半橢球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)分形模型＊

趙海路 張學(xué)良 許雍泰

（太原科技大學(xué)機械工程學(xué)院，山西 太原 030024）

機械設(shè)備在長時間的運轉(zhuǎn)下，必然會產(chǎn)生大量的熱量，而當(dāng)這部分熱量從一個零件傳到另一個零件時，由于零件之間表面接觸不完全而導(dǎo)致熱流線收縮，此時交界面會產(chǎn)生明顯的溫度差，從而會導(dǎo)致不同的接觸熱導(dǎo)（TCC）。熱流的主要導(dǎo)熱方式有[1]：兩物體表面之間相互接觸微凸體的熱傳導(dǎo)；兩物體表面間隙介質(zhì)的熱傳導(dǎo)；兩物體表面的熱輻射。隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，接觸熱導(dǎo)在機械制造、航空航天、低溫超導(dǎo)和熱交換器等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的影響[2]。

自20世紀(jì)60年代以來，許多學(xué)者從理論、實驗和數(shù)值分析等方面對接觸熱導(dǎo)進行了深入的研究。1969年，Cooper M G等[3]提出了第一個接觸熱阻模型，即CMY模型，為以后的學(xué)者研究接觸熱導(dǎo)和接觸熱阻奠定了基礎(chǔ)。Zou M Q等[4]提出了一個基于分形幾何理論的隨機數(shù)值模型來計算接觸熱導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)分形參數(shù)D和G對接觸熱導(dǎo)有顯著影響。Zhang J H等[5]研究了考慮微凸體彈塑性變形和基體熱阻的接觸熱導(dǎo)預(yù)測分形模型，計算了包括基體在內(nèi)的接觸熱阻。馬麗娜[6]建立了接觸熱導(dǎo)的二維分形模型，并分析了分形維數(shù)、法向載荷對熱導(dǎo)的影響。Jeng Y R等[7]提出了一種考慮彈性、彈塑性和塑性變形的橢球形微凸體接觸模型，建立了平均接觸壓力與微凸體接觸面積及變形量之間的關(guān)系。譚文兵等[8]依據(jù)各向異性分形幾何理論，將微凸體接觸面拓展為橢圓形，推導(dǎo)出包含偏心率在內(nèi)的橢圓形接觸面面積的二維聯(lián)合分布密度函數(shù)并建立了基于橢球形微凸體的結(jié)合面法向接觸剛度模型。

然而，現(xiàn)有結(jié)合面接觸熱導(dǎo)分形模型研究的不足之處在于都將微凸體理想化為半球形，這與實際情況并不相符，而且已有研究表明[9-11]，將微凸體接觸面拓展為半橢圓形，這樣更加符合實際情況，也更具有一般性。且有關(guān)微凸體為半橢球形的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)問題還無人研究，故本文建立了考慮半橢球形微凸體彈性、彈塑性和塑性接觸變形機制的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)三維分形模型，并研究了相關(guān)參數(shù)對所建模型的影響。

1 半橢球形微凸體接觸模型

結(jié)合面問題可以等效簡化為一個當(dāng)量粗糙表面和一個理想剛性平面的接觸問題，如圖1所示，p為單個半橢球形微凸體所受的法向載荷，接觸長度為l=2b， δ為微凸體的變形量，微凸體實際接觸面積s= πab，a、b、e分 別 為 微 接 觸 橢 圓 面 的長 、 短半軸長和偏心率，且

圖1 半橢球形微凸體與剛性平面接觸模型

1.1 半橢球形微凸體彈性接觸

半橢球形微凸體的變形量為[12]

由文獻(xiàn)[12]可知，當(dāng)半橢球形微凸體法向變形量為 δ時，其彈性變形下對應(yīng)的接觸面積se，所受的法向載荷pe， 曲率半徑Rm，分別為

式中：D為 分形維數(shù)；G為分形粗糙度參數(shù)；E為等效彈性模量，，E1、E2分別為兩接觸材料的彈性模量，v1、v2分別為兩接觸材料的泊松比；，其中K(e)、E(e)分別為第一和第二類橢圓積分：K(e)=

1.2 半橢球形微凸體彈塑性接觸

半橢球形微凸體開始產(chǎn)生塑性屈服的臨界變形量 δc為[12]

式中：H=2.8σy， σy為較軟材料的屈服極限；材料特性參數(shù)；K為硬度系數(shù)，與較軟材料的泊松比v之間的關(guān)系為K=0.454+0.41v。

