基于GPR的連續(xù)梁橋可靠度及最優(yōu)維護(hù)策略研究

王向陽 黎恩華

(武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院1) 武漢 430063) (中國輕工業(yè)長沙工程有限公司2) 長沙 410114)

0 引 言

高斯過程(Gaussian progress, GP)在可靠度領(lǐng)域應(yīng)用中作為一種具有監(jiān)督性質(zhì)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法相比，在理論基礎(chǔ)上更為嚴(yán)格，同時在多變量、小樣本的非線性復(fù)雜工程問題中具有良好參數(shù)自適應(yīng)性和學(xué)習(xí)能力.目前，國內(nèi)外基于高斯過程回歸模型的橋梁可靠度研究僅處于理論階段.蘇國韶等[1]將高斯過程模型用以重構(gòu)邊坡的極限狀態(tài)函數(shù)，并結(jié)合可靠度理論計算相應(yīng)的失效概率.趙偉[2]將蒙特卡羅法分別應(yīng)用于高斯回歸模型和高斯分類模型來求解大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)，研究證明與傳統(tǒng)方法相比，這兩種方法均有較高的精度和計算效率.

在可靠度研究的基礎(chǔ)上，對橋梁維護(hù)決策進(jìn)行優(yōu)化處理也是一項重要的課題.Miyamoto等[3]以橋梁的耐久性和承載力為關(guān)注重點(diǎn)，引入遺傳算法得到壽命期內(nèi)最佳的維護(hù)計劃.楊偉軍等[4]圍繞維修成本和失效損失構(gòu)造優(yōu)化決策函數(shù)，從動態(tài)可靠性角度對橋梁維護(hù)方案進(jìn)行了探討.但是有關(guān)多跨非對稱PC連續(xù)梁橋這種具有多種失效模式復(fù)雜結(jié)構(gòu)的體系可靠度和相應(yīng)最優(yōu)維護(hù)策略方向的研究較少.

文中考慮采用高斯過程回歸模型作為橋梁結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的替代模型，并引入可靠指標(biāo)矢量法和PNET法求解各失效模式之間的相關(guān)性問題，同時在考慮材料時變效應(yīng)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用遺傳算法得到橋梁全壽命周期內(nèi)最優(yōu)維護(hù)方案.

1 高斯過程回歸模型

高斯過程是基于隨機(jī)變量的一種集合，同時高斯過程可以作為實(shí)際隨機(jī)過程的近似處理.在函數(shù)空間內(nèi)，高斯過程的分布可以看做是由均值函數(shù)m(x)和協(xié)方差函數(shù)k(x,x′)組合而成.

m(x)=E[f(x)]

(1)

k(x,x′)=E[(f(x)-m(x))(f(x′)-m(x′))]

(2)

因此高斯過程可以簡寫為

f(x)～GP(m(x),m(x),k(x,x′))

(3)

為了方便起見，在分析過程中將高斯過程的均值函數(shù)設(shè)為零，這樣整個高斯過程只需要找到合適的協(xié)方差函數(shù)就可以按式(1)～(2)來表示.由于平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)(簡寫SE)在大多數(shù)問題中都表現(xiàn)出良好的適應(yīng)性，所以其經(jīng)常被選做高斯過程回歸(Gaussion process regression,GPR)模型中的協(xié)方差函數(shù).其一維函數(shù)形式為

(4)

式中：xp,xq為原始數(shù)據(jù)集中的某個輸入向量；l,σf,σn均為GPR模型中的超參數(shù).

對于文中求解橋梁可靠度的部分，提取訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的方法屬于計算機(jī)模擬試驗，假設(shè)觀察結(jié)果是無噪聲的才是合理的.所以忽略噪聲影響，即SE協(xié)方差函數(shù)中的σn=0 .基于高斯分布的先驗理論可得到樣本數(shù)據(jù)中訓(xùn)練樣本和測試樣本輸出的聯(lián)合分布為

(5)

式中：K(X*,X)為對所有樣本集中訓(xùn)練點(diǎn)和測試點(diǎn)進(jìn)行估算的m×n階協(xié)方差矩陣，其余元素K(X,X),K(X*,X*)也是類似的含義.進(jìn)一步可推得高斯過程回歸預(yù)測的決策函數(shù)為

(6)

2 基于GPR的體系可靠度計算方法

2.1 結(jié)構(gòu)可靠度計算方法

(7)

運(yùn)用JC法或設(shè)計驗算點(diǎn)法在失效面上選取點(diǎn)x*對式(7)進(jìn)行Taylor展開同時只取其中一階偏導(dǎo)項，則可得：

(8)

(9)

設(shè)計驗算點(diǎn)坐標(biāo)可表示為

(10)

定義變量xi的靈敏度系數(shù)為

(11)

根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)變換性質(zhì)可以得到：

(12)

(13)

則可推得最終可靠指標(biāo)表達(dá)式為

(14)

2.2 失效模式之間的相關(guān)性分析

引入可靠指標(biāo)矢量法將各失效模式間的關(guān)系以矩陣的形式表述，變成通過一個多維正態(tài)分布問題的求解.相關(guān)理論推導(dǎo)如下.

