從一道高考題看三角恒等變換的處理技巧

山東 周夢鴿

三角恒等變換是高考中的重要考查內容，主要考查學生對兩角和與差的正弦、余弦、正切以及二倍角等基本公式的運用，同時也要求學生掌握一定的處理技巧，方便運算.往年的高考題目中，對三角恒等變換的考查有出現在選擇題或填空題中，考查公式的正用、逆用或三角函數化簡、求值、求角等，也有出現在解答題中，與三角函數或解三角形知識相結合.其中，三角恒等變換的處理技巧一直是學生學習的難點，它對學生的思維量、靈活性、數學核心素養提出較高要求.又因為它在高考試題中排序靠前，很多學生在處理條件時因為研究方向不對存在無從下手或者無頭亂撞的情形，在高考考場上可能會耗費大量時間，影響發揮.本文將從一道高考真題入手，對三角恒等變換的部分技巧進行總結歸納，以此希望為學生備考本章節內容提供些許啟發與參考.

一、試題展示及分析

二、教材原型

高考真題在課本練習題中往往是有跡可循的.山東省已經實施新高考兩年，重在考查學生的基本知識、基本思想和基本技能，配套使用的數學新教材在導語中也對學生提出要求——要“重視基礎、拾階而上”，這也恰恰是高考試題命制時的一個依據.對此，比較重要的一個體現就是課本題改編幾乎每年都會出現在高考試題中.本題就是必修一教材練習題中的兩道證明題的變式.

方法介紹：在解決證明等式恒成立問題時，一般可以從左往右、從右往左或者左右兩端同時化簡到同一形式入手，遵循的原則是“由繁到簡”，即從復雜的一端往簡潔的一端進行化簡.

證明過程：

=cosφ+sinφ=右邊.

證畢.

本題中涉及的知識有“1”的變換和二倍角正弦公式的使用，與高考題所求式子高度相似，可以為高考題中所求代數式的處理提供解決方案.

證明過程：

證畢.

本題中涉及的知識有“1”的變換和一次齊次式化切的辦法，同樣與高考題中所求式子非常相似，為學生解決此類問題提供思路.

以上兩道課本題目與高考題目中所求式子相差無幾，這啟發學生在平時的學習過程中一定要注重課本習題的掌握，牢記基礎知識，在復習時，要回歸課本，善于總結知識方法.

三、解法探究

方法一：特殊值法

選擇其中一種情況將其代入所求代數式

故選C.

方法二：構造齊次式

故選C.

說明：此方法是觀察到分子分母的次冪不同，由此將其拆解成兩部分，一部分是一次齊次式，另一部分是“1+sin2θ”，又通過對“1”進行替換，“sin2θ”進行升冪縮角變成二次多項式，再配湊了一個分母“1”即“sin2θ+cos2θ”，構造出一個二次齊次式.兩個齊次式依次除以cosθ，cos2θ，最終將所求式子化成只含有tanθ的式子，代入求值即可.

齊次式化切是三角恒等變換的高頻考點.利用齊次式化切也是給出角的正切值去求正弦、余弦混合的代數式的值這類問題的常見解法.它的好處在于不需要求解角的正弦值和余弦值就可得到最終結果，計算量少，但對于式子的處理和預判要求較高.常見的題型有三類：一次齊次式型、二次齊次式型和配湊型.所謂齊次式就是分子分母每一項次冪相同，它的處理辦法是：對于一次或二次齊次式，分子分母同除以cosθ或cos2θ得到只含有tanθ的式子；對于非齊次式，需要配湊出齊次式再化成含正切函數的式子，在配湊的過程中利用1=sin2θ+cos2θ將整式配湊成分式或者將實數變成二次多項式.

答案：A

方法三:“1”的巧用

=sinθ(sinθ+cosθ).

接下來可利用方法一帶值計算，也可構造二次齊次式進行計算.

說明：此解法對應教材中習題對于“1”的處理，在這里學生要熟悉“sinθ±cosθ”與“sin2θ”的聯系，即(sinθ±cosθ)2=1±sin2θ.因此觀察分母和分子中出現的“1+sin2θ”，可以化簡所求式子.

“1”的巧用之一已經體現在上述當中，即依據同角三角函數的平方關系進行替換.除此以外，在余弦二倍角公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α中也有“1”的出現，選擇適當的二倍角公式可以快速得到想要的結果，下題便是很好的體現.

答案：2

本題中等式左端分子分母各出現了一個“1”，使用的公式卻不同，原因在于后面cosθ前的符號不同，但解題的思想是一致的，即利用余弦二倍角公式中出現的“1”來消掉題干中的“1”，這又是“1”的另一巧用.

四、結束語

三角恒等變換在高考試卷中屬于難度中等、較為基礎的題目，但它又常與解三角形和三角函數等內容相結合，因此是解決這一模塊內容的一根紐帶.它主要考查學生數學運算和邏輯推理的數學核心素養，需要學生準確掌握同角三角函數的基本關系、和差公式以及倍角公式，同時能夠靈活運用解題技巧快速解決問題.在備考過程中，學生應重視本章節的內容，加強計算，扎實掌握各種處理技巧，合理預判問題走向.