當(dāng) δ = δc時，聯(lián)立式（1）和式（5）可得相應(yīng)的彈性臨界微接觸面積sc(e)與偏心率e滿足的關(guān)系為

當(dāng)半橢球形微凸體的變形量 δ滿足 δc≤ δ≤ 6δc，即sepc≤s≤sc時（sepc為第一彈塑性臨界微接觸面積），微凸體發(fā)生第一彈塑性變形，其對應(yīng)的第一彈塑性接觸面積和接觸載荷分別為[12]

此外，當(dāng)半橢球形微凸體的變形量 δ滿足6δc≤δ≤ 110δc，即spc≤s≤sepc時（spc為第二彈塑性臨界微接觸面積），微凸體發(fā)生第二彈塑性變形，其對應(yīng)的第二彈塑性接觸面積和接觸載荷分別為[12]

1.3 半橢球形微凸體塑性接觸

當(dāng)半橢球形微凸體的變形量δ滿足 δ ≥ 110δc，0≤s≤sp時，微凸體發(fā)生塑性變形，此時微凸體接觸面積與接觸載荷分別為[7]

2 基于半橢球形微凸體的結(jié)合面接觸模型

由于只將微凸體的形狀由原來的半球形拓展為半橢球形，而結(jié)合面上的微凸體面積大小分布密度卻沒有變化，故將具有分形特征的結(jié)合面半橢球形微凸體的面積大小分布密度函數(shù)采用與半球形微凸體的面積大小分布密度函數(shù)[13]相同的形式。

式中： ψ為域擴展因子；sl為微凸體的最大接觸面積，其中Ar為結(jié)合面真實接觸面積。

2.1 結(jié)合面彈性接觸載荷

由式（3）和式 （16）可得，結(jié)合面彈性接觸載荷為

將式（17）和式（18）進行無量綱化，當(dāng)D≠2.5時，

當(dāng)D=2.5時，

式（19）和式（20）中：G*為無量綱分形粗糙度參數(shù)；為接觸率；為無量綱彈性臨界微接觸面積。

2.2 結(jié)合面彈塑性接觸載荷

由式（9）和式（16）可得，結(jié)合面第一彈塑性接觸載荷為

對式（21）進行無量綱化得

由式（12）和式（16）可得，結(jié)合面第二彈塑性接觸載荷為

對式（23）進行無量綱化得

結(jié)合面彈塑性接觸載荷為

從而結(jié)合面無量綱彈塑性接觸載荷為

2.3 結(jié)合面塑性接觸載荷

由式 （15） 和式 （16） 可得，結(jié)合面塑性接觸載荷為

式（25）中：e為偏心率。

對式（25）進行無量綱化得

綜上可得，考慮半橢球形微凸體彈性、彈塑性和塑性3種接觸變形機制的結(jié)合面無量綱接觸載荷為

3 基于半橢球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型

3.1 半橢球形微凸體的接觸熱導(dǎo)模型

由文獻(xiàn)[14]中單個半球形微凸體的接觸熱導(dǎo)公式可以推導(dǎo)出單個半橢球形微凸體的接觸熱導(dǎo)公式為

從而可得，半橢球形微凸體的彈性接觸熱導(dǎo)、第一彈塑性接觸熱導(dǎo)、第二彈塑性接觸熱導(dǎo)和塑性接觸熱導(dǎo)分別為

式中： λ為結(jié)合面導(dǎo)熱系數(shù)， λ1和 λ2分別為兩接觸材料的導(dǎo)熱系數(shù)。

3.2 結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型

由式（16） 和式 （29） 可得，結(jié)合面彈性接觸熱導(dǎo)為

對式（33）進行無量綱化得

由式（16）和式（30）可得，結(jié)合面第一彈塑性接觸熱導(dǎo)為

對式（35）進行無量綱化得

由式（16）和式（31）可得，結(jié)合面第二彈塑性接觸熱導(dǎo)為

對式（37）進行無量綱化得

由式（16）和式 （32） 可得，結(jié)合面塑性接觸熱導(dǎo)為

對式（39）進行無量綱化得

綜上可得，考慮半橢球形微凸體彈性、彈塑性和塑性3種接觸變形機制的結(jié)合面無量綱接觸熱導(dǎo)為

3.3 建模流程

為了便于從整體上理解和把握以上所建半橢球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型的理論推導(dǎo)過程，建模流程如圖2所示。

圖2 建模流程圖

4 結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型的仿真分析

取=0～0.02，分形維數(shù)D=2.1～2.9，偏心率e=0.1～0.9，無量綱化分形粗糙度參數(shù)G*=10-11～10-9，對式（27）和式（41）所建模型進行仿真計算，結(jié)果如圖3～6所示。

圖3 D 對 的影響(e=0.5,φ=1.5)

