長度量感的表現維度與進階路徑
——兼評《毫米和分米的認識》同課異構

文|宋煜陽（特級教師）

《數學課程標準（2022年版）》指出，量感是小學階段數學核心素養具體表現的關鍵詞之一。基于內涵理解，量感主要表現為三個維度：維度一，對事物的可測量屬性以及大小關系的直觀感知。維度二，對度量意義的理解。度量意義的理解，主要反映在“能夠理解統一度量單位的必要性”“會對真實的情境選擇合適的度量單位進行度量”“會在同一度量方法下進行不同單位的換算”三方面。維度三，真實情境下的測量估計。在度量單位教學中，無論是量感的形成、豐富與發展等學習要求刻畫還是學習進階路徑預設，都需要以量感的三個表現維度作為重要依據。

具體到“毫米和分米”長度的量感，主要反映為下述學習行為和表現水平：

1.知道“毫米”“分米”是用于刻畫測量對象長度屬性的度量單位，毫米是比厘米更為精細的長度單位，毫米的產生是為了滿足實際測量精確程度的需求。

2.借助工具尺和常見參照物形成1 毫米、1 分米兩個新長度單位表象，能用肢體比劃1 毫米、1 分米的距離感，能對近似1 毫米、1 分米的身邊物體長度（寬度或厚度）屬性進行正確識辨或舉例說明。

3.知道1 米、1 分米、1 厘米、1毫米等長度單位之間的進率，能在具體情境中對這些長度單位進行單位換算，能對同一個測量對象運用不同長度單位進行描述。

4.掌握度量方法，能借助工具尺正確讀取幾毫米、幾分米，能對近似幾毫米、幾分米的身邊物體的長度（寬度或厚度）屬性進行估計。

5.能在真實情境中進行測量估計，選擇合適的長度單位進行度量或進行推斷。

在度量單位的發生和發展過程中，度量單位主要包括自選單位、標準單位和擴充單位三類。具體到長度單位體系中，毫米、分米隸屬于擴充單位，即在米和厘米標準單位基礎上衍生而來。為此，毫米和分米兩個新長度單位的學習，需要納入整個長度單位體系，建立新舊長度單位之間的聯系并完成相關長度單位體系的梳理。相應地，毫米和分米量感的形成，需要在具體情境中經歷舊知經驗激活、新情境遷移、學習方法進階的過程。兩篇《毫米和分米的認識》教學設計（以下簡稱設計一和設計二）都能較好融入具體情境，抓住“毫米”“分米”量感的表現維度，構建適度的進階路徑，幫助學生實現長度單位的結構化學習，豐富和發展長度單位的量感。

進階路徑一：在測量情境中體驗長度單位擴充的需求，讓“毫米”“分米”從長度單位體系中長出來。

從學情來看，學生對毫米并不陌生，在工具尺上對毫米刻度線也有關注。但這些認知經驗都是零散的，并未進入單位系統的視角。比如，為什么有了厘米還需要毫米？毫米是怎么產生的？如何以毫米為單位進行計數？這些問題指向了度量對象、度量單位和度量值三個核心元素。其中，毫米作為新的長度擴充單位，需要學生在測量情境中經歷“更小長度單位產生的過程”。

在設計二中，提供了厘米尺讀取毛毛蟲長度的活動。當得出“2 厘米多、3 厘米不到”的度量結果時，引發學生討論“要想知道這條毛毛蟲準確的長度，有什么好辦法”，這就把度量活動聚焦到了“更為精確的度量結果需要更為精細的度量單位進行計數”這一本質問題上來。當測量對象為短小物體時，原有長度單位“太大”，需要“更小的長度單位”，學生憑借經驗還是容易建立這個觀念的。為了防止學生陷入“毫米的產生就是為了度量短小的物體長度”這一思維定勢，設計一、設計二不約而同都補充了汽車長寬高數據，圍繞“像汽車這么大的物體為什么也用毫米作單位”展開討論，對毫米作為長度擴充單位進行了全面溯源：測量比較短小的物體長度或者要求測量比較精確時，可以用毫米作單位。這些活動雖然花時不多卻很有必要，能有效幫助學生認識到“毫米是用于刻畫測量對象長度屬性的度量單位”“毫米是比厘米更為精細的長度單位”“毫米的產生是為了滿足實際測量精確程度的需求”，這一系列認知既是進入單位系統視角的重要標志，也是毫米量感表現維度的重要內容。

