讓思維在溝聯與拓展中走向深刻

謝錦璇

數學課程標準提出：“數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。”教學中如何讓學生在新課的學習上，能夠自主地聯系舊知識或相關知識來解決，使學生的數學學習更系統性，更有邏輯性？如何喚醒他們的記憶力，把一些關聯的數學知識聯結起來，感受數學知識的聯系性？如何基于學生已有的知識經驗進行有效的拓展和延伸呢？

一、 主動聯結舊知，推進知識建構，激發思維

指向數學思維品質培養的數學課堂，一定要留足空間與時間，讓學生主動思考，養成發現問題、提出問題、解決問題的能力。基于這樣的思考，課前讓學生提出他們想研究的問題，明確本課學習探究的目標與路徑。讓學生學會聯系舊知，主動溝聯，讓知識深入淺出，讓學習由淺入深。

(一)關聯舊知，自主學習

片段一：教學《分數除法》時，老師可以這樣提問：“今天我們一起學習分數除法，關于分數除法，你想知道什么？”學生可能回答：“分數除法的類型是什么？”“意義是什么？怎么算？”“為什么這樣算？有什么用？”“與分數乘法有聯系嗎？”學生能夠自如地提出這么多的問題，說明他們已養成聯結舊知的習慣，能根據課題主動提出各種相關聯的問題，提出教學目標與學習路徑。學生迫切想明白為什么要學習這個分數除法，怎樣學習，用什么方式來學習，怎樣借助原有的知識解釋新知識。

(二)對比溝聯，融通知識

片段二：教學《猜數游戲》時，心里想一個數，把它乘2，再加上20，等于80？

師：怎樣準確地猜到這個數呢？你有什么好辦法？你是怎么想的？

生：用倒推法，根據一個數乘2再加20得到80，用80先減去20，再除以2。

師：你能用這單元學習的方程來解決嗎？

生：把心里想的這個數設為，順著這句話想的等量關系列出了方程：2+20=80。

接著引導嘗試解決，此時坐立不安的學生自己發現了問題。

生：解方程每一步就是算術法。它們一一對應。

師：仔細對比這兩個算式，你發現什么不同點和相同點？哪個地方一一對應呢？

生：解方程的第一步等式兩邊同時減去20和算術法(80-20)是對應的，第二步等式兩邊同時除以2和算術法60÷2也一一對應，結果一樣。

生：第一個算式用倒推法來思考，用算術的方法來解決。第二個算式順著題目的發展順序來思考，用方程法來解決。

師：對，算術法是逆向思維，而方程法是順向思維。

這樣在教材的細節處進行對比溝聯，推進知識建構，讓學生的思維在對比中慢慢走向寬廣。

(三)喚起聯系，舉例驗證

片段三：教學《乘法分配律》時，從貼瓷磚主題圖中抽象出兩個等式：3×10+5×10和(3+5)×10，回頭看看等式的兩邊為什么相等？大部分學生都能脫離情境聯系乘法的意義進行解釋，左邊算的是3個10加5個10，右邊算的是8個10。師：看來這個等式，不僅從結果上看是相等的，還可以從乘法的意義來驗證左右兩邊是相等的。還能用其他辦法解釋這組等式是相等的嗎？學生畫點子圖求總量、變長方形求面積、聯想長方形周長、用生活事例來解釋，此時老師對這幾種驗證方法進行溝聯，歸根結底，所有的解釋都是聯系乘法的意義3個10加5個10等于8個10，在數形結合中自主聯系、溝通，快速地抓住問題的本質，凸顯乘法分配律的意義。體會對某些數學知識可以從不同的角度加以分析，不同層次進行理解。也就是新舊知識間建立聯系或產生矛盾，從而推進學生建構知識的進程。

二、 經常回顧反思，凸顯數學本質，發展思維

課堂教學要基于對教材的深入解讀，對學生學習路徑的分析，順應“從哪里來，是什么，到哪里去”。在不斷回顧反思中引導學生用聯系的眼光去發現與探究，找到知識的支撐點，準確理解、大膽說理、舉一反三、意義建模，達到對知識系統的理解與靈活應用。