結(jié)構(gòu)的基本隨機(jī)變量為X=(X1,X2,…,Xm)T，第i個失效模式的第j個失效狀態(tài)對應(yīng)的功能函數(shù)表達(dá)式為

(15)

將隨機(jī)變量X轉(zhuǎn)換成獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Y，則相應(yīng)的功能函數(shù)為

(16)

在驗算點(diǎn)在驗算點(diǎn)y*處將式(16)泰勒展開并保留一階項，得到Zi的近似表達(dá)ZLi并根據(jù)式(11)和式(14)可得：

(17)

(18)

(19)

(20)

在得到結(jié)構(gòu)不同失效模式間的相關(guān)系數(shù)矩陣后，可以選用概率網(wǎng)絡(luò)估算技術(shù)(probabilistic network estimation technique，PNET)對相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行分析從而求解體系可靠度.

3 維修策略計算原理

Kong等[5]提出采用疊加的原理計算維護(hù)策略下的可靠指標(biāo)，疊加公式為

(21)

式中：β(t)為處于維護(hù)狀態(tài)結(jié)構(gòu)時刻t的可靠指標(biāo)；β0(t)為不采取維護(hù)行為時結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)； Δβi(t)為第i個維護(hù)措施對結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的提升量；n為結(jié)構(gòu)在服役期內(nèi)的維修次數(shù)，維護(hù)活動下可靠指標(biāo)變化見圖1.

圖1 可靠指標(biāo)變化圖

圖1中實(shí)線和虛線分別對應(yīng)有無維護(hù)活動下的可靠指標(biāo)波動情況，通常一種維護(hù)行為有三個關(guān)鍵時間節(jié)點(diǎn)：①圖中維護(hù)行為開始的ts時刻，結(jié)構(gòu)性能在得到改善且相應(yīng)的可靠指標(biāo)提升至rs.②維護(hù)效果的結(jié)束時刻ti，維護(hù)行為使得結(jié)構(gòu)能夠在一段時間內(nèi)保持當(dāng)前的性能狀態(tài)，隨后可靠指標(biāo)將線性增長至re.③維護(hù)行為終止時刻te，此刻維護(hù)效應(yīng)不再對未來結(jié)構(gòu)的性能產(chǎn)生影響，結(jié)構(gòu)性能將繼續(xù)依照原有的衰變規(guī)律進(jìn)行.Δβ需要隨著維護(hù)活動的不同而進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整.

當(dāng)結(jié)構(gòu)退化模型考慮維護(hù)措施時，其在服役期內(nèi)產(chǎn)生的維護(hù)成本波動見圖2.假定對結(jié)構(gòu)未進(jìn)行維護(hù)活動之前估算的可靠指標(biāo)為β0，衰變速率為a1，在t1時刻結(jié)構(gòu)首次進(jìn)入某種維護(hù)狀態(tài)，相應(yīng)的可靠指標(biāo)提升r1及產(chǎn)生Ca,1的維護(hù)成本.隨后，結(jié)構(gòu)性能仍處于退化狀態(tài)，衰變速率為a2.在t2時刻結(jié)構(gòu)第二次進(jìn)入某種維護(hù)狀態(tài)，與首次類似，其可靠指標(biāo)提升r2及產(chǎn)生Ca,2的維護(hù)成本，再繼續(xù)以a3的速率退化.則可得出結(jié)構(gòu)在有維修行為的服役時間t的累計維修成本AC(t)為

(22)

式中：n為結(jié)構(gòu)總的維修次數(shù)；Ci(t)為一次維護(hù)活動的壽命周期成本.

圖2 結(jié)構(gòu)在維護(hù)活動下的維護(hù)成本

4 方法驗證

圖3的索梁體系[6]中，一等截面梁長2l=9.753 6 m.梁所承受的均布荷載q、極限抗彎強(qiáng)度M，以及鋼索的屈服強(qiáng)度fy均服從正態(tài)分布且完全獨(dú)立，索1和索2截面面積分別為6.45×10-2mm2和3.32×10-2mm2.統(tǒng)計參數(shù)見表1.

