將數學育人落到實處
——《義務教育數學課程標準（2022年版）》的理解與實施

郭慶松

自2001 年我國啟動第八次課程改革以來，課程標準替代教學大綱成為國家規范基礎教育課程運作的綱領性文件，義務教育數學課程標準從“實驗稿”到“2011年版”，推動并指引了這20 年來的數學課程改革。步入新時代，黨和國家對教育提出了新的要求與希望。在充分總結數學教育歷史經驗的基礎上，2022 年4 月頒布的《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）描繪出一幅新的育人圖景。

一、聚焦核心素養，深入理解數學課程目標

課程目標是對學生學習及發展結果的集中刻畫，不僅是課程標準進一步確定課程內容、確立學業質量的基本依據，也是教學實施的出發點。本次義務教育課程標準修訂的重要變化，就是確立核心素養導向的課程目標。對課程目標的理解，將直接決定教育者進行課程實施的基本立場，進而影響其教學行為。

1.以生為本與學科特質相統一，通過數學培養人

新課標在“課程性質”部分明確指出：義務教育數學課程具有基礎性、普及性和發展性。這也是義務教育課程的基本定位，基于此，數學課程將與其他課程一起承擔起“培養有理想、有本領、有擔當，德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人”的重要使命，必須面向所有學生，必須為每一個學生的終身發展奠定基礎。這就需要數學教育工作者跳出數學學科，以長遠的眼光關注學生的生命成長，樹立以生為本的教育觀。這并非意味著數學學科的弱化，恰恰相反，只有讓數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中充分發揮其不可替代的作用，才能真正體現數學課程的育人價值。新課標指出，數學課程要培養的學生核心素養，主要包括三個方面：一是會用數學的眼光觀察現實世界，二是會用數學的思維思考現實世界，三是會用數學的語言表達現實世界（以下簡稱“三會”）。一方面，這突出了通過數學學習所形成的數學眼光、數學思維、數學語言等數學學科自身的特質；另一方面，這些素養的形成又指向具有普遍且長遠意義的觀察、思考和表達現實世界，實現了以生為本和學科特質的統一。因此，數學教育在使學生獲得“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗）、發展“四能”（發現、提出、分析和解決問題的能力）的同時，其終極目標是幫助學生逐步形成適應終身發展所需要的核心素養，從這個意義上來說，其實質是通過數學培養人。

2.循序漸進與連貫一致相協調，遵循規律培養人

核心素養是學生在學習過程中逐漸形成和發展的。在九年義務教育過程中，學生的身心會發生較大的變化，不同年段學生的思維水平、思維方式也有著顯著的差異。新課標提出的“三會”，在內涵上與數學自身所具有的高度的抽象性、嚴密的邏輯性和應用的廣泛性相呼應，體現了數學學習的本質，因而需要任一階段的數學課程連貫一致地加以培養。“三會”目標的達成并非一蹴而就，而是一個日積月累、循序漸進的過程，既需要考慮學生在不同年段的認知特點，也需要考慮數學知識本身的學習序列與結構。因此，核心素養的培育必須遵循學生身心發展的規律和數學知識進階的規律。新課標認為，小學階段側重對經驗的感悟，初中階段側重對概念的理解。在此基礎上，新課標提出，核心素養在小學階段主要表現為：數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識、模型意識、應用意識、創新意識；在初中階段主要表現為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識。由此我們可以看出，作為初中階段“數學眼光”主要表現的抽象能力，是以小學階段的數感、量感和符號意識為基礎的，后期還將發展為高中階段的數學抽象。作為初中階段“數學語言”主要表現的數據觀念、模型觀念，是由小學階段的數據意識、模型意識發展而來，將來還將發展為高中階段的數學建模、數據分析。這就為核心素養的形成構建了一個循序漸進與連貫一致相協調的發展框架，其核心是遵循規律培養人。只有這樣，才能真正實現“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”。

3.內容載體與能力品格相支撐，腳踏實地培養人

核心素養集中體現了學生通過數學學習逐步形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力，這三者是相輔相成的有機整體。核心素養不可能憑空生成，正確價值觀的形成與必備品格、關鍵能力的形成是互相支撐的，建立在學習特定數學內容的基礎之上。新課標在闡述數學課程總目標時，將“三會”具體化為“四基”“四能”以及通過數學學習形成的正確價值觀和必備品格。在闡述每一個核心素養的具體表現時，不僅描述其內涵及相應的行為表現，還進一步描述了由此可形成的正確價值觀和必備品格。在闡述學段目標時，又注意將相應的核心素養與其所依托的具體數學內容建立聯系，形成了清晰的核心素養培養路徑，架構了核心素養的培養體系。以小學階段“數與運算”主題為例，新課標的相關闡述，形成了如表1 所示的核心素養發展目標體系。由表1 可以看出，新課標將核心素養的培養結合數學內容的特點落到了實處，為在后續的數學課程實施中腳踏實地培養人提供了依據與思路。