如果把長度單位擴充方式看作縮放的過程，1 毫米是從1 厘米均分10 份、縮小至它的得到的；1 分米則是通過1 厘米的疊加、放大至它的10 份得到等價的10 厘米。由于10 厘米作為重要的參照標準，曾在“認識厘米”學習中積累了一定的表象經驗，所以分米作為長度單位的擴充可以簡略、明快一些。兩篇教學設計都是通過“10 個1 厘米”疊加得出1 分米，并放手讓學生自主學習分米的相關知識，進而在“2 個5 分米疊加”“2 分米、3 分米、5 分米直條拼接”活動中，衍生出“10 個1 分米是1 米”，梳理完成毫米、厘米、分米、米等長度單位體系之間的十進關系。為了幫助學生進一步直觀理解長度單位之間的結構性聯系，兩篇教學設計都把“相鄰單位進率10”與“計數單位滿十進一”巧妙聯系起來，設計一還采用數位順序表的形式展現已學長度單位之間的進率，促進知識遷移。兩篇教學設計，比較重視毫米、分米的單位擴充活動設計，有效幫助學生在測量情境中體驗新單位從單位體系中生長的過程。

進階路徑二：在具身體驗中形成“1 毫米”“1 分米”的表象，讓長度量感從“1”向“幾”擴展開來。

1 毫米單位表象的形成，主要反映為定性識辨和定量刻畫兩方面。定性識辨主要行為表現是能辨認或列舉周圍物體長度、寬度或厚度近似1 毫米的參照物，如單層物體厚度的1 分硬幣，也如5張厚度為1 毫米的電話卡等多層物體厚度。定量刻畫主要行為表現是能借助工具尺正確讀取、量畫1 毫米線段，能用肢體比劃出1毫米的距離。不管是定性識辨還是定量刻畫都離不開深入、豐富的具身體驗活動。

兩篇教學設計在“認識1 毫米”環節中，通過畫1 毫米、找1毫米和比劃1 毫米，將定性識辨和定量刻畫巧妙結合起來。畫1毫米活動，達成了量感的三個表現維度目標：一是借助尺子畫1毫米的線段，把1 毫米是一段距離這一本質屬性進行了反映；二是借助尺子在1 厘米中可以找到10 個1 毫米，落實1 厘米=10 毫米的進率；三是借助尺子找出其他1 毫米并自由畫，把1 毫米作為獨立長度單位進行計數。在找1毫米活動里，教師精心選取了單層、多層物體厚度為1 毫米的參照物，提供了1 分硬幣、直徑是1cm 厚1mm 的鈕扣、5 張厚度正好1mm 的學生電話卡等物品。在參照物尋找、證實的過程中，既是度量活動，也是單位表象強化的過程。比劃1 毫米的活動，是學生1 毫米表象校準和穩固的過程，通過肢體比劃想象、參照物比對調整，幫助學生脫離實物形成量感。

正如前文所述，由于1 分米與10 厘米等價以及先前具有10厘米疊加的活動經驗，兩節課在1分米單位表象建立的活動上花時不多，相反10 分米疊加為1 米的活動更為充分一些。活動意圖一是強化以分米為單位進行計數的度量本質，二是繼續鞏固1 米的表象。值得肯定的是，在形成10分米=1 米的疊加過程里，始終提供2 分米、3 分米、5 分米的紙條等直觀材料予以估計想象、拼接感知和米尺驗證，將“滿十進一”和單位長度的表象有機整合，長度單位量感的多個維度得以融合與發展。

