一種平面冗余機器人總性能最優的實時控制方法

2022-09-03 01:47:18豆天賜張興超趙景宇

中國機械工程 2022年16期

榮譽豆天賜張興超張磊趙景宇

1.燕山大學車輛與能源學院，秦皇島，0660042.燕山大學河北省特種運載裝備重點實驗室，秦皇島，0660043.河北科技師范學院機電工程學院,秦皇島，066004

0 引言

隨著電子產業的迅速發展，科技的發展日新月異，計算機類(computer)、通信類(communication)和消費類電子(consumer electronics)三類電子產品(簡稱“3C產品”)更新換代頻繁。由于目前3C產品的裝配工作大都由人工來完成，為了提高效率、降低成本，各個廠商都購買和使用現有的高速輕載機器人協助完成每個產品的裝配任務，但是由于裝配空間以及流水線的空間十分有限，導致人機協作的風險大大增加。目前，3C 裝配領域一般采用選擇順應性裝配機器手臂(selective compliance assembly robot arm, SCARA)，這類機器人作為自動化生產線的輔助裝備，其平面自由度僅有兩個，無法完成對工作區域障礙的回避，所以其協同作業的安全性較低[1]，于是將平面4R冗余度機器人引入3C產品裝配的工作中，因為4R冗余度機器人擁有更多的自由度，具備更高的靈活性，能夠有效降低人機協作風險，此外，還能從根源上解決能源消耗不可控的問題進而對其進行優化。

對于冗余度機器人，驅動布置是一個關乎能量消耗的問題，機器人的伺服電機通常處于關節處，導致機器人的關節負載增大。隨著機器人的發展，繩索驅動也逐漸進入大眾視野，但是現階段的繩索驅動帶負載能力弱，傳動效率低，應對電機實時速度方向變化的能力差。牟宗高[2]為了減小臂桿部分的質量，機械臂采用電機后置和繩索牽引的驅動方式。繩索驅動在軟體機器人行業也備受關注，如JEONG等[3]采用線驅動實現各種控制算法的手康復運動可穿戴機器人；IN等[4]設計了輔助驅動器系統。

對于冗余度機器人，逆運動學求解比較困難，各國學者在冗余機械臂的逆運動學求解方面進行了大量的研究，求解方法有很多，大致分為8大類：①迭代法。以工作空間密度函數為基礎的迭代算法[5]、模糊神經推理法[6]、粒子群優化求解[7]。②代數法。加權最小范數法[8]、梯度投影法[9]。③二次計算法[10]。④幾何法[11-12]。⑤運動流行法[13-14]。⑥幾何與數值迭代結合法[15-16]。⑦倍四元數法[17]。⑧退化自由度法[18]。上述方法均有優缺點，例如：迭代法需要的算力很大，耗費時間長；幾何法具有求解快、精度高的優點，但是通用性較差[19]。

冗余度機器人可以改變位姿，完成優化的軌跡，以此達到最優控制。ROUT等[20]提出了教與學優化算法(teaching-learning-based optimization, TLBO)對目標函數進行尋優。HUANG等[21]選擇NSGA-Ⅱ算法對時間和平均沖擊目標尋優求解。沈悅等[22]采用加權系數法將時間和二次多項式雙目標變為單目標。SERRALHEIRO等[23]引入懲罰系數來建立時間和能耗的多目標優化。徐海黎等[24]采用彈性系數和加權系數法定義時間與能耗的目標函數。MULIK[25]同時考慮時間、能耗和沖擊等五個指標。施祥玲等[26]引入權重系數分配法建立時間、能耗和沖擊組成的總目標模型。鄧乾旺等[27]提出應用蜜蜂進行型遺傳算法求解最優能耗軌跡。

對于冗余度機器人，動力學建模是后續優化的基礎，也是控制的前提。常見的動力學建模方法有：①牛頓-歐拉方法[28]；②拉格朗日方程法[29]；③凱恩方法[30]；④羅伯特-維登伯格方法[31]；⑤高斯最小約束原理方法[32]。其中，牛頓-歐拉方法和拉格朗日方程法使用更為廣泛。由于拉格朗日方程法對系統整體進行動力學建模，更加簡單和方便，故本文采用拉格朗日方程法。

