差計(jì)算公式（13）可得理論最小測量誤差：

由于誤差計(jì)算公式只有一個駐點(diǎn)為極小值，故誤差無極大值。假定三角形內(nèi)角中A角度趨近于0，則：

由函數(shù)夾擠定理可知，根據(jù)誤差計(jì)算公式計(jì)算的測量誤差可在理論上無限大，故需要對三點(diǎn)圓心法適用范圍進(jìn)行探討。測站視角示意圖如圖3所示。

圖3 測站視角示意圖

測站視角α值取決于測站至高聳建筑物的距離D和高聳建筑物半徑，目前電廠煙囪的測量的視角一般為160°～176°，按視線1/2處可以返回免棱鏡全站儀激光信號，則一個測站測量所得的三角形銳角β為20°，鈍角為140°，將各角度數(shù)值代入誤差計(jì)算公式（13）可得只架設(shè)一個測站的測量誤差：

以煙囪變形監(jiān)測為例，鋼筒煙囪中心線垂直度偏差的限差為H/1 000，且小于等于100 mm，鋼筋混凝土煙囪筒身中心線垂直度偏差限值如表1所示。

表1 鋼筋混凝土煙囪筒身中心線垂直度偏差限差表[4]

表1（續(xù)）

現(xiàn)在免棱鏡全站儀TRK模式下的測距精度為±（3+0.000 3%×D）mm[5]，依現(xiàn)有的免棱鏡全站儀測程布設(shè)測站，測站至煙囪距離不超過500m，按500m計(jì)算測距精度為±4.5 mm，代入式（18）可得單測站三點(diǎn)圓心法測量誤差為±24.1 mm。小于表1中各高度允許偏差，說明單站測量精度理論上可以滿足規(guī)程規(guī)范要求。

4 結(jié)論

通過以上測量理論分析、誤差公式推導(dǎo)、精度范圍分析和現(xiàn)行規(guī)范要求對比分析，對三點(diǎn)圓心法研究后可以得出以下結(jié)論：①原理簡單，便于監(jiān)測人員理解和操作，只需根據(jù)圖形幾何關(guān)系便可推導(dǎo)出變形量計(jì)算公式和變形方向計(jì)算公式。②內(nèi)業(yè)計(jì)算簡單，可采用程序或電子表格自動計(jì)算，大大降低了測量人員復(fù)雜的內(nèi)業(yè)計(jì)算工作。③外業(yè)操作簡單，僅需要架站一次對圓形建筑各高度采集坐標(biāo)點(diǎn)，在經(jīng)濟(jì)適用性、作業(yè)安全性和作業(yè)效率方面均較其他方法具有明顯優(yōu)勢。④精度可靠性高，無需安裝監(jiān)測點(diǎn)，避免了儀器照準(zhǔn)目標(biāo)時的人為誤差，且有多組觀測數(shù)據(jù)，可相互印證。⑤單個測站測量精度理論上可以滿足傾斜監(jiān)測要求，故控制點(diǎn)選擇簡單。為提高激光信號反射性能和保證測量精度，激光入射角宜小于30°。⑥當(dāng)測量儀器選定后，三點(diǎn)圓心法測量誤差僅與3個測點(diǎn)的相對位置有關(guān)，應(yīng)避免測點(diǎn)之間距離近的情況，保證三角形最小內(nèi)角不小于20°，測點(diǎn)應(yīng)較均勻分布于建筑物四周。⑦為保證測量質(zhì)量，提高成果可靠性?？刹捎枚帱c(diǎn)測量模式，利用最小二乘原理，平差計(jì)算出最優(yōu)成果解。