分數槽集中繞組定子磁動勢的分解

陳會崇, 宋承林

(青島中加特電氣股份有限公司，山東 青島 266400)

0 引 言

一般交流電機定子繞組的每極每相槽數q為大于1的整數，節距y略小于每極槽數，稱之為分布短距繞組。而分數槽集中繞組的每極每相槽數是分數且q<1，線圈的兩條邊放置在相鄰的槽內即y=1。由此可知分數槽集中繞組的特點有：極對數p一定時，定子槽數Q成倍減少，結構簡單，鐵心模具容易加工；線圈數量少，且相互沒有交叉重疊，端部長度較短，用銅量及銅耗少，方便采用自動嵌線工藝[1-2]。

近10年來，分數槽集中繞組在永磁同步電動機、永磁無刷電動機、同步磁阻電機[3]和直線電機[4]中得到了越來越廣泛的應用。如小型的外轉子通風機電機和機器人用伺服電機[5]因定子空間小，槽數不宜過多；低速大轉矩直驅電機的額定轉速小于100 r/min，需采用較多的極對數,采用分數槽集中繞組已成這類電機的主流方案。與分布短距繞組的極對數較直觀不同，分數槽集中繞組的極對數與轉子有關。而作為交流電機電磁轉矩不等于零的一個準則，定、轉子極對數必須相等[6]。本文意從不同的角度解釋這一現象，并為研究新的分數槽集中繞組提供一種思路。本文分解磁動勢的方法分為兩種:交流電的繞組理論和函數的傅里葉級數展開。

1 單元電機簡介

當定子槽數Q與極對數p的最大公約數t不為1時，可以把整個繞組分成t個完全相同的單元，每一單元有p/t對極和Q/t個槽。由于各個單元的相應槽號在磁場中所處的位置完全相同，所以只需研究一個單元內的定子磁動勢即可。如研究27槽24極的電機，可簡化為研究9槽8極。而在低速大轉矩場合廣泛應用的48槽40極、72槽60極、96槽80極等電機，定、轉子的磁場分布與12槽10極的電機等效，可一并研究。

現以12槽雙層集中繞組為例說明。雙層繞組的線圈數等于槽數，每相有12/3=4個線圈。為充分利用集中繞組的特點獲得較高的電動勢，需要2個線圈作為一組相鄰，且電流方向相反；為使每相繞組的磁動勢在空間均勻分布，需要2組線圈空間相差180°；因2組線圈對應的轉子極性不同，故電流方向應相反。綜上所述，12槽雙層集中繞組接成一路串聯時一相的接線方式如圖1所示。

圖1 12槽雙層集中繞組一相展開圖

為簡化分析，這里假設：

(1) 忽略定、轉子鐵心的的磁壓降，不考慮飽和，磁動勢全部作用在氣隙上，且交鏈定、轉子，沒有漏磁；

(2) 氣隙均勻，不考慮永磁體的作用，d軸和q軸的磁導相等。

2 交流電機的繞組理論

2.1 單個線圈的磁動勢

N匝整距線圈通入交流電流，有效值為I，根據《電機學》繞組理論可知，ν次空間諧波磁動勢幅值

(1)

因為單元電機的定子槽數與轉子極對數的最大公約數為1，故可忽略轉子極對數，從結構上認為定子繞組為“2極”，整距線圈的“節距”，即“極距”τ=Q/2=6。

集中繞組的節距y=1，單個線圈的基波節距因數:

(2)

單個線圈ν次諧波的節距因數

(3)

2.2 一組線圈的磁動勢

一組線圈有兩個線圈，等效后的每極每相槽數q=2。圖1中兩線圈距離為1個槽，等效后的“機械角度”為π/6，但因電流方向相反，故“電角度”α=5π/6。

線圈組的基波分布因數：

(4)

線圈組ν次諧波的分布因數：

(5)

于是，線圈組的磁動勢：

(6)

