基于互相關移位相乘BOC(m,n)無模糊捕獲算法

李明，胡輝，郭萌，禹飛，謝虹群

華東交通大學 信息工程學院，南昌 330013

全球衛星導航系統(Global Navigation Satellite System，GNSS)在各行各業的應用越來越廣泛，目前衛星導航正由單GPS(Global Positioning System)進入多星座聯合的GNSS時代，傳統的衛星導航信號的調制方式使得各種導航信號在有限頻段內重疊，相互干擾。二進制偏移載波(Binary Offset Carrier，BOC)調制是以方波作為子載波對偽隨機(Pseudo Random Noise，PRN)碼進行預調制，使得信號頻譜對稱分裂于頻帶邊緣，并且可以通過選擇不同的調制參數來調整兩個分裂主瓣的間距，從而有效解決導航信號間的相互干擾，實現頻譜資源的有效利用。

雖然BOC調制有效解決了上述問題，但在±1碼片內，BOC信號自相關函數(AutoCorrelation Function,ACF)存在多峰性，使得BOC信號捕獲存在兩方面的問題：一是誤捕到旁峰造成捕獲模糊，影響了測距精度；二是相關峰存在的多個零點導致信號漏捕。

近年來，針對上述存在的問題，已經提出了多種方法，目前國內外主要成果有：多載波模型BPSK-Like法，將BOC信號視為無窮個疊加的BPSK(Binary Phase Shift Keying)信號之和，通過本地產生對應的載波來剝離主載波和子載波，最終生成一個類似BPSK信號的單相關峰。這雖然解決了誤捕旁峰的問題，但其主峰寬度與BPSK相同，為2個碼片，不能保證BOC信號窄相關峰特性。自相關旁鋒消除法(Autocorrelation Side-peak Cancellation Technique, ASPeCT)利用了BOC(,)信號自相關函數和BOC(,)/PRN的互相關函數在相同碼相位處，旁峰具有類似的特點，通過調整權值系數，減小旁峰與主峰的峰值比，但最優效果難以保證。另外，該算法僅適用于=的情況。子載波相位消除法(Subcarrier Phase Cancellation, SCPC)借鑒了主載波剝離的思想，首先本地產生兩路子載波相位正交的BOC信號，然后將BOC、QBOC(Quadrature BOC)的互相關函數平方與BOC的自相關函數平方相加，最終得到了檢測峰不含零點的相關曲線，該方法解決了漏捕問題，但BOC信號窄相關峰特性得不到保證。綜上所述，目前的主流算法或者能消除多峰性而不能保留BOC信號窄相關峰特性，或者能夠保留BOC信號窄相關峰特性，但多峰性明顯，甚至有些僅適用于BOC(,)類信號。

目前，相關函數重構算法是一個比較熱門的方向，它的核心思路是將相關函數分離成一系列子相關函數，利用子相關函數之間的特點，通過翻轉、非線性、截取移位、線性等方法，重新構造一個無旁峰干擾的新相關函數，進而解決BOC信號存在的誤捕和漏捕問題。文獻[18]提出的CSSPeCT(Correlation Shift-SidePeak Cancellation Technique)技術，將相關函數分離為奇偶兩部分，降低了分離和重構過程的復雜度，但其僅適用于=的情況。文獻[19]利用自相關函數與自相關絕對值函數主峰大小相等、方向相同、旁峰大小相等、方向相反的特點，給出了一種合成互補方法：該方法對自相關函數的調幅、截取等操作，受接收信號的碼相位偏移及多普勒頻移影響，而接收信號的相關信息是隨機的。文獻[20]提出了一種運算量更低且適用于任意階數BOC信號的捕獲算法，其結果存在一定的負峰，犧牲了一定的性能。

針對現有技術存在的問題，本文提出了一種基于互相關函數分離重構的無模糊捕獲算法。同時，為了解決該算法運算量大以及適用性單一的問題，提出了一種快速算法。

1 算法分析

1.1 BOC調制信號模型

通常，BOC調制信號以BOC(,)來表示，其中表示信號的子載波頻率與基準頻率之比，為PRN碼碼速率與的比值，=1.023 MHz，記=2為BOC調制階數，其信號特性主要受子載波頻率和PRN碼碼速率的比值影響，即與調制階數密切相關。