本文從提高整體性能方面出發，在結構設計上受繩索驅動的啟發，提出了以同步帶為傳動方式的驅動集中布置的方案，此方案可使機器人關節負載降低，提高帶負載能力、傳動效率以及應對實時速度方向變化的能力。本文在冗余度逆運動學求解的基礎上，基于加權M-P偽逆法提出了一種預設空間降維法，通過優化項來確定運動學逆解從而得到路徑插值點所對應的各個關節角度。此方法可有效地對負載大桿件進行角度分配以及全局角度擺動幅度的調控。建立機器人動力學模型，得到各個關節驅動力矩用于后續優化處理，由前文可知，國內外研究人員采用的各種優化方法非常豐富，優化目標也都相對完善，但是針對總能量、總力矩和總時間的綜合優化卻報道較少。隨著智能優化算法的興起，粒子群算法脫穎而出，該算法因實現容易、精度高、收斂快的優點而被廣泛使用。隨著時間的縮短，以動能為指標的能量消耗必然增加，總力矩也會增大，會造成性能不均衡，關節磨損加劇，縮短使用壽命。本文將總能量消耗最優、總力矩最小和時間相對最短三個指標通過加權系數整合為綜合指標，以綜合指標作為目標函數，采用粒子群優化算法對時間進行尋優，最后通過仿真及樣機驗證來檢驗該算法的有效性。

1 結構設計

傳統SCARA類機器人平面自由度僅有兩個，協同作業的安全性較低，而且此類機器人的驅動單元都布置在關節處，所以其高速運動時的轉動慣量偏大[33]。本文設計的平面冗余度機器人采用驅動集中后置布置的形式，各個關節均為轉動副連接。驅動動力通過同步帶和同步帶輪來完成傳輸。由于驅動集中后置布置，故各個關節的負載大大減小，減小了機器人在高速運動時的轉動慣量，進一步提高了作業效率，并且能使整個系統更加平穩，因本機器人擁有兩個冗余自由度，故其能夠更好地輔助人完成工作。機器人模型如圖1所示。

1.伺服電機 2.行星減速機 3.軸一 4.桿一 5.軸二 6.桿二 7.軸三 8.桿三 9.軸四 10.桿四 11.小帶輪 12.大帶輪 13.長同步帶 14.電機連接板 15.短同步帶 16.加強筋 17.墻板圖1 4R冗余機器人三維圖Fig.1 3D diagram of 4R redundant robot

2 冗余度機器人運動學建模

2.1 機器人運動學建模

本文采用齊次變換方法，該方法通用性極強，并且能夠將運動控制算法、動力學、矩陣運算及變換及幾何關系映射等聯系起來，方便理解和使用。

運動學分析主要包含兩個部分：運動學正解及運動學反解。正運動學求解是指已知機械臂的臂形參數以及各個關節轉動的角度以此求取末端操作器的狀態變量，正運動學存在唯一解；運動學反解是指已知末端操作器的狀態變量，求取各個關節狀態，對于冗余度機械臂，逆解存在多組解，因此，需要一種特定的求解算法。

2.2 機器人D-H坐標的建立

在笛卡兒坐標系中根據D-H參數法對圖1所示機器人建立各連桿坐標系，并設定各個連桿的參數。圖2所示為機械臂各個關節坐標系定義，可以看出4個連桿相互之間的串聯關系以及坐標系定義規則。平面4R冗余機器人的D-H參數見表1，其中，αi為連桿轉角；ai為連桿長度；di為連桿偏距；θi為關節角。

圖2 平面4R冗余機器人D-H坐標系Fig.2 D-H coordinate system for planar 4R redundant robot

表1 4R冗余機器人D-H連桿參數

2.3 機器人正運動學建模

已知機器人的幾何參數及關節角矢量，需求解末端執行器相對于固定基座的位姿，即齊次變換問題。采用坐標變換方法表示從坐標系{0}到坐標系{i}的變換過程，連桿變換矩陣公式為

rot(X,αi)trans(X,αi)rot(Z,θi)trans(Z,di)=

(1)

(2)

nx=oy=cijkmny=-ox=sijkm

nz=oz=ax=ay=pz=0az=1

cijkm=cos(θi+θj+θk+θm)

sijkm=sin(θi+θj+θk+θm)

由式(2)可知，冗余度機器人末端位置為

(3)

