微分學(xué)于經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用

王程輝，賈松偉

(河南科技大學(xué)，河南 洛陽 471000)

微積分的引入是數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑。隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用逐漸多了起來，也引起了人們的重視，另外微積分也是高等數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)，在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，經(jīng)濟(jì)中也不例外[1]。

1 拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1.1 拉格朗日乘數(shù)法

區(qū)域D內(nèi)，二元函數(shù)f(x,y)和φ(x,y)都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求z=f(x,y)在D內(nèi)滿足條件φ(x,y)=0極值就可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)(λ是常數(shù))的無條件極值的問題。

因此，在條件φ(x,y)=0下拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)z=f(x,y)的極值的運(yùn)算步驟為：

①構(gòu)造存在λ為某一常數(shù)的拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)；

求解x，y，λ其中x，y就是條件極值的可能極值點(diǎn)。

拉格朗日乘數(shù)法是可以運(yùn)用到企業(yè)多個(gè)自變量和多個(gè)經(jīng)濟(jì)條件一般情況下的，運(yùn)算思路都是一樣的。拉格朗日乘數(shù)法運(yùn)算出的結(jié)果只能給出特定函數(shù)取到極值的必要條件，再結(jié)合實(shí)際問題來選取得出的結(jié)果是否為極值點(diǎn)(或最值點(diǎn))，因?yàn)檫@些問題都是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)際問題，比如最大利潤(rùn)、利潤(rùn)最大化這種問題，因此拉格朗日乘數(shù)法是經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問題的首要選擇方法[2]。

1.2 拉格朗日數(shù)乘法求解經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化問題

制造商制造某種產(chǎn)品時(shí)需要?jiǎng)趧?dòng)力和資本，假設(shè)它們分別用x1與x2代替。該產(chǎn)品的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)(單位：元)：

y=f(x1,x2)=1 200x13/5x22/5

如果生產(chǎn)廠家制造該產(chǎn)品所需的單位人工成本和單位資金成本分別為240元和480元，而該廠家對(duì)該產(chǎn)品的總投資為9.8萬元，那么資金應(yīng)該如何分配才能最大化生產(chǎn)(條件極值問題)。

分析與求解：此情況為條件極值問題，分類為在條件240x1+480x2=98 000的約束下求y=f(x1,x2)的數(shù)學(xué)模型。

則拉格朗日函數(shù)為：

L(x1,x2,φ)=2 000x13/5x22/5+φ(96 000-240x1-480x2)L(x1,x2,φ)的偏導(dǎo)數(shù)滿足:

通過該方程組可求得唯一組解：

因此，當(dāng)單位人工成本為240元，單位資本成本為80元時(shí)，制造商可以獲得的產(chǎn)量y=f(x1,x2)=185 585.47元即為最大產(chǎn)量。

2 多元函數(shù)微分法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

2.1 多元函數(shù)微分學(xué)相關(guān)理論

要知道的是，若函數(shù)f滿足f(P)≤f(P0)或者f(P)≥f(P0) 且沒約束條件，那么這個(gè)點(diǎn)P0就稱為f的極大(小)值點(diǎn)，討論時(shí)應(yīng)該注意僅限制于定義域的內(nèi)點(diǎn)，一般通過判斷函數(shù)f在特定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)的值，即：fx(x0,y0)和fy(x0,y0)是否為零來判斷函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，若都為零，則該點(diǎn)為f的穩(wěn)定點(diǎn)，值得注意的是，上述過程得到的穩(wěn)定點(diǎn)可能不是極值點(diǎn)[3]。

由上述得到穩(wěn)定點(diǎn)后，再結(jié)合實(shí)際中所遇到經(jīng)濟(jì)問題中的現(xiàn)實(shí)意義，選擇出決策變量的取值，再將上述過程中得到的穩(wěn)定點(diǎn)和端點(diǎn)處的數(shù)值進(jìn)行比較，最終得到適合的極值。