片段一：教學《百分數的認識》，作為“數”概念教學的核心，需要學生能描述其意義，并能結合生活實際進行解釋。因此本堂課選取學生親近的生活素材為主情境圖，例如：男教師人數占全校教師人數的10%；果汁中含有50%蘋果汁；食物中的蛋白質含量：牛奶3%、雞蛋12%、豌豆25%。這3個素材從學生的生活中來，從學生已有學習經驗出發，借助分數的率的意義來遷移學習百分數的意義。引導學生多角度解釋百分數的意義后，第一次回過頭看看這幾個百分數有什么相同的地方，發現它們都是部分占整體的百分之幾。接著在主情境圖中“派哪名隊員去罰點球？”讓學生自主探索完，又引導第二次回頭看看這兩組分數與百分數的數據，有什么相同點與不同點？它們都是表示一個量是另一個量的百分之幾，也是部分占整體的百分之幾。在最后一個環節讓學生解釋生活中的百分數，又進行第三次回頭看，找相同與不同。通過三次的回頭看，找相同與不同，讓學生在大量感知百分數具體意義的經驗中多層建模，主動抽象出百分數都是表示一個數是另一數的百分之幾，也就是表示兩個數的關系，凸顯百分數的本質。

師：是不是分數除以任何整數的計算都是這樣算呢？請舉個例子說說。

生：還可以更大的數，比如除以1000。

師：舉得完嗎？回頭看，你想說什么？

生：除數不能為0。分數除以一個不為0的整數，相當于乘這個整數的倒數。

師：你真善于總結，能用一句話來概括分數除以整數的方法。除了用一句話概括，還可以用別的方式來概括。

師：整數除以整數也是這樣算嗎？獨立完成這道題。

師：回頭看，你想到了什么？(橫著看、豎著看)

生：整數除以一個整數(零除外)等于乘這個整數的倒數。

在多次回頭的牽引下，不斷地誘發學生進一步的猜想、聯系、歸納，使思維不斷向更深處、更嚴謹處延伸。

三、 借助已有經驗，適度拓展延伸，提升思維

拓展和延伸是學生在學習原有知識的基礎上，增加學生的知識積累，激發學生探求知識的愿望，培養創造性思維。因此，教師需要對教材進行適度的拓展和延伸，挖掘教材以外的相關資源的深層價值。

(一)多渠道地喚醒學生已有的知識經驗，緊扣文本、適度拓展

課堂教學中經常創設開放性強、富有聯想空間的問題，通過大膽猜想、聯系生活，讓知識延伸，讓不同學生的思維得到不同發展。

片段一：教學《乘法分配律》時，關于乘法分配律，你能聯想到什么呢？你有什么猜想？學生可能說：“加號可以變減號嗎？”還可能說：“乘法分配律是否可用在減法中？(-)×=×-×。”也有的學生提出質疑：“乘號可以變除號嗎？除法有分配律嗎？(+)÷=÷+÷。”……這些猜想，都是學生對本課知識的拓展和延伸，對下節課的學習提出新猜想。這樣富有生成性的教學，使學生思維的廣闊性、獨創性得到有效的培養。

片段二：在教學《分數除法(一)》

師：仔細閱讀大家自己創編的實際問題，發現了什么共同點？什么變了、什么不變？

生：把一個數平均分成幾份，求每份是多少？

數學知識與現實生活密切聯系，創設開放空間，讓學生自主尋找模型的生活原型，幫助學生透過現象看本質，觸摸數學拓展之魂。

(二)多層次地展現學生已有的知識經驗，由淺入深、有效延伸

面對學生已有知識經驗的差異，我們要精心布局，在關鍵深入的問題上發表意見，讓不同層次的學生都有展示自己的機會；讓知道一丁點兒的學生先說；知道多一點的學生后說；知道很多的學生最后說；知道淺一點的學生，讓他在基本問題上發言；知道深一點的學生，讓他進行補充，在互補中拓展與延伸，深度體驗。

