永磁同步電機轉子偏心電磁力和撓度的分析與計算

賴文海, 黃開勝, 周 游

(1.廣東省東莞電機有限公司,廣東 東莞 523130；2.廣東工業大學 自動化學院,廣東 廣州 510006；3.湖南科技大學 機電工程學院,湖南 湘潭 411100)

0 引 言

隨著居民生活用電和工業用電的不斷攀升，部分地區倡導工業生產錯峰用電和采取拉閘限電來調整國內日益上漲的電力負荷。能源急缺的問題日益嚴重，合理用電和提升電器設備能效是當務之急。國家在“十三五”節能減排綜合工作方案中重點強調了電機系統能效提升的節能減排工作。2020年5月，國家標準化管理委員會發布標準GB 18613—2020《電動機能效限定值及能效等級》，此標準于2021年6月強制實施。淘汰了YE2(舊三級能效)電機，YE3和YE4分別降為新三級和二級能效電機，電機產品開始進入高效節能的時代。

永磁同步電機(PMSM)具有功率密度大、高效節能、控制精準、穩定性強等優點。采用標準三相異步電機鑄鐵外殼的PMSM，更具有安裝方便、通用性強的優點，鑄鐵機殼PMSM在現代工業制造中得到了廣泛應用。我國大部分國企轉制民營的工業異步電機生產企業具有較深厚的技術沉淀，在鑄鐵機殼PMSM產品上可以實現快速延伸和轉型。使用鑄鐵機殼的PMSM產品可以實現與標準三相異步電機相同的安裝尺寸，根據不同使用工況，還可以降低1～3機座號，但是在相同的機座號下提高電機的功率，轉子上產生的不平衡磁拉力將會變大，并且隨著PMSM產品競爭的加劇，電機定轉子之間的氣隙通常做得較小，相同剛度的轉子在較小氣隙和較大不平衡磁拉力的情況下，轉子撓曲程度會變大，造成不平衡磁拉力和撓度再次變大，進而導致電機振動噪音的加大、主軸和軸承壽命降低，嚴重時有可能造成電機托底等問題，對電機的機械結構造成了新的考驗。

文獻[1]通過理論推導了分數槽集中繞組電機不平衡磁拉力的解析表達式。文獻[2]通過區域法和攝動法研究計算了兩極平行充磁實心圓柱式PMSM轉子偏心磁場和不平衡磁拉力。文獻[3-8]對轉子偏心不平衡磁拉力進行理論推導和有限元法計算。文獻[9]詳細介紹了轉子動力學的理論基礎和相關計算方法。文獻[10-13]通過解析計算和有限元法計算了轉子撓度。但缺少對轉子偏心電磁力和轉子撓度有限元法計算的綜合介紹與研究。

本文以目前新型節能的大功率PMSM產品為研究對象，重點研究轉子偏心電磁力和撓度的準確計算方法。詳細闡述轉子偏心電磁力和轉子撓度的理論解析和有限元計算過程，并將兩種方法的計算結果進行對比，驗證了所提方法的可行性和可靠性。

1 不平衡磁拉力產生的原因

造成PMSM不平衡磁拉力的主要因素可以分為電磁和機械兩大類：

(1) 電磁因素。電磁設計造成的磁路不對稱，如分數槽極配合、不均勻氣隙、磁極偏移等。生產制造中造成的磁場不對稱，比如裝錯磁鋼、磁鋼性能一致性差、繞錯線圈、定子落線錯誤等。使用過程中造成的磁場不對稱，比如供電電源不對稱、高溫過載造成部分磁鋼退磁。

(2) 機械因素。結構設計造成的轉子偏心，如沒有充分考慮軸承游隙、軸承剛性變形、主軸撓度、電機氣隙太小等。機械加工造成的轉子偏心，這個因素主要取決于電機定子、轉子、端蓋和軸承的機械加工和配合的精度。裝配和拆卸不當，各個零部件受力不均勻變形造成的轉子偏心。軸承保養或者選用不當，軸承磨損造成的轉子偏心。各個零部件質量不均勻，動平衡精度不達標等。

本文主要研究轉子偏心造成的不平衡磁拉力，轉子偏心結構示意圖如圖1所示，轉子圓心和定子圓心偏心距為px，α為機械角位置，δ0為均勻氣隙的長度，γ為偏心氣隙角位置。

圖1 轉子偏心結構示意圖

任意t時刻，α位置的氣隙大小可以表示為

δ(α,t)=δ0+px(α-γ)

(1)

任意t時刻，α位置的氣隙磁密可以表示為

(2)

根據麥克斯韋張量法，任意t時刻，α位置的徑向力密度和切向力密度可以表示為

(3)

(4)

式中:μ0為真空磁導率;Bn(α,t)為徑向磁密分量；Bt(α,t)為切向磁密分量。

由式(2)～式(4)可以看出，偏心轉子的氣隙不均勻，氣隙小則磁阻小磁密大，氣隙大則磁阻大磁密小，導致沿氣隙圓周分布的磁密和電磁力密度發生改變以致不對稱，最終將會在轉子表面合成指向氣隙較小一側的不平衡電磁力。