4.1 分形維數(shù) D對接觸熱導(dǎo)的影響

為了便于分析分形維數(shù)D對 無量綱接觸熱導(dǎo)的影響，這里將對采用對數(shù)坐標(biāo)的形式。

由圖3可知，結(jié)合面之間的接觸熱導(dǎo)隨著分形維數(shù)D的 增大而增大。這是因為隨著D的不斷增大，從微觀上講，將導(dǎo)致兩表面之間相互接觸的橢球形微凸體數(shù)目變得越來越多，從宏觀上講，兩接觸表面將表現(xiàn)為越來越光滑，從而使結(jié)合面接觸面積越來越大，故無量綱接觸熱導(dǎo)也就越來越大。

4.2 偏心率 e和對接觸熱導(dǎo)的影響

圖4 e 和 對的影響(φ=1.5,D=2.3)

由圖5可知，在不同的分形維數(shù)D下，結(jié)合面接觸熱導(dǎo)都隨著無量綱化法向載荷P*的增大而增大；在P*和D一 定時，結(jié)合面無量綱化接觸熱導(dǎo)隨著無量綱化分形粗糙度參數(shù)G*的增大而減小。這主要是因為，P*越大，從圖5c可知，結(jié)合面接觸面積越大，故越大；而在P*和D一 定時，隨著G*的不

圖5 P*和 G *對 的影響(e=0.5,φ=1.5)

4.4 兩種接觸熱導(dǎo)模型的對比

如圖6所示，Semiellipsoid表示基于半橢球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型(即本文所建模型)，記為模型1；Semisphere表示以往的基于半球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型，記為模型2。

由圖6可知，當(dāng)分形維數(shù)D和分形粗糙度參數(shù)G*一定時，模型1和模型2所仿真出來的結(jié)合面無量綱接觸熱導(dǎo)都隨著無量綱法向載荷P*的增大而增大；且當(dāng)P*一定時，隨著分形維數(shù)D的不斷增大，模型2的總要比模型1的大。斷增大，結(jié)合面越粗糙，結(jié)合面之間相互接觸的微凸體減少，故越小。

圖6 兩種接觸熱導(dǎo)模型的對比(G*=1e-9)

5 結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型的驗證

為了驗證所建模型的正確性，采用文獻(xiàn)[5]的實驗數(shù)據(jù)，兩接觸材料采用304不銹鋼，其中分形維數(shù)D=2.8567，分形粗糙度參數(shù)G=5.112×10-7m，熱導(dǎo)率 λ =10.7W/(mK)，彈性模量E1=E2=201GPa，截斷長度Ls=1nm ，泊松比v1=v2=0.28，材料的硬度H=2400MPa ；并取偏心率e=0.3，將以上參數(shù)數(shù)據(jù)代入本文所建模型，其仿真計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的對比如圖7所示。

由圖7可知，在法向壓力P＞3MPa 時，本文所建基于橢球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型的仿真計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)吻合較好，而在法向壓力P≤3MPa時，本文所建模型的仿真計算結(jié)果與實驗值偏差較大；這主要是因為本文預(yù)測模型忽略了相鄰非接觸微凸體間隙的介質(zhì)熱傳導(dǎo)，尤其是在低法向壓力條件下，實際接觸面積只占名義接觸面積的很小一部分，即此時相鄰非接觸微凸體間隙的介質(zhì)熱傳導(dǎo)起著較大的主導(dǎo)作用，從而會出現(xiàn)上述在低法向壓力下預(yù)測數(shù)據(jù)要小于實驗數(shù)據(jù)的現(xiàn)象，因此從總體上說，本文所建的基于橢球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型是正確可信的。

圖7 本文模型與球形模型及實驗數(shù)據(jù)的對比

此外，從圖7中還可以看出，當(dāng)法向壓力P＞6MPa 時，本文模型的Hc要比半球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)Hc更接近實驗數(shù)據(jù)，從而說明在法向壓力較大時，本文所建的半橢球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型要優(yōu)于半球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型。

6 結(jié)語

本文將結(jié)合面之間的微凸體從半球形拓展為半橢球形，彌補了以往接觸熱導(dǎo)模型中將微凸體理想化為半球形的不足，在此基礎(chǔ)上，基于三維分形接觸理論，建立了考慮半橢球形微凸體彈性、彈塑性和塑性3種變形機制的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型，仿真結(jié)果表明：

（1）半橢球形微凸體的結(jié)合面無量綱接觸熱導(dǎo)隨著橢圓偏心率、分形維數(shù)、無量綱法向載荷和接觸率的增大而增大，而隨著無量綱分形粗糙度參數(shù)的增大而減小。

（2）半橢球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型較于半球形微凸體的結(jié)合面接觸熱導(dǎo)模型更適用于法向載荷較大的情況；所建模型的仿真計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的一致性驗證了本模型的正確性。