式中:Nt為線圈組的串聯總匝數，Nt=2N；kwν為線圈組ν次諧波的繞組因數，等于該次諧波節距因數與分布因數之積，即：

kwv=kpvkdv

(7)

可以根據式(3)、式(5)和式(7)計算繞圈組的繞組因數。基波到20次諧波的繞組因數如表1所示。

表1中出現的負號是指該因數引起的某次諧波的磁動勢與基波磁動勢方向相反。

通過表1可以得到以下結論：

表1 12槽集中繞組一組線圈的繞組因數

(1) 次數相差12的諧波，繞組因數相等，即kν=kν+12。繞組因數以12為周期出現，這是因為定子槽數是12。

(2) 一個周期內，半周期處和全周期處的繞組因數為零，即若m為任意自然數，k12m-6=k12m=0。另外，其他關于6對稱次諧波的繞組因數相等，即若n為小于6的自然數，k6m-n=k6m+n。

(3) 一個周期內，半周期處兩側的繞組因數最大，達0.933，說明該次諧波的利用率較高；其他次數諧波的繞組因數最高為0.5，幾乎沒有利用價值。

2.3 一相繞組的磁動勢

12槽集中繞組中的一相繞組包含4個線圈，即2個線圈組。這樣一相繞組產生的磁動勢是一個線圈組的2倍。但需注意，因為2個繞圈組在空間相差電角度為π，故相磁動勢不包括偶次諧波。

根據交流電機的繞組理論，線圈組產生的磁動勢只與槽內電流方向有關，而與其接法無關。所以一相的8個線圈邊可以看作4個整距線圈，如圖2所示。而整距線圈所生的為一系列奇次諧波磁動勢。

圖2 一相集中繞組線圈等效成整距線圈

這樣，一相繞組所生的ν次諧波磁動勢幅值

(8)

式中:Nw為線圈組的串聯總匝數，此處Nw=4N。

2.4 三相繞組的合成磁動勢

通入正弦交流電流時一相繞組產生的是一系列奇數次波的脈振磁動勢。三相繞組軸線空間上均勻分布，互差2π/3電角度；三相電流頻率相同，時間上亦互差2π/3電角度。定義A相繞組的軸線為空間原點，A相電流由負變正時為時間原點，那么時間t處距離A相繞組軸線為α角度處A、B、C三相產生的ν次諧波磁動勢：

(9)

式中:ω為電流變化的角速度。

此時此處的三相合成磁動勢為

fν(α,t)=fAν(α,t)+fBν(α,t)+fCν(α,t)

(10)

將式(9)進行三角函數的積化和差，代入式(10)，并經處理后可得到以下結論：

(1) 3以及3的倍數次諧波磁動勢為0，即單元電機中不存在3及3的倍數次諧波；

(2) 當ν=6i+1(i=0，1，2，…)時，fν為

fν=1.5Fwvcos(ωt-να)

(11)

基波及諧波合成磁動勢為正向旋轉,轉速為120πω/ν,幅值為1.5Fwν；

(3) 當ν=6i-1(i=1，2，3，…)時，fν為

fν=1.5Fwvcos(ωt+να)

(12)

諧波合成磁動勢為反向旋轉，轉速為120πω/ν，幅值為1.5Fwν。

考慮到基波和各次諧波的繞組因數，經計算可知5次諧波的磁動勢幅值最大。50次以內基波和各次諧波磁動勢幅值與5次諧波磁動勢幅值之比如圖3所示。

圖3 12槽集中繞組各次諧波相對值

3 函數的傅里葉級數展開

3.1 單個線圈通電產生的磁動勢

N匝線圈通入電流i，當電流方向為下進上出時，線圈內的磁力線從左向右穿過氣隙，如圖4所示。

圖4 單個線圈產生磁通的磁力線

線圈內氣隙面積與線圈外氣隙面積之比為1…11，根據磁路的磁阻R=L/(μ0S)，線圈內氣隙的磁阻與線圈外氣隙的磁阻之比為11…1。由于流入線圈內氣隙的磁通等于流出線圈外氣隙的磁通，根據磁路的歐姆定律F=RΦ，線圈內氣隙的磁壓降是線圈外氣隙的11倍。以線圈軸線為原點，沿氣隙方向展開，得到線圈產生磁動勢的分布圖，如圖5所示。