2.2 多產(chǎn)品壟斷利潤(rùn)最大化問題求解

在經(jīng)濟(jì)問題中有很多地方都需要用到最值問題，當(dāng)材料有限時(shí)該如何獲得要求的最值顯得尤為重要，這時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)就可以給我們一個(gè)簡(jiǎn)單又科學(xué)的方法，從而解決經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)中的最優(yōu)生產(chǎn)決策及相關(guān)問題。

某地區(qū)有個(gè)企業(yè)，生產(chǎn)x1和x2兩種產(chǎn)品，若這倆產(chǎn)品的需求函數(shù)是線性的，需求函數(shù)如下：

x1=130+4t1-3t2

x2=110-3t1+2t2

如果t1和t2表示產(chǎn)品x1與x2的單價(jià)，單位為元，則以上以矩陣形式表示：

用Cramer法則解得：

t1=2(130-x1)+3(110-x2)

t2=3(130-x1)+4(110-x2)

即這兩種產(chǎn)品的逆需求函數(shù)為：

t1=590-2x1-3x2

t2=830-3x1-4x2

值得了解的是，上述逆需求函數(shù)表明，當(dāng)兩個(gè)產(chǎn)品相互替代時(shí)，一個(gè)產(chǎn)品的輸出在負(fù)的情況下代表另一個(gè)產(chǎn)品的逆需求函數(shù)。若一種產(chǎn)品(假設(shè)是x1)的產(chǎn)量上升，可能會(huì)導(dǎo)致這個(gè)產(chǎn)品x1價(jià)格回落，導(dǎo)致消費(fèi)者對(duì)另一個(gè)產(chǎn)品x2的需求下降，使任何已知產(chǎn)品x2的產(chǎn)量對(duì)應(yīng)的t2值同時(shí)下降。

假定該企業(yè)的這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本函數(shù)關(guān)系為：

R=16 200+13x1+19x2

則該企業(yè)生產(chǎn)銷售這兩種產(chǎn)品的所得利潤(rùn)是:

w(x1,x2)=x1t1+x2t2-R

即：w(x1,x2)=-2x12-4x22-6x1x2+577x1+811x2-16 200

求一階條件：

用Cramer法則求得使企業(yè)利潤(rùn)最大化的產(chǎn)品產(chǎn)量為：

由此可以計(jì)算出，最大利潤(rùn)時(shí)產(chǎn)品單價(jià)(單位：元)：t1=301.49，t2=425.82

通過以上結(jié)果得出該企業(yè)的最大利潤(rùn)(單位：元)：wmax=23 934.56

3 邊際分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

3.1 邊際分析方法的引出

如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)存在于區(qū)間(a,b)中且連續(xù)存在，那么f′(x)稱為邊際函數(shù)，取某點(diǎn)x0∈(a,b)處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)作為邊際函數(shù)值。

產(chǎn)品的收益、利潤(rùn)和成本等都可以用產(chǎn)量x來表示出相關(guān)的函數(shù)形式，分別記為R(x)，L(x)和C(x)。假設(shè)出售了所有的產(chǎn)品，顯然可以得出L(x)=R(x)-C(x)。把成本函數(shù)C(x)一階導(dǎo)函數(shù)叫作邊際成本函數(shù)MC(x)；同理，邊際收益和邊際利潤(rùn)也是一樣的，分別記為MR(x)和ML(x)。

經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)邊際成本MC(x)的解釋是制造商必須為一種商品的每增加一個(gè)生產(chǎn)單位支付的成本。同理，邊際收益函數(shù)MR(x)可理解為一個(gè)廠商生產(chǎn)某種商品，每增加一個(gè)生產(chǎn)單位的收益。邊際利潤(rùn)函數(shù)ML(x)可以理解為一個(gè)廠商生產(chǎn)某種商品，每增加一個(gè)單位所產(chǎn)生的利潤(rùn)[4]。