2 不平衡磁拉力和撓度的解析計算

2.1 不平衡磁拉力的解析計算

PMSM常采用轉子外圓偏心技術，使定轉子間的氣隙不均勻，進而可以改善轉子磁場[14]，圖2為不均勻氣隙的內置式永磁電機(IPM)單元電機結構示意圖。

圖2 不均勻氣隙IPM結構示意圖

本文以355 kW 1 500 r/min IPM結構的鑄鐵機殼PMSM為例，計算轉子偏心的不平衡磁拉力和轉子撓度，電機的電磁和尺寸參數如表1所示。

表1 電磁和尺寸參數

假設轉子在垂直方向上發生偏心，考慮不同電機類型、磁場分布、磁路飽和、開槽等結構影響，可以推導出初始單邊磁拉力的解析表達式[15]：

(5)

式中:β為經驗系數，感應電機β=0.3，凸極同步電機、直流電機β=0.5，汽輪發電機β=0.2，此處PMSM取β=0.3；D2為轉子外圓直徑；lef為有效鐵心長度；Bδ為平均氣隙磁密；δavg為等效氣隙長度；e0為初始偏心，此處取0.1δ。

文中所有公式的單位標準參考標準GB 3101—1993，根據表1參數計算得到不平衡磁拉力為1 293.6 N。

由于目前PMSM不斷優化出現新的轉子結構，例如轉子外圓偏心、轉子外圓開輔助槽、增大交直軸磁阻比設計等結構，使得式(5)中的經驗系數β取值無法具有普適性。文獻[10]忽略大中型高壓高速電機端部效應的影響，推導了單邊磁拉力的解析表達式：

(6)

式中：Bδ2為氣隙最小處磁極平均磁密；Bδ1為氣隙最大處磁極平均磁密。

根據式(6)計算得到不平衡磁拉力為1 085.7 N。這種方法需要獲得較為精確的最大和最小處氣隙磁密來保證計算結果的準確性。針對目前PMSM轉子設計越來越精細和縮短開發周期的要求，可以依靠有限元軟件來計算。

2.2 轉子撓度的解析計算

本文采用能量法[15]和當量直徑法[16]來計算轉子撓度，不平衡磁拉力采用式(5)的計算結果。將轉子前后軸承簡化為鉸支約束，不平衡磁拉力和軸上零部件的重力簡化為集中力作用，轉子的簡化模型如圖3所示，ai、bi表示距A、B鉸支的距離，i=1,2,3；G為轉軸、轉子鐵心重力和兩側平板的重力之和；FM為不平衡磁拉力。

圖3 轉子的簡化模型

2.2.1 基于能量法的撓度計算

根據材料力學，彎矩M作用在一端固定長度為l的等截面梁上,所儲存的變形能為[17]

(7)

對圖3變截面梁采取分段計算，a段軸內所儲存的變形能為

(8)

式中：E為轉軸的彈性模量；Jai為鉸支A側第i段軸最大軸徑的截面慣性矩。根據卡斯奇諾定理得到a段軸的假想撓度：

(9)

同理可以得到b段軸的假想撓度fb。根據幾何關系可知重力G引起的撓度為

(10)

考慮不平衡磁拉力的撓度為

(11)

根據式(9)～式(11)以及表1和表2中的參數，可以計算得到本文案例轉子的撓度。

表2 基于能量法的轉子撓度計算

2.2.2 基于當量直徑法的撓度計算

當量直徑法是將不等截面梁等效為等截面梁的一種簡化計算方法，等截面的當量直徑為

(12)

將圖3轉軸不同直徑的軸端分別分段，li表示為不同軸段的長度；di表示為各軸段直徑。本案例基于當量直徑法的轉軸最大撓度為

(13)

最大撓度計算結果為0.090 6 mm。

3 偏心電磁力的有限元分析與計算

目前已有較多電機振動噪聲的相關研究，并且提到了采用Maxwell軟件，該軟件可以準確分析計算各種復雜結構電機的電磁場，特別是轉子偏心的電磁力計算方面，但卻缺乏相關內容的詳細介紹，下面將對此進行詳細闡述。

3.1 轉子偏心電磁力理論

通過幾何關系，可以將式(3)和式(4)轉化成任意t時刻x和y方向電磁力密度：

(14)

(15)

沿轉子表面積分再乘以鐵心長度，即可得到x和y方向以及合成電磁力：

式中：r為轉子外圓半徑。

Maxwell軟件可以方便得到模型上任意半徑r，位置角為θ的點的磁場矢量B(θ,r)，再通過幾何關系可以得到徑向和切向磁場分量：

Bn(θ,r)=Bx(θ,r)cosθ+By(θ,r)sinθ

(19)

Bt(θ,r)=By(θ,r)cosθ-Bx(θ,r)sinθ

(20)

由于Maxwell軟件輸出的磁場曲線為求解路徑上n個點數值的擬合曲線，故可以將式(16)和式(17)的曲線積分計算轉化為n個點電磁力的算數平均計算：

(21)

