基于損失函數的縮比模型沖擊響應預報結果修正方法

王悅鑫，何歡,*，吳添，惠旭龍

1. 南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016 2. 南京航空航天大學 振動工程研究所，南京 210016 3. 上海宇航系統工程研究所，上海 210019 4. 中國飛機強度研究所 結構沖擊動力學航空科技重點實驗室，西安 710065

沖擊碰撞廣泛存在于航空航天領域，研究沖擊載荷作用下結構的動響應及破壞特征，對飛行器的適墜性研究及結構的設計優化起著重要的作用。

早期的學者從理論上對梁板結構的動響應進行了研究，試圖通過量綱分析建立結構響應與沖擊載荷的關系。Johnson于1972年提出了損傷數，用來描述在沖擊載荷作用下梁和板的動響應。Zhao在損傷數的基礎上考慮了幾何因素的影響，提出了響應數。然而，沖擊過程是一個高度非線性的問題，結構的動態響應不僅與結構的幾何尺寸和約束條件相關，還與材料的彈塑性性質及應變率效應等因素有關。Li和Jones考慮材料的應變硬化、應變率、溫度等效應進一步拓展了無量綱數。Hu和Shi等將無量綱數應用于各種板和殼的動態分析，充分展示了無量綱數在描述結構動態響應方面的重要性。

對于飛機等大型結構，難以從理論上進行動響應分析，進行沖擊試驗是最直接的方法。然而全尺寸試驗成本高、周期長、且易受試驗條件和環境的限制，適當地進行縮比模型試驗則可以大大減小研究成本，縮短研究周期。

在量綱分析的基礎上，應用相似理論建立縮比模型與原型的相似關系是縮比模型設計中最常用的方法。當考慮材料的應變率效應時，傳統的相似關系便得不到精確滿足。在畸變因素存在的條件下，如何保證縮比模型對原型沖擊響應結果的預報精度引起了相關學者的關注，并發展了不同的修正方法。其中最具有代表性的是基于VSG量綱體系提出的一系列修正方法，Oshiro和Alves以VSG(沖擊速度、應力、沖擊質量)代替傳統的MLT(沖擊質量、時間、幾何尺寸)作為一組新的無量綱數，針對應變率效應提出了修正沖擊速度的VSG間接相似法。該方法盡管可以明顯減小縮比模型的預報誤差，但是需要提前獲取原型和縮比模型的響應信息，是一種間接相似方法，應用較不便。為了克服VSG間接相似法的缺點，Oshiro和Alves基于冪指數形式的Norton-Hoff本構方程，提出了VSG相似法。該方法雖然不再需要預先獲取原型和縮比模型的響應信息，但是僅適用于冪指數形式的本構模型，不具有普適性。

在實際工程中，可能會出現縮比模型與原型材料不同的情況，針對這種材料畸變問題，Oshiro和Alves提出了VSG材料畸變相似法，旨在利用應變率不敏感縮比模型預報應變率敏感原型的響應。該方法的提出意味著即使原型和縮比模型材料不同，也可以通過修正沖擊速度減小縮比模型的預報誤差。VSG材料畸變相似法由于是基于VSG間接相似法提出的，因此具有一定的局限性。Mazzariol等針對應變率效應以及材料畸變問題，通過在VSG體系中增加質量的無量綱數，提出了VSG-D相似方法。針對應變率效應，VSG-D方法比VSG相似法適用于更多形式的本構方程。針對材料畸變問題，VSG-D方法比材料畸變相似法更具有普適性。但是文中將結構的應變率設定為1 s，并未考慮沖擊過程中材料應變率的動態變化。張振華等將VSG間接相似法應用于固支加筋方板在均布沖擊載荷作用下的相似問題，通過數值模擬驗證了該方法的有效性。徐坤等分析了應變率效應對沖擊載荷下結構響應相似律的影響，并通過Taylor碰撞試驗驗證了VSG間接相似法修正效果。姜正榮等考慮應變率效應對單層網殼的沖擊相似問題進行了研究，通過仿真驗證了VSG法的有效性。包杰等以VSG作為基本物理量，針對應變率效應提出了一種改變縮比模型沖擊質的修正方法，并將該修正方法應用于船舶-自升式海洋平臺的碰撞分析中。胡晨晞以LST(幾何尺寸、應力、時間)為基本物理量，結合間接相似法針對桿件提出了改變質量的修正方法，用來補償應變率效應的影響。秦健和張振華考慮材料畸變和應變率效應的影響，研究了加筋板結構在水下爆炸沖擊波作用下的相似問題，利用數值模擬驗證了VSG材料畸變相似法的修正效果。蘇子星和何繼業考慮了應變率效應和材料畸變，對方板原型和2種不同材料的縮比模型進行了數值模擬，驗證了VSG-D法的有效性。Sadeghi等利用一組連續介質力學的輸運方程，提出了有限相似法，指出修正因子可以通過對數值方程加以條件約束來獲得。在有限相似方法的基礎上，Sadeghi等通過引入Johnson-Cook本構方程，考慮了材料屈服、應變硬化、應變率效應、熱軟化和材料失效對縮比模型預報的影響。王帥等利用DLV(密度、幾何尺寸、沖擊速度)代替VSG體系，通過建立應變率區間上縮比模型與原型的動態相似關系，利用直接相似的方法獲得了修正速度或修正密度的比例因子，并研究了材料應變率敏感性特征參數、參考應變率、屈服應力、密度在動態相似關系中的作用。