表1 小學各學段基于“數與運算”的核心素養發展目標

二、基于學科本質，準確把握數學課程內容

課程內容是實現課程目標的重要載體，歷來在課程標準中占據較大篇幅，主要對“教什么”進行較為詳細的闡述。與以往不同的是，新課標在描述“內容要求”的基礎上，還給出了“學業要求”和“教學提示”，進一步明確了“教到什么程度”，并對“怎么教”提出了建議。對數學課程內容的準確把握無疑是在教學實踐中實現數學育人的重要基礎，而從學科本質上理解課程內容的深刻程度，將直接決定數學育人價值的發揮程度。

1.從數學知識的學習歷程出發，準確把握數學課程內容的育人價值

作為教育任務的數學知識，其意義不止于是什么，更重要的是學生在了解、掌握、探索它的過程中經歷了什么，而核心素養的形成與這樣的歷程密切相關。新課標將方程從小學移至中學，解決了以往學習這一內容時所帶來的兩個局限性：一是從“含有未知數的等式”來認識方程概念，并沒有涉及數學概念的本質；二是用簡易方程解決一些較簡單的實際問題，無法感悟方程的必要性，從而體會不到數學知識的價值意義。事實上，其他刪去或改變的內容或多或少也是基于這樣的原因。反之，對于那些保留的內容，我們也應該吃透數學知識的本質，分析學生將要經歷的學習歷程可能會給他們帶來怎樣的體驗，從中發掘數學的育人價值，設計出實現數學育人價值的學習活動。例如，對于10以內數的認識，應引導學生多次經歷“情境中的具體物—對應的小方塊、小棒表示—半抽象的計數器表示—抽象的符號表示”，使他們體會到一個數字符號可以對應不同的具體物，但表示的是同一數量，從而實現從數量到數的抽象，形成初步的數感與符號意識。

2.從數學知識的組織方式出發，準確把握數學課程內容的整體結構

新課標仍然將數學課程內容劃分為四個領域，即“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”，但對每個領域在不同學段所包含的主題進行了較大的調整。在“數與代數”領域，小學階段由原來的“數的認識”“數的運算”“常見的量”“探索規律”“式與方程”“正比例、反比例”等六個主題，整合為“數與運算”和“數量關系”這兩個主題。在小學階段，數的認識與數的運算實質上密不可分，運算的基礎是數的意義，只有經歷了數的相關運算后，對數的認識才能真正豐滿起來。將數的認識與數的運算整合為“數與運算”，不只是形式上的簡單合并，其實質在于加強兩者之間的聯系，使其形成整體性的結構，這既是學科本質的體現，也有利于學生學習。用“數量關系”來統整其他相關內容，不僅在于形成了數學知識本身的結構，還在于溝通了數學與問題解決，形成了數學知識與外部世界的結構，為學生整體把握數學及其應用奠定了基礎。在“圖形與幾何”領域，小學階段的主題整合為“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”，從整體上強調圖形的認識與圖形的測量之間的內在聯系，凸顯圖形的位置與圖形的運動之間密不可分的關系，這有利于學生從整體結構上把握“圖形與幾何”的相關內容。在“統計與概率”領域，小學階段的主題調整為“數據分類”“數據的收集、整理與表達”和“隨機現象發生的可能性”，重點強調數據的處理。從整體上看待收集、整理與表達這三種處理數據的主要方式，更有助于學生數據意識的形成。“綜合與實踐”領域的內容涉及面雖廣，但都是以解決問題為出發點，以主題式學習或項目式學習的方式進行，同樣構成一個有機的整體。

