GeoGebra 軟件在條件極值問題求解中的應用舉例

路 云，褚鵬飛

（北京科技大學天津學院 天津 301830）

隨著信息技術的日益發展，越來越多的信息技術被應用到課堂教學中，不斷優化傳統的教學模式。GeoGebra數學軟件具有強大的繪圖、計算、演示功能，特別是它強大的動態化、交互式的演示功能有效地解決了許多教學中的難點。高等數學是高校理工、經管類學生必修的基礎課，理解并掌握高等數學相關知識有利于當代大學生應用數學知識解決實際問題。GeoGebra 軟件是一款較容易學習和使用的動態幾何軟件，對高等數學的可視化教學有很大的幫助。條件極值在生產、生活中有著廣泛的應用，學習并掌握條件極值及求解方法對學生后續課程的學習、提高解決實際問題的能力有著重要的作用。

1 常用方法舉例

1.1 代入消元法

代入消元法是微分學中求多元函數條件極值問題常用的方法之一。代入消元法思想是“化有約束為無約束”，即將約束條件通過一定的運算轉化到目標函數中，從而把條件極值問題轉化為無條件極值問題進行求解。

例1 求在條件+=2下函數=的極大值。

解：由約束條件+=2解得：=2，將其代入函數=中，

得：=2=2——無條件極值問題

對上式求導并令=2 2=0，得到一個可疑極值點為（1，1），

代入=得到函數的極大值是1。

求出極值的可疑極值點只有一個，由所學知識可知唯一的可疑點極值就是所求極大值的點的坐標。在學習時學生可以應用所學知識求出其解，但是對于唯一的可疑極值點不需要判斷就可以認定為極大值點是存在質疑的。為此，我們應用GeoGebra 數學軟件給學生演示出求解過程，從直觀上給學生答疑解惑，幫助學生更好地理解、掌握和認同相關知識（見圖1）。

圖1 z=xy的極大值

例1 中將附加條件+=2代入函數=中求最大值，實質是求平面+=2與雙曲線=交線的最大值。由圖1 可以直觀地看到其交線是一條開口向下的拋物線，此拋物線只有一個頂點，這個頂點就是所求的最大值點。因此，我們通過應用GeoGebra 數學軟件給學生直觀地演示出求解的幾何過程，從而用具體的實例解決了學生的疑惑，幫助學生更好地理解和掌握如何求解最值問題的方法和步驟。

例2 求在條件+=1下函數=2（+）的極值。

解：方法一：由條件+=1解得=1，將其代入函數=2+中，得：=2 1+——無條件極值問題

方法二：由條件+=1解得=1，將其代入函數=2+中，得=2+ 1=+1：——無條件極值問題

注意到在例2 中，同一個問題都是應用代入消元法進行的求解，得到的結果卻不一樣，第一種消元法只得到了極小值點，而第二種消元法既得到了極小值點也得到了極大值點，那如何判斷兩種方法的正確性呢？

我們可以通過GeoGebra 軟件繪制函數的幾何圖形來驗證，我們繪制出旋轉拋物面=2+和拋物柱面+=1，找到兩個圖形所形成的交線（如圖2 所示）。

圖2 z=2 x2+y2 的極值

1.2 參數方程求解法

用代入消元法求解條件極值問題是有要求的，如果通過約束條件可以較容易地解出相應變量的單值函數，那么將條件極值問題轉化為無條件極值問題是可行的；如果通過約束條件不能解出單值函數而得到的是多值函數的話，這時用代入消元法就不可行了。但可以利用參數方程求解法將條件極值問題轉化為無條件極值問題，且計算簡單方便。

例3 求橢圓+4=4上到直線2+36=0距離最短的點的坐標。

圖3 例3 所求的距離最短的點的坐標

1.3 拉格朗日乘數求解法

拉格朗日乘數法也是常用的一種把條件極值轉化為無條件極值求多元函數極值的方法，此方法是通過引入輔助函數和輔助參數，把一個或多個約束條件加入目標函數中，實現把條件極值問題轉化為無條件極值問題的目標。此方法的優點是當條件極值問題通過其他方法轉化為無條件極值問題后卻無法求解、或當問題中約束條件較多時，拉格朗日乘數法可以優先選擇，并更便于使用、計算和求解。此方法的缺點是對函數的要求較嚴格，必須保證函數滿足連續且偏導數都存在的條件才可使用。

拉格朗日乘數法如何構造輔助函數和輔助參數呢？以二元函數在一個條件下求極值的情況為例：要求函數=,在條件,=0下的極值問題，只需要通過構造輔助函數,=,+,，并使得所求點的坐標滿足以下條件：

求駐點：對求一階偏導數，并令其都等于0，有：

圖4 例4 的最長距離和最短距離

例5 求雙曲線=3上離原點最近的點的坐標。

求駐點：對求一階偏導數，并令其都等于0，有：

圖5 例5 的最短距離

通過上述兩道例題的求解并用GeoGebra 數學軟件進行結果的驗證，讓我們體會到了拉格朗日乘數法的思想，并學會了如何通過引入拉格朗日乘子將原來有約束條件的極值問題轉化為無約束條件的方程組的問題。拉格朗日乘數法是將條件極值問題轉化為無條件極值問題一種非常行之有效的方法，為解決相關極值問題帶來了非常大的便利。

2 結語

條件極值問題是高等數學中非常重要的部分，其知識點在經濟學、運籌學、生產與銷售等多個領域中都有著廣泛的應用。條件極值知識點的學習和應用具有方法靈活，綜合性強，對學生能力要求高等特點，是培養學生發散性思維與創造性思維的重要手段之一。

GeoGebra數學軟件易于操作，通過直接使用工具欄中的圖標就可以完成常用幾何圖形的繪制；對于已經繪制好的圖形，可直接在繪圖區域對圖形進行修改。此外，可以繪制動態圖形是GeoGebra 數學軟件的特色，通過插入滑動條即可實現繪制圖形的動畫展示。

因此，將GeoGebra 數學軟件引入條件極值問題的講解中，可以通過直觀的、動態的圖形演示將晦澀的數學定理、抽象的數學定義等知識傳授給學生，不僅提高了學生學習高等數學的主動性還增加了課堂教學的趣味性，同時也培養了學生的創新意識，開拓了學生的視野，從根本上提高了學生的綜合素質，實現了“以學生為中心”的教學理念和高效的課堂教學。