在眾多影響因素中，應變率效應是造成相似關系失衡的主要原因。然而，目前使用最廣泛的VSG-D相似方法也未考慮材料應變率動態變化，因此縮比模型沖擊響應預報結果修正方法仍有改進空間。本文針對縮比模型預報原型沖擊響應出現偏差的問題提出了考慮應變率動態變化的損失函數法，在已知原型和縮比模型的幾何尺寸及材料的情況下，利用損失函數法能夠更好地補償應變率效應造成的誤差，進而準確預報原型的沖擊響應。

1 縮比模型沖擊響應預報結果修正方法

1.1 應變率效應對相似關系的影響

表1 各物理量的量綱Table 1 Dimensions for relevant variables

定義幾何相似因子為

(1)

式中:下標m表示縮比模型，p表示原型。在傳統的MLT體系中，常常利用單一的幾何相似因子來聯系縮比模型與原型，其他物理量的相似因子可以通過量綱分析給出，如表2所示。

通過表2可以得到縮比模型與原型的流動屈服應力關系：

(2)

式中：為流動屈服應力。

應變率關系：

(3)

假設材料的本構方程為

(4)

將式(3)代入式(4)有

(5)

表2 MLT體系中各物理量的相似因子

顯然，式(5)與式(2)矛盾。說明當應變率滿足相似關系時，縮比模型與原型的流動屈服應力之比不再等于1，而是隨著幾何相似因子和應變率的變化而改變，如圖1所示。

圖1 縮比模型與原型的流動屈服應力之比隨應變率及相似因子的變化Fig.1 Variation of ratio of flow yield stress of the scaled model and to that of the prototype with strain rate and scaling factor

1.2 考慮應變率效應后的相似關系

為了解決這個問題，現選取密度、幾何尺寸、沖擊速度作為基本物理量，由π定理，可求得

(6)

縮比模型由原型按照幾何相似因子進行縮放，與式(1)同理，定義

(7)

將式(7)代入式(6)得到DLV體系中各物理量的相似因子如表3所示。

從表3可以得到縮比模型與原型的流動屈服應力關系:

表3 DLV體系中各物理量相似因子

(8)

應變率關系:

(9)

將式(9)和式(4)代入式(8)中，得到通過縮比模型預報的原型流動屈服應力為

(10)

當原型和縮比模型的幾何尺寸及材料確定，即和為常數時，不同應變率下流動屈服應力預報值與原型實際值的誤差可以表示為關于的函數，即

(11)

現取()作為權函數，對式(11)在整個應變率區間內加權積分，可以得到整個應變率區間內流動屈服應力預報值與原型實際值的整體誤差隨變化的損失函數，即

(12)

(0)=min()

(13)

1.3 縮比模型沖擊響應預報結果修正步驟

當幾何相似因子和材料密度相似因子已知時，通過式(13)可以求得滿足最小整體誤差條件的速度相似因子，修正過程如下：

1) 確定相似因子和。

2) 通過仿真確定原型關鍵位置的應變率變化區間[,]。

3) 運用式(11)～式(13)計算得到速度相似因子。

4) 利用速度相似因子修正縮比模型的沖擊速度，同時更新表3中變形和接觸力等物理量的相似因子。

5) 進行縮比模型試驗，得到縮比模型的變形和接觸力等數據，利用表3中的相似因子計算原型沖擊響應。

2 不同本構方程下的損失函數

2.1 Norton-Hoff本構方程

Norton-Hoff本構方程為

(14)

(15)