2.4 冗余機器人逆運動學分析

冗余度機器人末端的速度即操作速度為

(4)

關節空間下的速度為

(5)

用雅可比矩陣將關節速度與操作器末端的笛卡兒速度聯系起來，則有以下關系：

(6)

圖3 冗余度機器人雅可比矩陣J的子空間示意圖Fig.3 Redundancy robot jacobian matrix J subspace schematic diagram

(7)

則有

(8)

因此，可得

(9)

本文通過對瞬時關節最優速度求解，將末端實際位置與現在位置進行對比，然后將位置差作為實際位置和現在位置的步長，通過雅可比偽逆與每個步長距離相乘得出角速度，將此角速度與時間插值相乘得到關節角增量，再與原有角度相加從而得到關節角度，以下為具體分析方法。

(10)

針對該冗余度機器人雅可比矩陣J(q)為2×4長方陣，其逆矩陣不存在，所以引入雅可比矩陣的偽逆矩陣來進行求解。偽逆具體形式為

J(q)+=J(q)T(J(q)J(q)T)-1

(11)

冗余自由度機器人速度方面的解已經有了很大的突破，其中具有加權M-P逆解具有各關節同步運動、無關節自運動的特點[34]，本文采用梯度投影法和此方法相結合，對于四軸串聯機器人系統，以總擺動幅度最小作為原則，為各個軸分配轉動權值，從而建立權值向量：

W=[W1W2W3W4]T

(12)

故此時的偽逆具體形式為

J(q)+=W-1J(q)T(J(q)W-1J(q)T)-1

(13)

由此得到該冗余度機器人關節速度：

(14)

當J(q)+滿秩時，滿足以下條件：

(15)

表2 加權矩陣主對角元素與角度幅度關系

由于冗余度機器人的逆運動學的解具有非唯一性，故以總擺動幅度最小作為優化項來選擇冗余度機器人逆解。在表2中發現[1 100 1 1]這一組加權值更加符合條件，本文通過算法實現以及大量實驗驗證，即使此時100加大到10 000或減小一部分對結果影響也不大，為了方便計算和記錄，故選取[1 100 1 1]這組策略，可以看到關節2的轉動速度很小，幾乎不動，而關節1、關節3和關節4對末端速度貢獻更大，相當于四桿變三桿。此為預設空間降維法的核心部分。此方法將在之后機械臂關節故障下重新建模與容錯控制研究方面起到重大作用。

2.5 基于三次多項式的軌跡生成

在軌跡規劃過程中，主要是求出多項式系數，隨著多項式次數增加，計算量也會隨之增大，要求我們根據不同的情況選取合適的多項式。在相對滿足規劃要求的情況下，選擇計算量相對小的多項式，可以提高控制反饋誤差，故本文采用三次多項式插值規劃軌跡。

在規劃軌跡的過程中，需要知道以下參數：①始末兩點的角度；②始末兩點的速度。插值點初始速度為零，末端速度也為零，其他點歸為起始點和終止點，但是速度不為零，利用前一段軌跡終端速度和加速度作為下一段軌跡起始速度和加速度，可以得到由三次多項式構成的軌跡。θ0為起始點關節角，θf為終止點關節角。設三次多項式函數表達式為

θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3

(16)

起始和終止點位置約束為

(17)

起始速度約束為

(18)

速度和加速度用三次多項式可分別表示為

(19)

解方程組可得三次多項式的系數分別為

(20)

由此可知，三次多項式和軌跡終止時間存在函數關系，因此，可以找到一個時間，使得這一段軌跡內綜合性能最優。

3 冗余度機器人動力學建模及優化

3.1 拉格朗日動力學建模

拉格朗日方程是以能量守恒為基礎的研究機械臂動力學的一種常用方法。運用拉格朗日法建立動力學方程的核心是確定系統的動能關系，拉格朗日函數用L表示，其函數表達式如下：

(21)

以機械臂的第i個連桿為例，其動能是由連桿質心的線速度和角速度共同作用產生的，用Ki表示，其數學表達式如下：

(22)

其中，mi為連桿i的質量；vci為該連桿的線速度；ωi為該連桿的角速度；Ii為該連桿的慣性量。則機械臂的總動能等于組成該機械臂n個連桿動能之和：

(23)