圖3 索梁結(jié)構(gòu)

表1 隨機(jī)變量統(tǒng)計參數(shù)表

以下為該結(jié)構(gòu)可能出現(xiàn)的失效模式(見圖4)和對應(yīng)的功能函數(shù).

圖4 索梁結(jié)構(gòu)失效模式

(23)

g2(X)=F1l+2F2l-2ql2

(24)

(25)

g4(X)=2M+F1l+2F2l-ql2

(26)

式中：F1為鋼索1的極限抗拉能力，F(xiàn)1=A1fy；F2為鋼索2的極限抗拉能力，F(xiàn)2=A2fy.

采用拉丁超立方抽樣抽取均布荷載、抗彎能力,以及屈服強(qiáng)度這三個隨機(jī)變量組成的樣本120組，其中100組為訓(xùn)練樣本，20組為測試樣本.通過高斯過程回歸自適應(yīng)超參數(shù)分別獲取以上四個功能函數(shù)函數(shù)下的GPR模型，并計算相應(yīng)的可靠指標(biāo)見表2.

表2 索梁結(jié)構(gòu)計算結(jié)果

四種失效模式間相關(guān)系數(shù)矩陣的計算結(jié)果為

應(yīng)用PNET法，取臨界相關(guān)系數(shù)ρ0為0.8，那么該系統(tǒng)的主失效模式為失效模式1和失效模式2，則該串聯(lián)結(jié)構(gòu)的體系可靠指標(biāo)β=3.167 4，可靠概率R=0.999 2.為了校核體系可靠度的計算誤差，采用Monte-Carlo數(shù)值模擬方法抽取106個樣本計算該結(jié)構(gòu)的可靠度概率RMCS=0.999 223.由此可知基于高斯過程回歸的PNET法計算多失效模式下的體系可靠度是具有一定可行性的.

5 多跨連續(xù)梁橋工程應(yīng)用實(shí)例

5.1 工程概況

湖北省荊州市海子湖特大橋為多跨非對稱變截面連續(xù)梁橋，整體一聯(lián)布置，橋跨布置為65 m+123 m+156 m+123 m+10×90 m+55 m，全長1 434 m.該橋主梁采用C55混凝土，上部結(jié)構(gòu)采用預(yù)應(yīng)力混凝土變截面連續(xù)箱梁，采用分兩幅布置，單幅橋?qū)?6.9 m，為單箱雙室直腹板截面形式.該橋小里程方向0號橋臺為肋板式輕型橋臺，大里程方向為15號橋臺為重力式U型橋臺.該橋的橋型布置圖見圖5.

圖5 海子湖特大橋布置(單位：m)

5.2 有限元模型

采用midas-Civil建立橋梁的上部結(jié)構(gòu)有限元模型,見圖6.

圖6 上部結(jié)構(gòu)有限元模型

對于研究目標(biāo)的下部結(jié)構(gòu)是指海子湖特大橋的橋墩和承臺組成的結(jié)構(gòu)體系，由于該橋橋墩較多，逐一建模分析研究十分困難，所以文中對于該橋下部結(jié)構(gòu)體系可靠度分析的對象是最容易出現(xiàn)破壞可能性的某個橋墩.通過對上部結(jié)構(gòu)在正常使用極限狀態(tài)下的有限元模型分析，可得到各橋墩的支座反力值，從而找到所受反力值最大的那個橋墩，見圖7.

圖7 各基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)反力示意圖

可知該橋P3號橋墩的支座反力最大，所以本節(jié)將P3號橋墩作為研究對象.P3號橋墩為矩形空心墩，其承臺尺寸為12.25 m×16.5 m×4.5 m，采用C35混凝土，橋墩橫向?qū)?1.5 m，順橋向?qū)?m，采用C40混凝土.擋塊和支座墊石分別采用C40混凝土和C55混凝土.

應(yīng)用有限元軟件ANSYS建立P3橋墩實(shí)體模型見圖8，混凝土采用主要用于構(gòu)造三維固體結(jié)構(gòu)SOLID45單元.

圖8 下部結(jié)構(gòu)有限元模型

5.3 失效模式分析

在預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁橋服役階段，橋梁的性能會受到許多因素的影響.在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，選用若干對橋梁結(jié)構(gòu)體系可靠度分析影響程度較大的隨機(jī)變量作為研究目標(biāo)，各隨機(jī)變量及相應(yīng)統(tǒng)計參數(shù)見表3.