圖5 單個線圈的磁動勢

3.2 用傅里葉級數分解整距線圈磁動勢

若周期函數f(x)滿足一定的條件[7]，且周期是2π，在[-π,π]內，函數用傅里葉級數可表示為

(13)

當函數f(x)已知時，可以求出：

(14)

(15)

(16)

式中:n=1,2,3，…。

把求得的a0，an，bn代入式(13)即可得到f(x)的傅里葉級數表達式。

傅里葉級數在電工學中有較廣泛的應用。把線圈或繞組的磁動勢按傅里葉級數的形式寫出的物理意義是：空間上的矩形波可以分解為幅值不等、周期從一到無窮大的一系列正弦(或余弦)波。

整距線圈在兩側氣隙生成的磁動勢數值相等，為總磁動勢的1/2；以線圈軸線為坐標原點，沿轉子外徑展開，得到圓周上不同位置磁動勢的相對值:

(17)

計算a0，an，bn:

(18)

解得,當n=0時，a0=0；當n=1,2,3,…時,an為

(19)

bn=0。

實際上，函數中的n就是磁動勢分析中的諧波次數ν。以上結果表明：

(1) 磁動勢在橫坐標軸上方和下方的面積相等，所以級數的常數項a0/2=0；

(2) 因為把線圈軸線當作了縱軸，原函數是偶函數，故級數沒有正弦分量，bn=0。后續將盡可能把函數設為偶函數，不再計算bn。

(3) 關注an。當n為偶數時，an=0，這就是繞組理論中強調的整距線圈沒有偶數次諧波；當n=4i+1(i=0,1,2,…)時，an>0，說明x=0時(線圈軸線位置)n次諧波的波峰與函數值同向；當n=4i-1(i=1,2,3,…)時，an<0，說明x=0時n次諧波的波峰與函數值同反向。

綜上，整距線圈磁動勢(與總磁動勢的相對值)的傅里葉級數表達式為

-π≤x<π

(20)

繪制原波形和分解后的前4項諧波圖像如圖6所示。

圖6 整距線圈的磁動勢分解

圖6中，曲線1為分解前矩形波磁動勢；曲線2、3、4、5分別為基波、3次、5次、7次諧波磁動勢；曲線6為曲線2～曲線5的疊加。可以看出，曲線6和曲線1接近。

3.3 分解集中繞組線圈磁動勢

按3.1節所述，寫出圖4表示的磁動勢相對值的表達式：

(21)

根據上文分析，只計算an即可。解得：

(22)

磁動勢相對值的傅里葉級數表達式：

-π≤x<π

(23)

式(23)表明：

(1) 集中繞組磁動勢既包含奇數次諧波，也包含偶數次諧波；

(2) 奇數次諧波的幅值與整距線圈比較，多出一個系數sin(nπ/12)，這就是線圈的節距因數kpν(習慣上用ν代替n)。

實際上，本節的分析適用于所有的短距線圈。繪制原波形和分解后的前4項諧波圖像如圖7所示。

圖7 集中繞組線圈的磁動勢分解

圖7中，曲線1為分解前矩形波磁動勢；曲線2、3、4、5分別為基波、2次、3次、4次諧波磁動勢；曲線6為曲線2～曲線5的疊加。

3.4 一相集中繞組線圈的磁動勢

限于篇幅，這里不再推導一個線圈組的磁動勢。總之與單個線圈比較，前面的系數是繞組因數，是線圈短距和線圈組分布的綜合影響。現直接寫出一相繞組一個周期內的磁動勢相對值表達式:

(24)

按傅里葉級數形式寫出:

-π≤x<π

(25)

可以看出:

(1) 當n為奇數時，sin(nπ/3)和sin(2nπ/3)數值相等。一相繞組的繞組因數為[sin(nπ/2)- sin(nπ/3)]/2；

(2) 當n為偶數時，sin(nπ/3)和sin(2nπ/3)數值相反，an=0，即磁動勢為0。

矩形波和分解后的前4項諧波圖像如圖8所示，各曲線的說明同圖6。

圖8 一相集中繞組的磁動勢分解

三相合成的磁動勢見2.4節，不再贅述。

4 分數槽集中繞組的一般規律

如前所述，采用12槽集中繞組的電機，5次和7次諧波的磁動勢幅值最大，所以12槽的電機通常是5對極或7對極的。可以利用5次諧波選用5對極的轉子，也可以利用7次諧波選用7對極的轉子，注意電源相序相同時兩種電機的轉向相反。如選用5次諧波，那么7次諧波就是幅值最大、擾動最強的諧波，反之亦然。所以為使電機的性能最優，極對數通常要接近但不等于定子槽數的一半。進一步總結，分數槽集中繞組的特點與槽數有密切的關系。

4.1 定子槽數和繞組因數

為使三相電機每相產生的磁動勢均布，定子槽數Q必須是3的整數倍。

分數槽集中繞組中一個線圈的節矩因數為

(26)

由于電角度α=(1-2/Q)/π，代入分布因數的計算公式可知其與q和Q有關(與整數槽繞組不同)，其分布因數為

(27)

實際上，式(26)、式(27)是式(3)、式(5)的推廣。繞組因數的計算見式(7)。

4.2 定子槽數是偶數

為使用幅值最大、繞組因數最高的諧波，電機的極對數p與定子槽數的關系為

p=Q/2±1

(28)

定子可以使用單層繞組，但受限較多，如采用雙層繞組，每相可有空間上對稱、電流方向相反的兩組線圈，前面已經分析了產生的磁動勢不含偶數次諧波。又因為兩組線圈的相位重合，所以它們之間既可以串聯，也可以并聯，即并聯路數可選1和2。但因為單元電機內繞組只能等效成2極，所以最多只能有兩組線圈，并聯路數不會大于2。

4.3 定子槽數是奇數

為使用幅值最大、繞組因數最高的諧波，電機的極對數p與定子槽數的關系為

p=(Q±1)/2

(29)

但是因為槽數是奇數，只能采用雙層繞組，且線圈數等于槽數，也是奇數。這樣在常用的三相電機中，每相線圈數也是奇數。所以此時一相繞組的并聯路數只能為1路。每相線圈無法等效為整距線圈，故其磁動勢分解后既有奇數次諧波，也有偶數次諧波。

5 結 語

雖然分數槽集中繞組的單元電機中定子槽數和轉子極對數可以有若干種組合[8]，當選用的極對數接近但不等于定子槽數的一半，且槽數不太少時(如大于9)，極對數與槽數的最小公倍數足夠大，這樣定子齒諧波較小，改善了氣隙磁場波形，所以大大降低了電機的轉矩波動。這也是分數槽集中繞組的優點之一。

與以基波作用的磁場作為電樞磁場參與能量轉換不同，分數槽集中繞組產生的磁場較為復雜。所以如果拋開轉子，在不知電機極數的情況下，稱該定子為“分數槽”，是有歧義的。因為定子轉子的極對數必須相等，所以原則上可以說，只要磁動勢分解后包含與轉子極對數對應的諧波，電機就可以運行，即參與工作的磁動勢諧波次數就是定子的極對數。為了最大程度地利用定子磁動勢，需要選擇合適的轉子極對數與定子槽數匹配。