對于機械臂的第i個連桿，其勢能用Pi表示，其數學表達式如下：

Pi=-migTPci

(24)

其中，g表示該連桿的重力加速度矢量；Pci表示該連桿質心在坐標系中的位置矢量。則機械臂的總勢能就等于組成它的n個連桿的勢能之和：

(25)

機械臂的拉格朗日方程表達式為

(26)

其中，τi表示第i關節的驅動力或者力矩，i=1,2,…,n,由于此處關節是轉動關節，故τi表示第i關節的驅動力矩。以機械臂的第i連桿為例，運用拉格朗日方程進行推導，根據機械臂的功能關系可以很明確地建立其動力學方程，在推導的過程中可以完全忽略連桿之間不做功的約束反力及摩擦力等，思路清晰，并且簡化了推導過程，所以，相對于牛頓-歐拉方程和凱恩方程，拉格朗日方程對建立機械臂的動力學方程更具有優勢。

3.2 冗余機器人動力學方程的建立

根據上文運用拉格朗日方程建立機械臂動力學推導過程，總結為以下步驟：①通過上述分析運動學所建立的坐標系，確定獨立的廣義關節變量qi，i=1,2,…,n;②確定機械臂相應關節上的廣義力Fi;③求解機械臂各個關節的動能和勢能，構建拉格朗日函數；④代入拉格朗日方程，建立機械臂動力學方程。

針對平面冗余4R機器人，應用上述由D-H建立的連桿坐標，可以得到各個連桿質心在基坐標系中的表示：

(27)

由于該機械臂的作用平面在同一水平面上，故此時的重力勢能為0。通過上述給定的拉格朗日函數公式，L定義為機械系統的總動能K減去總勢能P，即

L=K-P

(28)

則可得到系統的動力學表達式：

(29)

由于勢能與速度是無關的，故動力學方程可寫成

(30)

最后整理動力學方程如下：

(31)

4 多目標綜合性能優化

上文利用三次多項式構造了空間機械臂的關節軌跡，下面建立多目標規劃問題的數學模型。

4.1 目標函數

本文研究平面冗余度機器人的4個關節，由于三次多項式的系數和結束時間有關，故定義如下3個優化目標：

(32)

(33)

S3=tf

(34)

式中，tf為機械臂總時間；τ為機械臂力矩；EK為機械臂能量。

以上3個優化目標中，S1為關節的總能量，可以作為衡量機械臂關節的能量消耗的指標；S2為關節的總力矩，可以作為衡量關節磨損的指標；S3為機械臂運動時間，可以作為衡量機械臂運動效率的指標。

設定運動學、動力學和時間約束條件，將機器人多目標綜合最優問題表達如下：

(35)

4.2 基于粒子群算法的多目標優化問題求解

單一指標的優化已經難以滿足現代工業的生產需求，所以多指標綜合性能優化擁有很大的研究價值。由式(35)可知，若想達到綜合最優，其中唯一的變量為結束時間，各指標相互對抗，S1、S2越小越好，而S3(時間)則是在一定范圍內，若其偏小，速度和加速度會偏大，機械臂運動不平穩，反之則效率不高。采用加權系數將多指標變為綜合指標，以綜合指標作為目標函數然后采用粒子群優化算法對時間進行優化。粒子群優化算法的計算步驟如下：

(1)隨機初始化n個粒子的位置和速度，計算每個粒子對應的適應度，確定個體最優值p_best和種群最優值g_best，令k←0。

(2)判斷收斂條件是否滿足，若滿足，則停止搜索，輸出最優結果X*=g_best；否則，轉到下一步。

(3)更新所有粒子的位置及速度，并計算各粒子的適應度，更新p_best、g_best，令k←k+1。

(4)轉到第(2)步，直至收斂。

4.3 粒子群算法與其他算法的對比

對5種不同類型的函數分別用遺傳算法、免疫算法和粒子群算法進行優化，如圖4所示?？梢钥吹?，遺傳算法顯得有些吃力，免疫算法和粒子群算法旗鼓相當，但是觀察圖4b可以明顯發現，免疫算法的迭代次數居然超出了遺傳算法的迭代次數，說明該算法針對不同函數時，其穩定性也不盡相同,而粒子群優化算法的迭代次數始終保持在較低水平。

