“數學語言”的教學：意蘊與實施

文|莫廣榮

《義務教育數學課程標準（2022年版）》將“會用數學的語言表達現實世界”確立為學生核心素養的一個方面。“數學語言”逐漸成為數學教育研究中的高頻詞。數學語言是數學閱讀、數學表達以及數學交流的工具。不止于數學領域，現代社會方方面面都廣泛使用數學語言，數學語言能力已經成為人的必備素養之一。盡管先前的高中數學課程標準已經引入了“數學語言”概念，教育理論及實踐圍繞“數學語言”業已展開了零星的研究，但對數學語言的內涵、心理機制、教學價值及其教學策略的認識仍很模糊。本文將對這幾個方面做進一步探索，以期相關的研究能深入下去、立體起來。

一、數學語言的內涵及其心理機制

（一）數學語言的內涵。

數學語言是由數學符號、圖表以及加工之后的日常語言組成的用來表達數學思維、數學思想的專門語言。數學語言是抽象、準確、簡約、形式化之下的概念、公式、符號、圖形、圖表的結合體，是描述與交流現實世界的表達方式。從基本構成要素上看，數學語言由詞素、單詞、詞組、句子、句群組成。從承載對象看，數學語言分為：文字語言，它是在日常語言的基礎上形成的語言，是對日常語言的加工與改造、限定與精確化；符號語言，即以數學符號形式出現的語言，簡明、抽象；圖表語言，它以圖形、圖表的形式呈現，一般還配以文字說明，直觀、形象。數學語言常以這三類語言融合的形式整體出現在我們的面前。

（二）數學語言的心理機制。

第一，輸入階段的數學語言。此階段，主體接觸語言符號并將其中與數學相關的重要信息從背景中提取出來，選擇性地對重點內容保持敏感，比如，對文字、符號、圖表理解辨析，對復合語義拆分、理解、組合，初步理解命題含義。此階段的理解常常是句法分析先于整體的語義理解，即先深入到語言材料中，弄清關系，明確結構。如“a 的3 倍相當于b”與“a 相當于b 的3 倍”，兩句話中的詞語完全相同，但兩句話的內部構造不同，句法結構讓同樣的詞語在不同的“系統安排”下產生出不同的意思。輸入階段的數學語言理解是基于結構關系的語義理解和整體理解。

第二，轉換階段的數學語言。這是深度理解語義的階段。即在不同形式的數學語言之間，數學語言與日常語言之間，同一種數學語言內部各種表征形式之間進行互譯。在這個階段，內部語言異常活躍，我們有必要認識內部語言的活動機理。維果茨基研究發現，內部語言是在內部思維、外部語言之間迂回的功能強大的活動語言。內部語言有自己獨立的功能和形式，這種功能和形式的要義不在于將內部語言陳述出來進行交流，而在于促進思維。內部語言傾向于用語義，而不是用明確的詞、句去思維，因此它是一種語法獨特的準語言。這就導致內部語言轉換為外部語言并不像復制、粘貼那樣簡單。

第三，輸出階段的數學語言。內部語言是跳躍的、經驗的語言，往往只有屬己意義。在轉換為邏輯化、簡約化、規則化的外部語言前必須進行再加工。再加工不可避免地要面向現實，主要表現為，一方面是對數學語言共同體中的語言基本規范的遵循；另一方面要符合數學語言的抽象、準確、簡約、形式化要求。因此，內部語言轉化為外部語言必須經歷深加工的過程，以符合外化的條件和需要。

輸入、轉換和輸出階段的數學語言，其本質上都表現為一種數學語言向另一種數學語言的轉換（見圖1）。其中，輸入階段是把外在的數學語言向主體認知結構中自我能理解的語言轉換的過程，輸出階段是將自我的認知、思維過程進行整理，以轉換成符合言語規范要求的外在語言形式。因此，數學語言的心理過程的核心是“轉換”。

圖1 數學語言的教學框架

數學語言的心理過程及其核心為數學語言教學提供了內在機制參考，使得在學校層面通過教學途徑發展學生的數學語言能力有了依據。

二、數學語言的教學價值

（一）承載語言教育，促進數學課程內涵的提升。

思維是數學的主要標識。思維的發展需要語言的同步發展來支撐。因此，數學語言的教學勢在必行。學習數學面臨的是語言發展和思維發展雙重任務。從思維到語言和從語言到思維，語言與思維在相互的連續往復運動中彼此都有了新的發展變化。當年，斯托利亞爾甚至提出“數學教學就是數學語言的教學”的論斷，歐內斯特則把對話當做數學的一個隱喻，認為數學語言建設與數學思想、數學精神同等重要。一言以蔽之，歷史上的數學包含其語言本身。核心素養時代，我們不僅要在數學課程的全鏈條中進一步明晰數學語言的重要地位，賦予其更為具體的教學內容，更要增大直面數學語言開展活動的比例，讓數學語言成為學生學習與訓練、實踐與運用的直接對象，助力數學語言從理念課程向實踐課程轉型。