在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，失效形式主要考慮該橋在正常使用極限狀態(tài)下可能由于應(yīng)力或撓度超限引起結(jié)構(gòu)失效，建立極限狀態(tài)方程如下：

(27)

式中：δ、σcc、σct分別為橋梁關(guān)鍵截面的撓度、壓應(yīng)力和拉應(yīng)力響應(yīng)值，均可通過有限元軟件計算得到.

表3 隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征 單位：MPa

結(jié)合該P(yáng)C連續(xù)梁橋有限元模型的計算結(jié)果、橋梁監(jiān)控原則和相關(guān)荷載試驗報告，將應(yīng)力值較大或較小和撓度值較大的截面作為此橋可靠度分析中重點(diǎn)考慮的關(guān)鍵截面.限于篇幅，相關(guān)應(yīng)力云圖略.

由應(yīng)力云圖可知：海子湖特大橋上部結(jié)構(gòu)各跨跨中截面和橋墩根部截面均是容易出現(xiàn)應(yīng)力或撓度超限的關(guān)鍵截面.而對于下部結(jié)構(gòu)來說，出現(xiàn)最大拉應(yīng)力的部位為兩擋塊中間處，最大拉應(yīng)力值為1.98 MPa,最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在支座墊石附近，壓應(yīng)力最大值為12 MPa.P3號橋墩在支座墊石處選用的是高強(qiáng)度C55小石子混凝土，對于計算得到的壓應(yīng)力能夠有效地承受，而擋塊附近選用的C40混凝土，其極限抗拉強(qiáng)度與計算值十分接近且空心墩確實(shí)容易在服役一段時間后由于局部應(yīng)力應(yīng)作用產(chǎn)生順橋向的裂縫，因此下部結(jié)構(gòu)主要考慮擋塊附近的拉應(yīng)力失效模式.

運(yùn)用拉丁超立方抽樣方法(Latin hypercube sampling,LHS)抽取表3中70組樣本數(shù)據(jù)，其中50組為訓(xùn)練樣本，20組為測試樣本.由于上部結(jié)構(gòu)和下部結(jié)構(gòu)的混凝土強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值抽樣數(shù)據(jù)是用作后續(xù)運(yùn)算求解功能函數(shù)值，所以不直接代入有限元模型計算，而其余變量需要通過有限元模型得到大概率出現(xiàn)失效情況關(guān)鍵截面的應(yīng)力或撓度值.將響應(yīng)值和抽樣標(biāo)準(zhǔn)值基于式(27)得到用以訓(xùn)練GPR模型的輸出數(shù)據(jù).

根據(jù)可靠指標(biāo)矢量法和上文中計算得到的各子系統(tǒng)失效模式下的靈敏度系數(shù)向量，通過公式(19)得到整個橋梁體系的相關(guān)系數(shù)矩陣再通過PNET法對其分析求解可得最終的可靠指標(biāo)為5.608 8，失效概率為1.018 4×10-8.

5.4 橋梁退化模型的建立

在橋梁設(shè)計基準(zhǔn)期(100年)內(nèi)以10年為間隔，通過可靠指標(biāo)矢量法和PNET法得到各個時間節(jié)點(diǎn)下的主要失效模式從而得到對應(yīng)時間節(jié)點(diǎn)的體系可靠度指標(biāo)，見表4.

表4 橋梁體系時變可靠指標(biāo)

將表4中離散化的結(jié)果轉(zhuǎn)化成三次多項式形式，該擬合結(jié)果即為海子湖特大橋正常使用極限狀態(tài)下體系時變可靠指標(biāo)退化模型.具體函數(shù)表達(dá)和示意圖(見圖9)為

β(t)=6.328 4×10-6t3-8.970 3×10-4t2-

1.528 3×10-2t+5.563 7

(28)

圖9 體系可靠指標(biāo)退化曲線

根據(jù)橋梁體系可靠指標(biāo)退化曲線，可得到橋梁的最遲維護(hù)建議年限為25年，在該年限內(nèi)橋梁的性能可以滿足規(guī)范中最低服務(wù)水平要求.