(a)函數一

(b)函數二

(c)函數三

(d)函數四

(e)函數五圖4 不同函數下不同算法性能對比Fig.4 Performance comparison of different algorithms under different functions

各算法針對不同函數的平均迭代次數見表3。由上述數據分析可知，粒子群算法更加有效且收斂速度更快，穩定性更好，故本文采用粒子群優化方法對函數進行優化。

表3 各算法針對不同函數的平均迭代次數

4.4 粒子群算法的應用

本文對多目標進行綜合優化，將每個目標與權重系數相乘再相加得到的值作為目標函數，將結束時間作為變量，滿足目標函數值最小的結束時間即為本文尋優的值。

按照粒子群算法對初始值進行5次優化，a、b、c分別為加權參數，其作用是保證三個指標相對協調即歸一化處理，并且進行加權起到了強調某項指標在整體中的重要程度，本文取a=b=1/107，c=8。優化結果保留4位小數，具體優化結果見表4。

表4 粒子群優化結果

5 實驗驗證

本文基于綜合性能最優，結合實踐考慮，選擇最優的數據進行實驗驗證，在軌跡規劃中對路徑點進行插值，然后點和點之間再進行關節空間規劃，故只需求點和點之間最優即可。

本實驗以直線為優化軌跡，選擇總關節幅度相對較小的加權矩陣，通過逆解得到關節位置，進而對該機械臂所完成時間進行優化。實驗樣機的搭建如圖5所示。

圖5 實驗樣機搭建Fig.5 Experimental prototype construction

以總幅度相對較小作為標準，圖6為跟蹤直線軌跡的機械臂形態圖。

圖6 冗余機器人狀態Fig.6 Redundant robot state diagram

機械臂狀態仿真如圖7所示，可知樣機的動作和仿真形一致，關節擺動角度總幅度相對較小，證明了本文提出的預設空間降維法是正確的。

圖7 冗余機器人狀態仿真Fig.7 Redundant robot state simulation diagram

圖8為優化前后能量對比圖，可以明顯看出優化前后峰值的變化。圖9為優化前后總能量扇形對比圖，可以明顯看出優化量占總能量的百分比。圖10為優化前后力矩對比圖，可明顯看出優化前后峰值的變化。圖11為優化前后總力矩對比圖，可明顯看出優化量占總能量的百分比。

圖8 優化前后能量對比Fig.8 Comparison of energy before and after optimization

圖9 優化前后總能量對比Fig.9 Comparison of total energy before and after optimization

圖10 優化前后力矩對比Fig.10 Comparison of the torque before and after optimization

圖11 優化前后總力矩對比Fig.11 Comparison of the total torque before and after optimization

圖12為整體性能優化前后對比圖，可以看出整體性能優化了1.9%。圖13為優化前后各指標對比圖，可以看出總能量優化了17.65%，總力矩優化了17.83%。

圖12 優化前后總性能對比Fig.12 Total performance before and after optimization

圖13 優化前后指標對比Fig.13 Comparison of indexes before and after optimization

圖14所示為各關節優化前后各角度與時間關系變化。圖15所示為各關節優化前后各關節速度與時間關系變化。圖16所示為各關節優化前后關節加速度與時間關系變化。圖17所示為各關節優化前后力矩與時間關系變化。經過計算機仿真和實物驗證，發現優化總能量S1、總力矩S2和總時間S3之后，機械臂的其他性能也有所提高。由圖14可知，優化后的各個關節角度與時間的關系更加平緩，性能更加穩定。由圖15 可知，優化后的各個關節速度峰值降低，增加了協作的安全性。由圖16可知，優化后各個關節加速度變化幅度更小。由圖17可知優化后各個關節的力矩明顯降低，延長了電機的使用壽命。

6 結論

本文以平面冗余度機器人為研究對象，提出了驅動集中布置的方案，此方案提高了作業效率并且使工作時更加平穩。對路徑點進行插值，以總擺動幅度作為優化項目，然后通過基于加權M-P偽逆的預設空間降維法進行逆運動學求解。以總能量、總力矩及總時間為目標函數，采用粒子群優化以綜合指標為目標函數對結束時間尋優。通過實驗以及仿真驗證，得到優化前后的對比圖，直觀表現出優化前后的數值，在優化綜合指標的同時，機械臂其他性能也得以提高。由對比圖可知本文方法真實可行。