（二）復活語用實踐，促進教師教學方法的優化。

絕大多數教師認為語言教學是文科老師的事，幾乎沒有數學教師進行數學語言和數學表述教學法研究。受此影響，數學教學的方法總是囿于學科之內探路、尋變。迄今為止，數學與其他學科間的血脈仍然處于割裂狀態，學生的學習世界因學科而分離成條塊，且邊界分明。片面強化學科素養、弱化整體素養的現象愈演愈烈。鑒于此，推進課程整合，倡導跨學科素養培養，成為我國當代基礎教育改革的必然趨勢。從語言學習需要看，語言是人們工作、學習、生活中不可或缺的工具，學生語言素養不可一味地瑟縮在語文等少數幾門文科的光照之下，而應開動全學科體驗的引擎。數學教學要從自身性質出發，妥善處理數學語言應用帶動數學眼光、數學思維應用的關系，打造以數學語言教學為特色的“學科衍射”“學科互動”式課堂。要鼓勵教師向全科教師方向邁進，教師教數學要遵循生活語言、準數學語言、數學語言的導向路徑與漸進原則。數學教學法的研究要覆蓋到數學語言教學方面，而不能僅僅滿足于學生懂算理、明方法、會思考。

（三）涵泳語言習得，促進學生關鍵能力的形成。

國際學生評估項目（PISA）2000～2012 數學框架中的關鍵能力共由8 項內容組成，“陳述技能（陳述）”“交流技能（交流）”就占據了8 項中的2 項。再后來，PISA2021 數學框架從既往關鍵能力中選出新的8 項組成了“21 世紀技能”，同樣包括“交流”技能。數學交流就是使用數學語言、數學方法進行各類數學活動的動態過程，是以數學語言（文字語言、符號語言、圖表語言）為主的活動。數學語言能力已經成為學生交流能力中不可或缺的部分。記敘文語言的“求真”，議論文語言“求證”，說明文語言“求實”，等等，可以看作語文學科中的語言要求；文字語言的直接、符號語言的形式化、圖表語言的直觀，這些應是數學語言能力的朝向。數學教學是為了培養適應未來社會需要的人，學科育人思想呼喚學生數學語言能力的訓練與發展，數學學科應為培養學生的數學語用能力盡責。

三、數學語言教學的策略

只要學數學，從小學到大學，都會涉及數學語言方面的問題，只是符號化的層次要求不同，抽象度不同。課堂是培養學生數學語言能力的主陣地。《義務教育數學課程標準（2022年版）》中有關學生數學語言能力的要求是：能描述數量關系和空間形式；能構建模型，表達和解決問題；能理解數據的意義與價值，通過數據分析合理判斷或決策；幫助學生養成表達交流能力。歷經二十多年的教學實踐，筆者得出，面向數學語言的教學策略需從以下兩個方面入手。

（一）依托“說”為軸心的數學語言教學框架展開訓練，釋放結構性能效。

能用數學語言表述是衡量學生對數學知識理解的標志。“說數學”除了能讓學生增長專業知識、發展專業技能、獲得專業思想方法之外，還承載著數學語言教學的功能。

第一，加強“說”的本體建設。筆者嘗試研制了“說”為軸心的數學語言教學框架，內含“說點”“說理”“說題”三個貫通的環節（見圖1）。首先，擷取“說點”為語言學習提供載體。“說點”一般是一節課的重點或難點所在，可能是縱向追蹤中的某一個知識點，可能是橫向上知識點與知識點之間在數學方法、數學思想層面上的某種一致性，也可能是基于某個切口的發散點，等等。教師可以憑借教學經驗把握“說點”，也可以從即時課堂專業覺察中挖掘“說點”，還可以從課堂前測中發現“說點”。其次，通過“說理”點化語言。“說理”是基于“說點”的語言靶向活動，換言之，這個過程不是只講數學道理，還應幫助學生從“一般表述”向“精準表述”漸進與躍遷，要用數學語言的邏輯性、層次性、簡約化等要求對學生的語言進行干預。展示→比較→優化、示范→模仿→再創造，是引領學生數學語言走向成熟的有效路徑。最后，在“說題”中形成數學語言能力。課堂上，作為數學語言學習機會的“說理”，會因“說點”相同而形成“說”的技術性模仿局面。因此，有必要引入“說題”作為語言訓練的必要補充。“說題”即學生扮演教師角色講述問題解決的過程。其路徑為：自我默思→題意表征→解題陳述→評價反思。問題解決的過程就是數學語言的轉換過程，學生的數學語言能力大多時候是在問題解決中形成的。