教學片段：在《烙餅》這一課的教學中，怎樣才能盡快吃上餅呢？先讓孩子用3個圓片(標上正反面)動手操作實踐一下，實踐完，分層次地說說想法。

知道一丁點兒的學生：我是一次烙一個面，一個一個地烙，6個面，每個面3分鐘，所以18分鐘。這類孩子就是因為沒有讀懂題目“每次只能烙兩張”。

知道多一點的學生：兩個餅同時烙正面3分鐘，再同時烙反面3分鐘，最后一個餅正面3分鐘，反面3分鐘，一共是12分鐘。

教師引導：這類孩子沒有考慮盡快吃上餅，就是烙餅時要節省時間，應該每次同時烙兩個餅。

知道很多的學生：我用畫圖，每次鍋里同時烙兩個餅，1次3分鐘，3次9分鐘。

知道深一點的學生：一個餅有兩個面，3個餅6個面，每次鍋里同時烙兩面，可以烙3次，共9分鐘，可以直接計算3乘3等于9。

師：為什么呢？兩個3分別表示什么？

生：第1個3是烙3次，另外一個3表示每次3分鐘，共9分鐘。

師：你怎么知道烙3個餅就是烙3次呢？

生：烙餅的次數=總面數除以2，所以3個餅就是烙3次。

師：烙餅問題的計算方法是最節省的時間=烙一面餅的時間乘烙餅的次數，照這樣你能舉一反三嗎？烙10個餅幾分鐘？100個？1000個？

師：你能用一個簡單的式子來表示嗎？生：個餅就是3分鐘。

這樣分層的交流反饋，才能讓不同的學生都有展示自己的機會，教師也可以知道孩子的知識在哪兒，思維障礙在哪里，助推新知由淺入深、由形象變為抽象，讓不同學生的思維逐漸走向深刻。

(三)多形式地了解學生的已有知識經驗，文化素養、拓深思維

教師可以設計課前問卷、問題調查，包括與教材緊密相關的知識生長點、延伸點等。使得在學習新課的前后有效地延伸文化內涵，發展學生的數學思維與文化素養。

教學片段：在《找質數》的課后練習教學時，在百數表中尋找質數，課前布置學生調查：“有關質數你想了解什么？知道了什么？質數有什么作用？”讓學生搜集的資源發揮最大的價值，使學生在碰撞、對比、互補、互學中實現思維層面的提升。教學此練習題，先讓學生獨立完成題目并思考：“剩下的都是質數嗎？”“這樣排除夠嗎？”

生：還不夠，劃掉除7外所有7的倍數，剩下的才能都是質數。

生：我同意，49和77不是質數，其他數都重復排除，那么8、9的倍數也就不用排除了？

生：為什么呢？

生：是2的倍數也是8的倍數，是3的倍數也就是9的倍數。

師：大家已用篩選法，篩掉的數排列有什么規律嗎？

生：這些被劃掉的數是2的倍數，分別在第2、4、6、8、10列。3的倍數成斜排，5的倍數在第5、10列。

師：這些排列你感受到了什么呢？生：我發現了這些合數，個位不變，十位變了。

生：其實這些都是合數，它們分別是2、5、3的倍數特征，它們的排列讓我們感受到數學規律之美。

師：你們尋找質數的方法好像一個篩子，把合數篩去后，剩下的便是質數了，所以這種方法也成為“篩法”，是兩千多年前希臘數學家埃拉斯特尼發明的，篩法文化讓我們有序地找到質數，關于質數你有什么想問的嗎？

生：為什么要找質數呢？

師：因為合數都能分成幾個質數的乘積，所以質數被稱為自然數的“數根”，任何一個大于1的整數，要么是質數，要么是合數。

生：質數在生活上又有什么作用呢？

師：用途很廣，比如密碼編碼時加入質數，編碼之后再傳送給收信人，破解密碼過程就是尋找質數的過程。

生：在汽車變速箱齒輪的設計上，齒輪齒數常設計成質數。

師：是呀，相鄰的兩個大、小齒輪齒數設計成質數，以增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇，增強耐用度，減少故障。

生：殺蟲劑使用在質數周期的時間上，實驗表明，質數次地使用殺蟲劑是最合理的。

師：質數次地使用殺蟲劑都是使用在害蟲繁殖的高潮期，害蟲很難產生抗藥性。

生：在軍事設備上，導彈和魚雷可以使敵人不易攔截。

師：那是導彈和魚雷以質數形式、無規律變化的出現。

……

在練習講解中之所以交流、碰撞出這么多有關質數的數學文化，都是來自學生在課外帶著問題調查的結果，因為有提前讓學生帶著問題去調查，開闊數學眼界，使得本堂課的拓展水到渠成，豐富了對質數的認識，讓學生用數學的眼光去看待生活，體會到生活中處處有數學，豐盈學生的數學文化素養。

每堂數學課，筆者總放慢教學速度，與學生行走在思考的路上，經常問問學生：“你感受到了什么呢？你有什么想問的嗎？”師生之間的碰撞，才能促進學生之間的交流與補充，共同達到預期的教學目標。課堂中以學生的生活經驗為主，在把握學情、深入解讀文本的基礎上進行適度、智慧的拓展延伸。讓溝通聯系真正發揮作用，讓拓展延伸為深入理解教學內容而服務；讓有深度的數學課堂植入學生的心田，使其思維得到綻放；讓有趣的數學課堂慢下來，使其學習真正地發生。