3.從數學知識的演進路徑出發，準確把握數學課程內容的內在邏輯

數學知識應用的廣泛性實質上是由其可遷移性決定的，但這往往是指數學與其外部的關系。事實上，這樣的可遷移性在數學內部同樣重要，有了這樣的可遷移性，一個數學概念就可以貫穿于若干個不同概念的理解，從而實現相關數學概念之間本質的一致性。綜觀小學階段所認識的數，其演進過程與數學史上數的概念的發展大體相似。無論是從個位數到多位數的拓展，還是從整數到分數、小數的拓展，其核心都是計數單位及其表示方式的不斷拓展。因此，對計數單位及其表示方式的認識應貫穿于每一次數概念的拓展進程中，每認識一種新的數，必然是新的計數單位產生或者其表示方式重新構建的過程。抓住“計數單位”這一核心概念，有助于把握數概念發展的內在邏輯，從而把握數學的本質。再看四則運算的演進，乘法和減法都與加法密不可分，乘法是相同加數和的運算，減法是加法的逆運算，而除法是乘法的逆運算，與減法也有著密切聯系。由上述演進路徑可以看出，加法是四則運算的基石，乘法是一次重要的拓展，逆運算概念是減法和除法的本質。同樣，對于“空間與圖形”“統計與概率”領域的相關知識以及“綜合與實踐”領域的系列活動，我們都需要把握其發展演進的內在邏輯。對數學知識內在邏輯的把握，可以通過核心概念打通知識間的本質聯系，從而有助于學生整體而深刻地理解數學知識。與此同時，這樣的認識過程還可使學生感悟豐富的數學思想，積累數學學習乃至認識一般事物的基本活動經驗，從而更能彰顯數學的育人價值。

三、立足生命成長，精心組織數學教學活動

能力只有在需要能力的活動中才能得到培養，素養只有在需要素養的活動中才能得以形成。究竟怎樣組織數學教學活動，才能讓學生在數學學習過程中形成適應未來發展的核心素養，真正獲得自由的生命成長呢？這需要我們在教學實踐中對新課標的理念與要求創造性地加以落實。

1.跳出知識點，注重整體性

課程內容的結構化是新課標的重要特點，其用意是改變知識、技能的線性排列方式，強化知識間的內在聯系，以及課程內容與核心素養表現的關聯。落實到具體教學中，就需要我們不再局限于學生對單個知識點的掌握，而應該注重教學的整體性，進行單元整體教學設計，包括單元課時內容的整體設計、單元數學活動的整體設計、單元作業的整體設計等。這里的單元不僅僅是指教材編排的單元，而更加強調具有關聯性的知識單元板塊，有時甚至需要關注到跨年級的內容。需要指出的是，強調單元整體教學，并非一定要在一兩個課時將整個單元的內容呈現給學生，而是需要教師將一個個知識點放在整個知識體系中去理解，把握其前后的關聯性，進而針對這種關聯性，抓住其中一些重要的大概念進行教學，從而改變過于注重從知識點的解析入手強化技能訓練的問題，引導學生從關聯性、整體性中思考大問題，自覺主動地關注大概念統領下的知識與技能，獲得對數學學習的掌控感，形成知識技能、思想方法、情感態度、品格境界、價值觀念的綜合效應，最終表現為核心素養的養成。

2.創設真情境，面對真問題

知識往往在情境中生成和顯現，學習活動離不開情境。新課標在課程總目標中要求學生，能“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題”。情境既是數學問題的載體，也為學生的數學學習提供了鮮活的素材，還是學生數學學習的動力源。情境既與數學知識的來源有關，也與學生的生活經驗有關。就義務教育階段的數學學習而言，情境大致可分為社會情境、生活情境、科學情境和數學情境。社會情境既可以來自中華優秀傳統文化，也可以是當代中國的輝煌成就；生活情境既可以來自學生個體的生活點滴，也可以是日常生活中的尋常事件；科學情境既可以是學生在科學課上所學的科學常識，還可以是讓學生運用數學知識體驗一個新的科學發現。至于數學情境，亦有人稱之為“裸情境”，其實質是由特定數學問題或解決數學問題的體驗出發，提出新的研究問題。真情境的意義，首先是對學生情感的觸動。比如，由新時代的建設成就可以激發民族自豪感和增進文化自信。其次，還決定了就此提出的問題是真問題，真問題的價值不僅在于激活學生的求知欲、樹立正確的價值觀，還在于對學生的進一步探索提供良好的支撐。比如，由對長方形的周長和面積的研究，可以促使學生看到平行四邊形等圖形時，自然提出研究的問題，并自覺從先前的研究經驗出發設計出研究方法與路徑。這樣的學習經歷所積淀的，無疑是指向學生未來發展的核心素養。在真情境中提出的真問題，往往也是引領學生數學學習的大問題，在新課標特別強化的跨學科主題活動或項目學習中，應更加予以特別的重視。