(22)

3.2 轉子偏心電磁力有限元計算

方法1：根據式(18)～式(22)在Maxwell軟件中創建電磁力輸出項，在轉子模型外圓表面繪制圓形求解路徑[18]，可以通過軟件求解偏心轉子的電磁力。為了便于得到不同求解路徑和鐵心長度計算，本文討論力密度的公式，電磁力僅需要再乘以圓形路徑半徑和鐵心長度即可得到。電機負載時，沿轉子圓周表面的fx和fy分布如圖4和圖5所示。

圖4 x方向力密度分布

圖5 y方向力密度分布

方法2：通過前面的數據可以計算得到Fx=14.1 N，Fy=1 208 N，F=1 208.1 N。此外，通過軟件可以在轉子模型上設置Force parameter直接計算得到Fx和Fy,根據式(18)關系，進而可以計算得到電機負載時隨時間變化的不平衡磁拉力曲線如圖6所示，其平均值為1 256.4 N。

圖6 不平衡磁拉力的時間變化曲線

解析法和有限元法電磁力計算結果接近，結果如表3所示。有限元方法可以充分考慮轉子的復雜模型、齒槽效應、磁飽和等影響，不需要設置經驗系數，計算結果更可靠。

表3 不平衡磁拉力結果對比

4 轉子撓度的有限元分析與計算

下文主要介紹轉子撓度有限元計算過程中轉子模型的簡化，負載及約束的施加。

4.1 轉子模型簡化

轉子撓度靜力學分析常采用三維有限元計算。轉子鐵心由一定數量的矽鋼片疊壓而成，PMSM的轉子鐵心常采用鉚釘、自扣槽、螺桿、螺母等方式緊固，轉子模型如圖7所示。

圖7 轉子模型

在轉子受力撓曲時，矽鋼片之間的擠壓摩擦，以及磁鋼、鉚釘、螺桿的嵌套會減小主軸的撓曲，但影響有限。另外，因為實際轉子鐵心的三維模型很復雜，有限元的計算量過于龐大，計算機容易出現內存溢出，所以轉子鐵心、磁鋼簡化為對主軸的重力作用。

動平衡板與主軸過盈配合可以增大所在軸段的截面慣性矩，提高抗彎能力，但兩端的動平衡板軸向尺寸較小，因此本文忽略動平衡板模型，將其簡化成動平衡板對主軸的重力作用。

軸承可以簡化成等效的鉸支約束，最終可以將圖7模型簡化為只有轉軸與載荷和約束的模型。

4.2 載荷和約束的施加

為了便于施加載荷和約束，需要將轉軸分割出軸承和鐵心軸段位，如圖8所示，并且在軟件中把分段模型合成一個整體。

圖8 轉子分段示意圖

在圖8鐵心段y負方向上施加不平衡磁拉力1 208.1 N，再疊加上轉子鐵心、動平衡板和磁鋼的重力2 972 N，最后對轉軸模型y負方向上賦予重力加速度完成載荷施加。

施加約束時需要分析實際模型的空間自由度。本文所述轉子采用深溝球軸承，在后軸承外圈采用波形彈簧對轉子軸向方向進行預緊，故可以將前、后軸承作用分別近似等效為固定鉸支(自由度為3個正交軸向轉動)和可動鉸支約束(自由度為3個正交軸向轉動和1個軸向平動)。

4.3 撓度計算結果

計算結果如圖9和圖10所示，圖9中轉軸的y方向的變形量用灰度圖體現，變形量越大顏色越深。圖10為沿軸中心線，轉子在y方向的撓度分布，轉軸撓度最大發生在距離軸伸前端面1 000 mm處，最大撓度為0.092 6 mm。

圖9 轉子撓度灰度圖

圖10 轉子撓度分布圖

5 計算結果對比

有限元撓度計算值0.092 6 mm是使用不平衡磁拉力有限元計算值1 208.1 N代入計算的結果，將該不平衡磁拉力有限元計算結果代入能量法以后的撓度值為0.099 4 mm，代入當量直徑法以后的撓度值為0.089 4 mm，三種方法的計算結果接近，驗證了轉子撓度有限元計算方法的可靠性。

有限元計算的轉子撓度占電機氣隙的6.6%，根據經驗，PMSM轉子撓度不超過電機氣隙的8%可以保證安全可靠運行。測試的電機振動值符合國家標準GB/T 10068—2020中機械振動限值要求。

6 結 語

本文以新型節能產品355 kW 1 500 r/min鑄鐵機殼PMSM為例，推導得到PMSM不平衡磁拉力的解析表達式，解析表達式適當轉化以后，便于將不平衡磁拉力公式輸入到Maxwell軟件并求解。本文詳細介紹了轉子不平衡磁拉力和撓度的有限元分析計算方法，通過對比解析計算方法和結果，驗證了所提方法的可行性和可靠性，有限元方法可以考慮各種復雜模型、磁場飽和影響，不需要設置經驗系數，尤其是對轉子結構較為復雜的PMSM，所提出的有限元方法計算結果更可靠。