從1 毫米到幾毫米、從1 分米到幾分米，簡稱從“1 到幾”，這個過程是新度量單位進行計數和等價單位轉換的核心，也是長度單位量感形成的關鍵。在感知幾毫米活動中，兩篇教學設計有一個共性特點——重視5 毫米作為擴充單位的應用。設計一是通過畫7 毫米長的線段，感知5 毫米作為擴充單位的應用價值；設計二專門安排了5 毫米的疊加，體現了1 毫米單位計數的過程，并通過想一想、記一記、畫一畫等活動強化5 毫米作為擴充單位的表象。在等價單位轉換中，設計一更為充分、細膩，先后通過“原先3毫米處接著畫7 毫米得到10 毫米”“電話卡從一張一張累加到10張，再從10 張10 張累加到100張”等活動，得出“10 毫米=1 厘米”“100 毫米=10 厘米=1 分米”等長度單位等價關系。從1 分米到幾分米，主要通過學習方法的遷移、估計驗證等更為自主開放的方式展開學習。“從1 到幾”的活動體驗，一方面幫助學生穩固1毫米、1 分米的單位長度表象，另一方面幫助學生把長度單位的量感從“1”向“幾”擴展開來。

進階路徑三：在估測活動中積累選擇合適長度單位的經驗，讓估計策略在實際情境中得到遷移。

前文就“毫米和分米”量感學習行為和表現水平具體化做了簡析，其中“能在真實情境中進行測量估計，選擇合適的長度單位進行度量或進行推斷”應該成為量感的高級表現形式。那么如何設計估測活動并使其增值？兩篇教學設計都精心安排了新長度單位的參照物估測、利用參照物選擇合適單位等活動，體現了估測活動的豐富性和層次性。

在1 毫米、1 分米兩個新長度單位教學中，始終把單位標準的參照物選擇、估測和驗證交織融合，在形式上有先量后估、先估后量，在材料上有單層厚度的卡片、多層疊加的A4 紙，在手段上有肢體比劃、紙上估畫線段、找身邊周圍的物體等，活動豐富且目標指向明確。需要指出的是，新長度單位參照物的估測活動，既是長度單位表象建立的過程，又是長度單位計數的過程，同時也是估計策略多元化的過程。比如，以下的教學活動顯得非常典型且富有意義：依次出示2 分米、3 分米、5 分米的紙條讓學生估計，說理由，說清以什么為標準進行估計，教師相機小結估計方法。最后把三張紙條連在一起，提問“現在有多長了”，引出1 米=10 分米，用米尺驗證。在這個片斷里，不論是2 分米、3 分米、5 分米單張紙條長度的估計，還是三張直條合拼后長度的估計，都可以采用1 分米疊加計數的策略來估計。當然也可以借助1 米（10 分米）的折半、均分來估計，初步形成縮、放的兩種估計策略。

利用參照物選擇合適單位的活動設計，主要分為兩個層次：第一層次是給定參照物進行計數推斷，如“把200 個紐扣豎著疊在一起大約有多高”“把200 個紐扣橫著排成一排大約有多長”的練習，主要調用“一粒紐扣厚度約1 毫米、寬度約1 厘米”的量感經驗進行計數、單位轉化和結果推斷。第二層次是學生自己選用參照物進行推斷，如“教室很臟，我要去找一塊（ ）寬的抹布來打掃。選項：3厘米 3 分米 3 米”“教室后面的墻上要掛一個鐘，我要找一根（ ）長的釘子。選項：4 毫米 4 厘米 4分米”“教室里有一些散亂的書，我要找一條（ ）長的繩子把它們捆成一疊。選項：2 厘米 2 分米 2米”。這些活動來自學生熟悉的現實情境，在選擇合適單位時存有“估計實物長度來選擇最接近的單位”“根據不同單位的結果來比對實物進行排除”等多種策略。

估測活動中，除了積極調用長度單位參照物進行計數外，還需要善于總結、歸納估計策略，幫助學生學會在真實情境中選擇合適度量單位，促進長度量感的水平進階。