當原型和縮比模型的幾何尺寸及材料確定，即，，，為常數時，利用式(13)可以得到滿足最小整體誤差條件的。

2.2 Johnson-Cook本構方程

忽略塑性硬化和溫度的影響，考慮簡化后的Johnson-Cook本構方程為

(16)

(17)

當原型和縮比模型的幾何尺寸及材料確定，即、、、為常數時，存在使流動屈服應力預報值與實際值的整體誤差最小。

2.3 Cowper-Symonds本構方程

Cowper-Symonds本構方程為

(18)

式中：為與材料應變率相關的參數，代入式(12)可得損失函數

()=

(19)

當原型和縮比模型的幾何尺寸及材料確定，即、、、、為常數時，存在使縮比模型預報的流動屈服應力與原型實際值隨應變率的變化趨于一致。

3 常用本構方程下不同方法精確度對比

假定幾何相似因子=1/10，縮比模型和原型材料相同，材料實際應變率區間為[0 s, 2 000 s]。 現選用3種常用的本構方程，對比不同方法修正后縮比模型對原型流動屈服應力的預報精度。

3.1 Norton-Hoff本構方程

圖2 Norton-Hoff的相對流動屈服應力-應變率曲線Fig.2 Relative flow yield stress-strain rate curves predicted by Norton-Hoff

3.2 Johnson-Cook本構方程

由于VSG方法僅適用于冪指數形式的Norton-Hoff本構方程，這里僅對比VSG-D方法和損失函數法的精確度。參考1006鋼的材料參數，取=0.022。利用VSG-D方法解出= 1.027；利用損失函數法，代入式(13)可以求得=1.022。不同方法修正后縮比模型預報的相對流動屈服應力對原型的逼近效果如圖3所示。顯然當采用Johnson-Cook本構模型，且縮比模型和原型材料均為1006鋼時，與VSG-D方法相比，損失函數法修正后的縮比模型更能準確地預報出原型相對流動屈服應力隨應變率的變化。

圖3 Johnson-Cook的相對流動屈服應力-應變率曲線Fig.3 Relative flow yield stress-strain rate curves predicted by Johnson-Cook

3.3 Cowper-Symonds本構方程

由于VSG方法的局限性，同樣只給出VSG-D方法和損失函數法精確度的對比。參考Q235鋼的材料參數，取=40 s，=5，代入VSG-D方法解得=1.067；利用損失函數法，代入式(13)可以求得=1.194。不同方法修正后縮比模型對原型相對流動屈服應力的預報效果對比如圖4所示。不難看出，當采用Cowper-Symonds本構模型，且縮比模型和原型材料均為Q235鋼時，本文方法得到的縮比模型相對流動屈服應力隨應變率的變化與原型相符。當應變率為100 s時，本文方法預報誤差最大為5.1%，此時VSG-D相似方法的預報誤差為16.9%。隨著應變率的增加，VSG-D相似方法預報精度持續下降。當應變率為2 000 s時，VSG-D方法流動屈服應力的預報誤差達到23.5%，本文方法的預報誤差僅為3.8%。由此可見，利用損失函數法可以非常準確地預報出原型的相對流動屈服應力。

圖4 Couper-Symonds的相對流動屈服應力-應變率曲線Fig.4 Relative flow yield stress-strain rate curves predicted by Couper-Symonds

4 數值模擬及試驗驗證

為進一步驗證損失函數法對應變率效應畸變問題的修正效果，對受橫向沖擊的工字梁進行數值模擬及試驗，并比較不同方法修正后縮比模型對原型響應的預報誤差。

4.1 數值模擬算例

考慮圖5所示工字梁，梁原型長=175 mm，高=20 mm，翼緣寬度=40 mm，腹板厚度=4 mm。工字梁受橫向沖擊，其中落錘質量為16 kg， 初始沖擊速度為4 m/s，如圖6所示。

圖5 工字梁模型Fig.5 I-beam model

圖6 工字梁受橫向沖擊示意圖Fig.6 I-beam under transverse impact load

利用Ls-Dyna進行數值計算，落錘選用剛體材料MAT20進行模擬。縮比模型和原型均選用典型的應變率敏感材料Q235，材料模型選用MAT24。其中，MAT24材料以Cowper-Symonds 本構方程來考慮應變率效應，主要參數如表4所示。