由于BOC信號中的PRN碼序列和子載波具有特定的相關性，BOC(,)信號的自相關函數ACF除主峰之外還存在多個旁峰。BOC(1,1)信號的自相關函數的模型為

(1,1)()=

(1)

式中：()為高度1、寬度2、中心在=0處的三角函數；為碼相位延遲。BOC/PRN互相關函數即為BOC信號與不經子載波調制的PRN進行相關運算得到。BOC(2,1)信號與PRN的互相函數為

(2)

圖1(a)為BPSK、BOC(1,1)和BOC(2,1)自相關函數MATLAB仿真的結果比較，圖1(b)為BOC(1,1)/BOC(2,1)與PRN碼的互相關函數對比。由圖可知，BPSK信號自相關函數只有一個峰值，而BOC(1,1)信號自相關函數主峰寬度只有BPSK的一半，BOC(2,1)則為1/4，這使得BOC信號具有更好的跟蹤精度，但其自相關函數有多個旁峰，這就導致捕獲過程中存在誤捕的情況。調制階數越高，BOC信號主峰寬度越窄，同時其旁峰數量也越多，旁峰幅值大小越接近主峰，如何將旁峰去除就成了解決問題的關鍵。

圖1 BOC信號相關函數比較Fig.1 Comparison of BOC signal correlation functions

BOC信號與PRN碼的互相關函數分為左右兩部分，這兩部分關于中心原點對稱，每一部分都是由多個三角峰組成，其峰值大小的絕對值相等。與自相關函數相同，互相關函數隨著調制階數的增加，每個部分中的相關峰個數增多，寬度變窄，其總個數隨調制階數變化的關系為=，即兩部分三角峰個數之和等于信號調制階數。

對于BOC信號來說，若在捕獲過程中沒有將旁峰消去，而誤捕到了旁峰，在后續的跟蹤相位階段將會導致誤鎖，特別是高階的BOC信號，其相關函數的主峰和子峰難以區分，更加容易造成誤鎖現象，這會引起不容忽視的定位偏差。

1.2 分離重構原理

根據圖1(b)所示BOC/PRN互相關函數的性質，我們可對互相關函數進行如下分解重組。

本地PRN信號數學模型可表示為

(3)

式中：()為周期為的單位矩形脈沖；為單個PRN碼片寬度；∈(-1,1)為第個碼片的符號。基于上述信號分離原理，將PRN的每個碼片分成等份，截取每一個PRN碼片的第一等份，構成第一組子碼信號，如式(4)所示：

(4)

式中：()為周期為的矩形脈沖；為單個子載波脈沖的寬度，其與PRN碼片寬度的關系為=。這樣依次截取每個PRN碼片的第等份的碼片信號，組成第組子碼信號()：

()=(-(-1))=1，2，…，

(5)

由式(5)可得第組子碼信號()可以由延遲得到，則本地PRN信號被分成組子碼信號的和，即為

(6)

當輸入信號為BOC(2,1)時，調制階數=4，對應的本地PRN信號的分離結果如圖2所示。

圖2 本地PRN信號分離圖Fig.2 Decomposition of local PRN

當調制階數為偶數時，BOC/PRN互相關函數可表示為

()=

(7)

若定義PRN信號的第組子碼信號()與BOC(,)信號的子互相關函數為()，則BOC/PRN互相關函數為個子互相關函數之和：

(8)

圖3(a)為MATLAB仿真得到的BOC(2,1)信號與PRN信號互相關函數()以及分離后的子互相關函數()結果圖，碼相位延遲設置為400。

圖3 互相關函數分離Fig.3 Decomposition of cross-correlation functions

由圖可知子互相關函數()存在峰值相等的多峰，且相鄰峰之間的時間延遲均為。若以()為基準，按式(4)中()的定義，則()可由()延遲得到，即

()=(-(-1))=1，2，…，

(9)

若將圖3(a)所示的()延遲至與()對齊，將()延遲至與()對齊，結果即為圖3(b)所示。此時()和()、()和()關于碼相位=400成對稱關系，利用該對稱性將()和()相乘、()和()相乘可分別得到單峰，再將兩個單峰相加得到最終結果。