3.經歷數學化，體驗再創造

“再創造”與“數學化”是荷蘭數學教育家弗賴登塔爾提出的重要概念。他認為，數學來源于普通的常識，實質上是人們常識的系統化，因而每一個學生都可能在一定的指導下，通過親身經歷的“再創造”來獲得數學知識。所謂的“再創造”，是指從學生的現實經驗出發，在教師的指導下再現數學新知識的發現過程。他又進一步提出：“如果將數學解釋為一種活動的話，那就必須通過‘數學化’來教數學、學數學。”所謂“數學化”，是指運用數學的思想、方法分析和研究客觀世界的種種現象，并加以整理和組織的過程，包含從數學外部的實際問題轉化為數學問題的“橫向數學化”過程，以及從數學內部的符號到概念的“縱向數學化”過程。由此可見，“橫向數學化”過程對于形成數學眼光有著重要價值，而發生在數學內部的“縱向數學化”過程則與數學思維、數學語言有著更多的聯系。當然，這不能進行絕對的劃分，在“數學化”發展水平的不同階段，就不同的學生個體而言，或者對于不同問題的不同思路來說，其中的“數學化”成分也會有所差異。但不管怎樣，以這樣的方式組織數學學習活動，數學不再是一個現成的產品，也不再是一個靜止的對象，而是一個鮮活的過程。這個過程從真實的情境出發，激活學生已有的經驗，調動學生探究的欲望，使其嘗試尋找自己的發現。這并非對歷史上人們探索數學問題的過程進行簡單的機械重復，而更多是從中獲得經驗。這個過程無疑加深了學生對數學知識的理解，更重要的是，學生由此會形成一種在探索活動中學習數學的觀念，甚而形成探究問題的習慣，而核心素養也正是在這樣的過程中逐漸形成的。

4.基于學科性，凸顯實踐性

《義務教育課程方案（2022 年版）》提出：“原則上，各門課程用不少于10%的課時設計跨學科主題學習。”事實上，這不是一個簡單化的數量要求，其本意在于加強學科間的相互聯系，帶動課程綜合化實施，強化實踐性要求，是一種教學思想的體現。對數學課程而言，一方面，要重視和加強“綜合與實踐”領域的內容設計與教學實施；另一方面，要以此為契機，進一步探索數學教學如何體現知行合一、學思結合、手腦并用的思想。弗賴登塔爾曾將夸美紐斯的教學論原理之一“教一個活動的最好方法是演示”，進一步發展為“學一個活動的最好方法是‘做’”，這里的“做”在更廣泛的意義上便是實踐。新課標在要求“引導學生在真實情境中發現問題和提出問題”之后，緊接著便指出“利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題”。這一系列活動明顯區別于模仿、記憶、訓練、測試等，凸顯的是實踐性。但顯而易見的是，這些活動都是具有數學特性的活動，都是在經歷特定的數學活動時才會真實進行的活動。強調跨學科的實踐活動，并不是要弱化學科，無論是在實踐中發現數學、研究數學，還是運用數學去解釋和創造現實世界，都會讓數學學習的發生更加自然，讓數學知識的理解更加透徹。對數學教師而言，掌握數學知識的現實背景，發掘數學活動中所蘊含的數學問題及其解決之道，是落實學科實踐的前提。從有價值的數學問題出發，引導學生經歷實踐性的數學活動，提高每一位學生在數學活動中的參與度，是發展學生核心素養的必由之路。

5.彰顯個性化，實現深度化

基于客觀存在的認知水平差異和認知風格差異，以及不同的生活經驗和知識背景，在數學學習活動中，學生的個性化表現是一種客觀存在。彰顯學生的個性化表現，是尊重學生的自然體現，也是教學的應有樣態。彰顯個性化的意義不止于因材施教，因為因材施教之教畢竟是外人所施，個性化能夠彰顯恰恰在于學生自身學習的主動，是從教為主走向學為主，建立以學習為中心的課堂的重要標志。個性化彰顯后隨之而來的便是學生的差異化與多樣化，這構成了進一步學習的重要資源，基于這些差異化的認識，使得學生間的交流成為一種自然需求，學習活動便不止于獲得知識，還有人與人的溝通和交往，這種交往讓學生開始體驗個體與群體、個人與社會的關系，適應未來生活的核心素養于其間得以發展。于是，“為了知識的教育”成為“通過知識的教育”，數學學習也由此開始走向深度化。這至少表現在兩個方面：一是學生基于自身的探索，進而通過與別人的互動后獲得認知，這其中必然經過說服別人或自我革新的過程，經此過程對數學的理解必然是深入的；二是個體的探索活動畢竟只能得出有限的結論、獲得有限的經驗，與同學的交往能使每個學生見識更多的可能、聽取更多的意見，其學習背景也會由此豐滿起來，其思維必然也會走向深刻。除此之外，如果我們跳出數學本身，上述彰顯個性化的過程還具有通過數學學會思考、通過數學學會交往、通過數學學會批判、通過數學學會反省等意蘊，這不妨也可看作另一種意義上的深度化。

新一輪課程改革的旅程剛剛開啟，如何將新課標的理念、要求最終落實到數學教學實踐中，還需要廣大數學教育工作者，特別是身處數學教學一線的教研員、教師，進一步深入理解新課標的精神實質，并由此腳踏實地對課程實施進行更深入的實踐探索。