表4 材料參數Table 4 Material parameters

計算得到原型和縮比模型的沖擊動態響應時歷曲線，不同方法修正后縮比模型對原型變形及接觸力的預報結果如圖7、圖8所示。從圖7(a)和圖8(a)可以看出，縮比模型預報的變形較小，接觸力較大，且峰值點時刻相對提前，與原型的沖擊響應之間存在明顯的差異。圖7(b)和圖8(b)是VSG-D方法修正的預報結果，可以看出VSG-D法在一定程度上減小了縮比模型的變形和接觸力與原型之間的差異，對應變率效應具有一定的補償作用。從圖7(c)和圖8(c)可以看到，當利用損失函數法進行修正時，縮比模型預報的變形和接觸力時歷曲線與原型基本吻合，相比于VSG-D法表現更好的修正效果。

圖7 原型和縮比模型的變形時歷曲線， 沖擊速度v=4 m/sFig.7 Deformation-time curves of prototype and scale model， v=4 m/s

圖8 原型和縮比模型的接觸力時歷曲線， 沖擊速度v=4 m/sFig.8 Collision force-time curves of prototype and scale model， v=4 m/s

表5給出了不同方法修正后變形和接觸力的峰值大小，圖9給出了不同方法修正后的預報誤差。結合表5和圖9可以看出，當相似比為1/10時，修正前縮比模型預報的變形和接觸力峰值誤差分別為6.1%和6.28%，利用VSG-D法修正后分別降為3.19%和3.36%，而利用損失函數法修正后，修正效果更顯著，誤差分別降到1.21%和1.49%，說明損失函數法表現出更好的修正效果。

表5 不同方法修正后誤差分析Table 5 Analysis of errors modified by different methods

圖9 不同方法修正后誤差對比Fig.9 Comparison of error modified by different methods

現考慮不同沖擊速度對預報精度的影響，設定落錘初始沖擊速度為20 m/s，對圖5所示的工字梁進行數值模擬。計算得到原型和縮比模型的沖擊動態響應時歷曲線，損失函數法修正前后縮比模型對原型變形及接觸力的預報結果如圖10、圖11所示。

圖10 原型和縮比模型的變形時歷曲線， 沖擊速度v=4 m/sFig.10 Deformation-time curves of prototype and scale model，v=4 m/s

圖11 原型和縮比模型的接觸力時歷曲線, 沖擊速度v=4 m/sFig.11 Collision force-time of prototype and scale model， v=4 m/s

通過對比損失函數法修正前后的變形和接觸力時歷曲線可以看出，對于受高速沖擊的結構，利用損失函數法同樣可以提高縮比模型的預測精度，減小預報誤差。

4.2 試驗驗證

為驗證損失函數法的準確性和仿真結果的可靠性，設定落錘初始沖擊速度為4 m/s，對工字梁原型和相似比為1/2的縮比模型開展了沖擊試驗，得到了沖擊變形特征與接觸力時歷曲線。其中，試驗和數值仿真的變形結果對比如圖12所示。

圖12 試驗與仿真的變形結果Fig.12 Deformation results of test and simulation

圖13給出了原型和縮比模型的試驗結果，可以看出未修正的縮比模型接觸力時歷曲線與原型之間存在明顯的差異，峰值點時刻也相對提前。利用損失函數法修正后，縮比模型與原型的時歷曲線吻合度明顯提高，峰值點時刻以及接觸力峰值也基本一致。

圖13 原型和縮比模型的接觸力試驗結果， 沖擊速度v=4 m/sFig.13 Collision force-test results of prototype and scale model, v=4 m/s

表6給出了數值模擬與試驗的接觸力峰值誤差。從表中可以看出，試驗與仿真的誤差都未超過3%，可以認為仿真結果是有效的。結合試驗和數值模擬的結果來看，利用損失函數法可以有效地減小縮比模型的預報誤差，能夠較準確地預報原型的沖擊動態響應。

表6 接觸力峰值對比Table 6 Comparison of peak collision forces

5 結 論

1) 本文針對應變率效應的提出的損失函數法不受本構方程形式的限制，同時考慮了材料應變率的動態變化。需要指出的是，本文在推導損失函數法的過程中并未涉及到損傷破壞的相關參數。若材料在沖擊過程中產生損傷失效，本文提出的沖擊響應結果修正方法僅限于對材料的彈性和塑性變形階段給出高精度的響應預測結果，而不能用于產生破壞損傷之后的響應預測。

2) 對受橫向沖擊的工字梁開展了數值模擬和沖擊試驗，結果表明，相比于VSG-D方法，利用損失函數法可以非常準確地預報原型的變形和接觸力等響應數據。

3) 考慮到實際工程中一般選擇與原型相同的材料設計縮比模型，因此本文僅討論了同種材料構造的縮比模型沖擊響應預報結果的修正，對采用不同材料構造的縮比模型沖擊響應預報結果的修正還需進一步研究。