對于所有為偶數階的BOC(,)信號都有同樣的結論，最終構造得到的相關函數即可用于無模糊度捕獲，具體過程如下：

1) 計算分離后的個子相關函數()。

2) 將所有子相關函數分成2組：

并把第1組中其余子相關函數時延至與()對齊，第2組中與()對齊。

3) 第1組和第2組中互相關于原點對稱的子相關函數相乘，即下標之和為的子相關函數兩兩相乘，得到/2個結果。

4) 所有結果相加得到最終重構的相關函數()，其表達式如式(10)所示，將該算法簡記為移位相乘法。

(-1))

(10)

1.3 基于互相關函數分離重構的移位相乘算法

綜合1.2節分離重構原理，提出了基于互相關函數分離重構的移位相乘算法，圖4顯示了該捕獲算法的原理框圖。圖中：NCO為數控振蕩器；IFFT表示快速傅里葉逆變換。

輸入中頻BOC(,)信號的數學模型如下：

cos(2π(+))+()

(11)

式中：為信號接收功率；()為PRN碼序列；()為導航電文；SC()為子載波；為信號中頻；為接收信號的多普勒頻移；()為噪聲部分。

首先，根據式(4)～式(6)將本地信號分離，得到組子碼信號；將分離的組子碼信號分別和輸入中頻信號進行互相關運算，這里采用FFT實現。

由于導航電文()在處理過程中幅值恒定，此處忽略其影響，不考慮數據位跳變。假設總共有段數據處理，則第段的數據經積分處理并求模后的輸出為

=1,2,…,

(12)

簡記為

(13)

圖4 移位相乘算法原理圖Fig.4 Schematic diagram of cross-correlation-shift multiplication algorithm

=

(14)

(15)

(16)

對于所有的段數據進行非相干累加，即得到圖4所示的最終檢測量：

(17)

圖5 BOC(2，1)重構后的相關函數Fig.5 Reconstruction of BOC(2,1) sub-correlation function

1.4 快速算法

由式(10)所示的移位相乘法，有效消除了旁峰對捕獲的影響，但重構結果并未完全消去旁峰，且實現復雜，存在調制階數為奇數時效果不好的局限性。為解決該算法存在的問題，基于上述移位相乘法提出了一種快速算法。

圖6為快速算法原理框圖。在圖3中，對于分離得到的子自相關函數，取第1個和第個，即()和()，將其相乘得到單峰，以此來降低運算的復雜度，獲得較快的處理速度，同時解決了移位相乘法在BOC信號調制階數為奇數時不適用的局限性。此時得到的結果仍和移位相乘法一樣，并未完全將旁峰消去，令()和()乘積為1，觀察結果可知，只需將1取絕對值，再和1相減，原來存在的旁峰即可正負相抵消，完全消去，快速算法最終的重構函數為

=|1|+(-1)

(18)

根據式(18)得到圖7所示的最終檢測量為

(19)

(20)

結合兩者優勢，快速算法具有比移位相乘法更低的復雜度、更快的處理速度和旁峰消去能力。該算法通過犧牲一部分能量來換取更低的運算量，但其最終輸出相當于將主峰疊加，減少了能量的損失，對于低階BOC調制信號的情況，該算法能量反而有所提高。圖7為以BOC(2,1)為例的快速算法結果圖。

圖6 快速算法原理圖Fig.6 Schematic diagram of fast algorithm

圖7 快速算法相關函數重構結果Fig.7 Reconstruction results of sub-correlation function of fast algorithm

雖然本文提出的移位相乘法及其快速算法均以正弦型BOC調制信號為例分析，但同樣適用于余弦型的BOC調制信號。對于余弦型BOC調制信號，當其調制階數為偶數時，移位相乘法及快速算法與正弦型BOC調制信號消除旁峰的方式基本相同。但是對于奇數階數的BOC調制信號，其子相關函數個數為奇數，而移位相乘法需將子相關函數分為兩組，此時只能使用快速算法，消除旁峰的方式與偶數階數BOC調制信號相同。

2 檢測統計量分析

2.1 移位相乘法檢測統計量

(21)

將式(21)整理得到3部分，純信號項、純噪聲項以及信號與噪聲的交叉項，分別如下所示。

純信號項：

=|()|×|-+1()|

(22)

純噪聲項：

(23)

交叉項：

(24)

(25)

(26)

式中：K(·)為第二類階修正貝塞爾函數；Γ()為伽瑪函數；的方差為

(27)