第二，加強“說”的條件建設。作為與“說”關系緊密的因子，“聽”“想”“寫”“讀”在數學語言教學中發揮著重要的作用。首先，“聽”能催生出“說”的針對性。數學對話是以“聽”為先導的藝術，聽是飽含尊重、專注、耐心、理解的行動，高質量的傾聽是高質量對話的前提，培養學生的傾聽能力是發展其數學語言能力的先決條件。其次，“想”能催生出“說”的深刻性。“想”既包含“數學地思維”，還包括“用怎樣的表達形式更妥帖”，亦即調遣的字、詞、句要與表達的思想保持高度一致。高品質的“想”就是數學理解力、思維力與語言建構能力的協同發展。再次，“寫”能催生出“說”的條理性。條理性指做事有邏輯思維，有步驟、有規矩、不混亂的性質。大多時候，口語化的數學語言過分強調達意功能而缺乏語言成本意識。具體表現為，只求說清楚道理與解題思路而不考慮所用詞素、單詞、詞組、句子的多少以及它們相互間的結構關系。如果經常提供機會讓學生將數學闡釋“寫”出來，那推敲斟酌、謀篇布局等數學語言教學就有了看得見的機會。最后，“讀”能催生出“說”的規范性。發展學生核心素養倡導數學閱讀，目前，數學閱讀的指導大多指向于概念、規則、定律的理解與應用，也不乏向數學思維、數學思想、理性精神等方面開掘的例子，還有的指導深及情感、態度、價值觀層面，但針對知識結構表層的字、詞、句、段、篇的指導十分罕見。“讀”除卻具有與“聽”類似的輸入功能之外，還蘊藏著語言的積累與建構，這是由書面語言的規范性特質所決定的。從這個角度看，“讀”伴隨著語言的模仿與習得，對于“說”而言，“讀”有著匡正扶持的意義。

（二）構筑數學語言教學框架的支柱，釋放支持性能效。

上述中的數學語言教學框架需要話語模式和話語環境兩大支柱。前者是技術支持，后者是情感支持。

話語模式是指教師、學生在交往中為達成數學的語言訓練功能與意圖而使用的規律性的語言策略和話語邏輯。包括教師話語模式和學生話語模式兩個方面。從數學語言教學的視角審視當下課堂，我們發現，優秀教師都是應用話語模式的高手，在他們的語言感召下，學生個個想說，且說的內容豐富，在教師話語模式的指引、調整之下，學生總是說得愈發得體、到位，學生語言能力的拔節生長看得見。如，“關于這個問題，誰有想法了？”提醒學生說出完整的思考過程而非僅僅說答案；“看了這樣的解題過程，誰明白其中的意思？”意在讓學生轉譯現有解題方法；“課堂上如果只有一種答案，那多單調啊”，鼓勵學生批判、反駁；“用‘先……再……最后……’的形式重說一遍解題思路，你的發言會更精彩”，強調表達的邏輯結構及層次順序；“這幾種解答方法之間有什么聯系？有什么不同？”呼喚哲學思辨式的分析、評價語言。優秀教師除了有自己的話語模式之外，還會幫助學生養成他們的話語模式。包括合作討論階段的話語模式、小組匯報階段的話語模式、全班交流階段的話語模式。如合作交流時用“我發現……我知道……”陳述己見；用“我不明白的是……”尋求幫助；用“聽了你的發言我還想問的是……”展開追問；用“不要告訴我方法和答案，讓我再想想”表達獨立思考的愿望，等等。學生對這些話語模式駕輕就熟后，序列化調用就會形成言語實踐的支架，指引語言實踐的進階。

學習不只是一個認知、思維的過程，還是一個情意的過程，一個社會化的過程。一切語言教學都以學生想說、愛說為基礎，數學語言教學也不例外。數學語言教學需創設尊重、信任、民主、寬松、溫馨的對話環境。需要特別強調的是，數學語言的心理過程其核心是轉換，其本質是建模，教師要深刻認識作為學習參與的課堂沉默的必要性，它是學生話語形式的另一種呈現，是學生的隱性權力和技術運用。鑒于此，數學語言教學不能把消除沉默作為追求，而應潛入學生的內心世界，理解沉默話語，助推學生的數學語言能力的發展。