3.2 邊際分析方法的現(xiàn)實(shí)化

根據(jù)實(shí)際成本函數(shù)中自變量的值，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中必是自然數(shù)。比如臺(tái)燈、杯子等產(chǎn)量都是以自然數(shù)計(jì)量，因此，我們可以認(rèn)為，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的分析中，產(chǎn)出是一個(gè)離散量。這種情況下連續(xù)變量和離散變量，這兩種不同情況我們并沒有太大的區(qū)別。因此，它可以被認(rèn)為是不斷變化的。

在市場(chǎng)發(fā)展經(jīng)濟(jì)進(jìn)行分析中，邊際分析的應(yīng)用是一個(gè)不可或缺的。例如，邊際分析可以用來求解產(chǎn)品產(chǎn)量、生產(chǎn)成本、營(yíng)銷利潤(rùn)、生產(chǎn)效用、大眾消費(fèi)、營(yíng)銷收入、個(gè)人投資和儲(chǔ)蓄的最優(yōu)策略匹配[5]。

3.3 實(shí)際應(yīng)用與分析

案例：某地區(qū)有一家食品企業(yè)，需要在一個(gè)固定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)一批食品。設(shè)x為產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：件)，生產(chǎn)這種食品所需的各種原材料的總成本函數(shù)是C(x)=0.8x2+80x+6 000,總收入函數(shù)是R(x)=0.6x2+160x(單位：萬元)。

使用邊際分析來解決這個(gè)問題:從上面的信息可以得到這個(gè)產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)：

L(x)=R(x)-C(x)

=-0.2x2-80x-6 000

自變量x可視為連續(xù)自變量，求一階偏導(dǎo)：

邊際利潤(rùn)函數(shù)(在x0點(diǎn)處)：

讓邊際成本等于0。得出x的值是200。為了使邊際收益變化率<邊際成本變化率，并將邊際成本變化率轉(zhuǎn)化為邊際函數(shù):d2L=dx2=-0.4<0，因此滿足這一要求。當(dāng)上述收入帶入時(shí)，最高利潤(rùn)為2 000萬元。

上述研究過程是在無約束條件下可以進(jìn)行的，在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們對(duì)該產(chǎn)品互補(bǔ)產(chǎn)品的替代品的需求與該產(chǎn)品價(jià)格等外部因素密切相關(guān)。在這些主要影響因素中，產(chǎn)品價(jià)格對(duì)銷量的影響較大，可以考慮。首先，假設(shè)企業(yè)擁有準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，能夠得出產(chǎn)品價(jià)格和人們對(duì)其需求的關(guān)系，得到一個(gè)近似擬合函數(shù)x=15 000-2p2，其中x是該食品的需求，P就是其價(jià)格。

R(x)=x·P(x)

R′(x)=P(x)+x·P′(x)

邊際收益函數(shù):

R′(x)=0時(shí)x=100，其經(jīng)濟(jì)意義為:當(dāng)產(chǎn)品的產(chǎn)量為100件時(shí)，邊際收益為0，這時(shí)產(chǎn)量等于人們需求，總收益最大[6]。

4 結(jié)束語

隨著社會(huì)的進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,微積分應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的范圍逐步增加，也引起了人們的重視。函數(shù)廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)的分支，如天文學(xué)、生化學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)，特別是電子產(chǎn)品的出現(xiàn)，更有利于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展，由于生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行概念的產(chǎn)生和應(yīng)用，繼解析幾何之后又產(chǎn)生了這樣一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支——微積分，微積分在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域的發(fā)展中起著重要的作用。可以說是繼歐幾里得幾何之后最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)明。企業(yè)在實(shí)際的生產(chǎn)活動(dòng)中，掌握了微積分等數(shù)學(xué)知識(shí)，才能更好地為企業(yè)的發(fā)展提供新思路，為社會(huì)發(fā)展提供更好的服務(wù)[7]。