根據中心極限定理，當數據段數的值很大時，最終檢測量中的純噪聲項為類似高斯變量，近似服從正態分布，其方差如式(28)所示：

(28)

信號與噪聲的交叉項相當于高斯噪聲乘以一個常數，其仍然服從高斯分布，因此的方差為

(29)

最終檢測量中的交叉項方差為

(30)

綜上是高斯噪聲與常量的累加，亦服從均值為()、方差為()的高斯分布，的均值和方差如式(31)、式(32)所示：

(31)

(32)

(33)

虛警概率可表示為

(34)

式中：為檢測門限值。根據奈曼皮爾遜準則，可計算得條件移位相乘法的門限值。

(35)

式中：為信噪比；I()表示第一類零階修正貝塞爾函數。因此檢測概率為

(36)

同理可得條件下移位相乘法的門限值。

2.2 快速算法檢測統計量

對于快速算法，按照式(21)～式(36)的分析方法，對式(19)所示的檢測量分析有：

在的條件下，的概率密度函數為

(37)

虛警概率為

(38)

在的條件下，的概率密度函數為

(39)

檢測概率為

(40)

根據奈曼皮爾遜準則即可得到和條件下的快速算法門限值。

2.3 性能分析

檢測概率是反映捕獲算法優劣最好的指標。與傳統BPSK信號檢測性能的影響因素不同，BOC信號的檢測性能由噪聲和旁峰共同影響。為了從理論上證明本文算法的有效性，根據2.1節和2.2節分析得到的門限值和檢測概率表達式，繪制信噪比與檢測概率關系圖，分析本文算法的檢測性能。圖8為通過蒙特卡洛法模擬5種算法在相同條件下，BOC(2,1)的檢測概率對比，設置仿真環境的非相干積分時間為1 ms，虛警概率為=001，碼長為2 046個碼片，采樣率為81.84 MHz，信噪比范圍為[25，45] dBHz。捕獲判定的依據為不同信噪比條件下，最大峰值出現的位置與碼相位時延大小之間的誤差在±1/4個碼片內。

從圖8中可以看出，本文算法檢測概率較3種傳統算法有明顯優勢。從檢測概率的角度來看，本文算法在相同信噪比條件下，檢測概率均高于3種傳統算法。假設檢測概率=90%，移位相乘法在信噪比約37 dBHz時可達到相應的檢測性能，快速算法所需信噪比約為37.5 dBHz，而ASPeCT法需在41 dBHz左右,本文算法捕獲性能優于ASPeCT法約4 dB和3.5 dB，且優于SCPC和BPSK-Like法3 dB、2.5 dB和6 dB、5.5 dB。原因是本文算法在保留BOC信號窄相關峰特性的同時，有效抑制了旁峰，ASPeCT法不能很好的抑制旁峰的影響，且對于高階BOC信號其不再適用，而BPSK-Like法和SCPC法雖然達到了抑制旁峰的效果，但兩者均未保留窄相關峰特性。在相同條件下，噪聲更容易使相關峰值在±1/4個碼片之外高于預設的門限值，降低捕獲性能；移位相乘法相較快速算法雖具有更多的能量，但并未將旁峰完全消去，快速算法在完全消去旁峰的同時，其最終輸出相當于將主峰進行疊加，減少了能量的損失，理論曲線表明快速算法性能與移位相乘法相當，兩者差距在0.5 dB以內。

圖8 檢測概率與信噪比的關系Fig.8 Relationship between detection probability and carrier to noise ratio

3 實驗結果與分析

為了驗證本文算法的性能，根據第1、第2節部分的算法原理和理論分析，基于MATLAB平臺對算法進行仿真實驗，設輸入中頻信號的頻率=4.092 MHz，碼長為2 046個碼片，信噪比為-25 dB，采樣率= 81.84 MHz，積分時間= 1 ms，設置多普勒頻移= 3 000 Hz，多普勒頻率的搜索范圍為[-10，10] kHz，頻率搜索步長為500 Hz，碼相位延遲= 401采樣點。給出了本文算法的捕獲仿真結果，同時對比了本文算法與SCPC、ASPeCT以及BPSK-Like法的二維捕獲結果，分析本文算法的旁峰消除效果。