5.5 最優(yōu)維護(hù)策略研究

大跨PC連續(xù)梁橋在服役期內(nèi)由于受到外界不利因素以及材料老化的影響，會出現(xiàn)梁體開裂和下?lián)系牟『ΜF(xiàn)象，若不及時采取相應(yīng)的維護(hù)措施來減緩其性能的退化速率而是任其自由發(fā)展將會影響橋梁結(jié)構(gòu)的安全和正常使用，同時對于當(dāng)?shù)氐慕煌ㄏ到y(tǒng)來說也是一個重大的隱患.因此針對橋梁可能出現(xiàn)的不同病害情況提出并執(zhí)行相應(yīng)的解決措施是必要的，經(jīng)過歸納整理見表5.

表5 常見病害及維護(hù)措施

在橋梁的壽命周期內(nèi)，保證橋梁滿足安全可靠的且不影響正常使用的情況下產(chǎn)生最少的維護(hù)成本.相應(yīng)的優(yōu)化方程為

(29)

式中：βtarget為橋梁結(jié)構(gòu)的目標(biāo)可靠度，按規(guī)范進(jìn)行取值.

形成相應(yīng)的維護(hù)策略模型首先需滿足如下假定：①相同的維護(hù)活動每次執(zhí)行的持續(xù)時間和產(chǎn)生的效果是一樣的；②維護(hù)效應(yīng)時間小于維護(hù)間隔；③維護(hù)周期內(nèi)可靠指標(biāo)值的波動不會大于結(jié)構(gòu)初始可靠指標(biāo)β0；④維護(hù)行為出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)性能發(fā)生衰變之后.

不同維修或加固方法對橋梁服役能力的恢復(fù)效果，見表6.

表6 維修加固策略的效果及相應(yīng)費(fèi)用

通過適應(yīng)度函數(shù)得到的適應(yīng)度值是遺傳算法中判定基因遺傳概率的唯一指標(biāo)，調(diào)用遺傳算法工具箱中ranking函數(shù)對目標(biāo)函數(shù)值做適應(yīng)度計算.相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)為

(30)

約束條件采取罰函數(shù)方法，選定懲罰費(fèi)用為5 000元/m2.

將遺傳算法中的最大遺傳代數(shù)分別設(shè)置為100、200、300和400后得到最優(yōu)維護(hù)成本分別為 10 750，10 100，9 700，9 700元/m2.從最大遺傳代數(shù)為300的種群開始最優(yōu)解收斂于9 700元/m2，說明最優(yōu)維護(hù)費(fèi)用出現(xiàn)在300次迭代次數(shù)后的種群.上述遺傳代數(shù)對應(yīng)的種群目標(biāo)函數(shù)值、最優(yōu)解對應(yīng)的遺傳代數(shù)下搜索示意圖以及海子湖特大橋最優(yōu)維護(hù)曲線見圖10～12，最優(yōu)維護(hù)策略見表7.

通過上述遺傳算法得到的最優(yōu)維護(hù)策略可知:在壽命周期內(nèi)滿足性能指標(biāo)的情況下，從26年開始對橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行上述措施維護(hù)，成本最低，其壽命周期內(nèi)的維護(hù)成本為9 700元/m2.

圖10 不同迭代次數(shù)下種群目標(biāo)函數(shù)變化

圖11 300次迭代后種群最優(yōu)解搜索示意圖

圖12 最優(yōu)維護(hù)策略下的可靠指標(biāo)變化曲線

表7 最優(yōu)維護(hù)策略

6 結(jié) 論

1) 將高斯過程回歸理論與傳統(tǒng)的可靠度方法JC法相結(jié)合，同時通過可靠指標(biāo)矢量法和PNET法來考慮失效模式間的相關(guān)性，提出了基于GPR的結(jié)構(gòu)體系可靠度求解方法.索梁算例和工程應(yīng)用實(shí)例均表明本文中采用的分析方法是可行且精確的，對于應(yīng)對復(fù)雜工程中會出現(xiàn)的高度非線性隱式功能函數(shù)，且需要對多種失效模式進(jìn)行相關(guān)性分析時，本文方法具備較強(qiáng)的適用性.

2) 基于文中的體系可靠度求解方法，在考慮材料衰變效應(yīng)的前提下，建立了橋梁的退化預(yù)測模型.根據(jù)該模型可分析得到，海子湖特大橋的最遲維護(hù)建議年限為25年，在該年限內(nèi)橋梁的性能可以滿足規(guī)范中服務(wù)水平要求.

3) 選用遺傳算法對最優(yōu)維護(hù)策略模型求解，最低維護(hù)成本在300次迭代后趨于穩(wěn)定，得到了該橋在100年內(nèi)滿足規(guī)范中可靠度指標(biāo)要求的最優(yōu)維護(hù)方案.