3.1 三維仿真結果

以BOC(2,1)信號為仿真信號源進行捕獲，圖9(a)為移位相乘法三維捕獲結果圖，圖9(b)為快速算法三維捕獲結果圖。

圖9 三維捕獲結果Fig.9 The 3D acquisition result

由上述實驗結果可知，以最大相關峰值作為搜索門限，本文兩種算法捕獲多普勒均為3 000 Hz， 碼相位延遲為401個碼片，捕獲估計參數與預設參數一致，驗證了本文算法的可靠性。

3.2 二維仿真結果

圖10為5種算法標準化后的旁峰消除效果的二維對比圖。從結果圖可以明顯看出，ASPeCT法并沒有很好的旁峰消除能力，其結果存在兩個峰值較高的旁峰和多個較小的旁峰，主峰寬度為20個 采樣點。隨調制階數的增大，ASPeCT法中的旁峰數量不斷增多，不再適用于BOC信號捕獲。移位相乘算法雖然并沒有將旁峰完全消去，但僅存在兩個峰值較小的正值旁峰，相較主峰峰值，影響基本可以忽略，在相同碼相位誤差范圍內估計，ASPeCT法旁峰檢測量的值為0.548，移位相乘法中旁峰檢測量的值為0.105 7，ASPeCT法的誤捕概率高出移位相乘法約7 dB，而主峰寬度與ASPeCT相當，為20個采樣點。SCPC、BPSK-Like和快速算法均消去了旁峰，但SCPC和BPSK-Like沒有保留BOC信號的窄帶特性，主峰寬度固定為80個采樣點，即兩個碼片寬度，不滿足BOC信號高精度捕獲要求；而快速算法在將旁峰完全消除的同時，還保留了主峰的窄帶性，其寬度和ASPeCT法、移位相乘法相同。在主峰寬度方面本文算法同ASPeCT法明顯優于SCPC、BPSK-Like法，且本文算法隨著調制階數增大，主峰寬度會越窄；在旁峰消除方面，快速算法完全消去了旁峰且保留了窄帶特性。

圖10 5種算法二維捕獲對比Fig.10 2D acquisition result of five acquisition methods

3.3 算法復雜度

積分時間=1 ms，共81 840個采樣點，根據多普勒檢測范圍和步進可計算得到41個頻點。本文提出的快速算法經2次復數乘法運算、1次實數相乘運算和1次實數加法運算，再經5次FFT得到最終檢測結果；ASPeCT法的運算量為，8次FFT運算、4次復數乘法運算、2次實數相乘運算；BPSK-Like法的運算量為，4次復數乘法運算、2次實數相乘運算、8次FFT運算；SCPC法則是5次FFT運算、2次復數乘法運算、2次實數相乘運算。

一般來說，一次復數乘法可以分解成4次實數乘法和3次實數加法運算，一次復數加法等同于兩次實數加法運算，結合式(41)、式(42)可得5種算法的總運算量。表1為5種算法捕獲過程中的計算復雜度對比。

表1 5種算法運算量對比Table 1 Comparison of calculation between five algorithms

若假設一次乘法運算時間和一次加法運算時間均為，將實際參數帶入到表1中，可以得到實際的乘法和加法運算次數。以=81 920點FFT為例，比較發現快速算法的計算量為ASPeCT和BPSK-Like算法的58.54%，效率提高了約40%；而與SCPC相比，兩者運算量一樣。移位相乘法在調制階數為2時，運算量和SCPC以及快速算法相同，但隨調制階數增大，其運算量要遠高于其他四種算法，最為復雜。

4 結 論

1) 本文研究了BOC/PRN互相關函數的性質，對本地PRN信號進行分離，提出了一種基于互相關函數分離重構的移位相乘法。結果表明，移位相乘法能夠消除旁峰對捕獲的影響，有效解決BOC信號捕獲模糊度問題，同時能夠保留相關主峰的窄帶特性。

2) 為了進一步提高性能，解決移位相乘法實現復雜，在調制階數為奇數時效果差的問題，提出了一種快速算法。理論分析和仿真實驗表明，快速算法的性能優于傳統算法，與移位相乘法相當，且實現復雜度較低，同時適用于所有類型的BOC調制信號，具有很好的適用性，對于我國北斗三代衛星B1C信號的捕獲具有一定參考意義。

下一步工作將研究本文算法在實際衛星信號捕獲以及跟蹤中的應用，未來還將研究本文方法思路在聯合捕獲中的應用。