GeoGebra在高中回歸模型教學(xué)活動中的應(yīng)用探究

◎王新愛 李偉斌 （蘭州市第四中學(xué)，甘肅 蘭州 730050）

一、GeoGebra在高中回歸模型教學(xué)中的應(yīng)用價值

1.數(shù)學(xué)建模活動的概念

在高中階段數(shù)學(xué)課程中，數(shù)學(xué)建模活動是用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題現(xiàn)實生活中的實際問題，用數(shù)學(xué)語言概括抽象出問題，并用數(shù)學(xué)符號、語言表達(dá)問題，再用數(shù)學(xué)方法分析問題，構(gòu)建模型解決問題的過程.數(shù)學(xué)建模活動的主要環(huán)節(jié)大致可以概括為：了解問題的實際背景，提煉出數(shù)學(xué)問題；對問題進(jìn)行合理假設(shè)和簡化，找準(zhǔn)建模的核心問題；辨別問題類型，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具進(jìn)行推理運算，求解模型；分析檢驗結(jié)果，改進(jìn)模型；最終解決實際問題（圖1）.因此，數(shù)學(xué)建模活動是學(xué)生綜合運用所學(xué)知識、技能，以數(shù)學(xué)模型為載體，解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.

圖1

高中數(shù)學(xué)建模活動中的數(shù)學(xué)模型，從課程內(nèi)容的角度劃分可以分為很多類型，包括函數(shù)模型、方程（組）模型、不等式（組）模型、數(shù)列模型、立體幾何模型、解析幾何模型、向量模型、概率模型、統(tǒng)計模型等.本文所論述的回歸模型可以看作是函數(shù)模型與統(tǒng)計模型結(jié)合的一類綜合模型，建立回歸模型的方法是回歸分析，其基本步驟為：確定研究對象，明確解釋變量和預(yù)報變量；畫出兩個變量的散點圖，觀察它們之間是否具有相關(guān)關(guān)系（線性相關(guān)或非線性相關(guān)）；依據(jù)數(shù)學(xué)經(jīng)驗選定回歸方程的類型；運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法估計回歸方程中的參數(shù)；用殘差圖和相關(guān)指數(shù)分析模型，選定擬合效果最好的回歸模型類型，并運用回歸模型進(jìn)行變量預(yù)測.

2.數(shù)學(xué)建模活動在高中階段數(shù)學(xué)課程中的地位

新一輪基礎(chǔ)教育課程改革對于高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容進(jìn)行了安排，已將數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動單獨設(shè)為一個主題，凸顯了數(shù)學(xué)建模課程的重要地位.具體來看，新課標(biāo)課程的結(jié)構(gòu)安排，不僅在必修課程和選擇性必修課程中分別設(shè)置了數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動主題，而且在其他主題內(nèi)容中也相應(yīng)穿插了適應(yīng)于內(nèi)容的數(shù)學(xué)建模活動專題.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括以下六個方面內(nèi)容：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.在這六個學(xué)科核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)，具體表現(xiàn)在：在建模準(zhǔn)備階段，學(xué)生需要運用數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)以數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)實際問題，抽象提煉出數(shù)學(xué)問題，抓住核心問題完成模型的分析，確立模型類型；在建模建立階段，學(xué)生需要具備數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)，完成必要資料數(shù)據(jù)的收集與整理；在模型求解和檢驗階段，學(xué)生要具備良好的邏輯推理素養(yǎng)，用于探究和表述論證過程，完成相應(yīng)數(shù)學(xué)運算求解數(shù)學(xué)問題.因此數(shù)學(xué)建模問題往往具有綜合性強(qiáng)、系統(tǒng)性強(qiáng)、實踐性強(qiáng)、多學(xué)科融合等特點，是高中階段數(shù)學(xué)課程中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.

3.GeoGebra在高中回歸模型教學(xué)中的應(yīng)用價值

高中階段，數(shù)學(xué)建模活動以課題研究的形式開展，其難度大、周期長、要求高的特點，對教師的教學(xué)方法提出了新的要求，也對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提出了極高的要求.因此，教師將GeoGebra軟件創(chuàng)新性地運用于教學(xué)活動中，用以解決高中回歸模型教與學(xué)的困境，在這一環(huán)節(jié)中GeoGebra軟件就顯得很有價值.

GeoGebra是一款功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，教師在高中回歸模型的教學(xué)過程中，一方面可借助GeoGebra強(qiáng)大的運算功能，將教學(xué)過程中的一些非核心的問題，例如，整理數(shù)據(jù)、繪制圖形、邏輯運算等問題，交由軟件進(jìn)行輔助處理，可有效解決建模活動周期過長、學(xué)生計算量過大的痛點，增強(qiáng)教學(xué)活動的連貫性，提高課堂教學(xué)效率和學(xué)生學(xué)習(xí)效率.另一方面，GeoGebra使用簡單，交互性強(qiáng)，學(xué)生經(jīng)過簡單學(xué)習(xí)就可以完成大部分操作.因此，教師將其作為學(xué)生學(xué)習(xí)活動中認(rèn)知、探究數(shù)學(xué)問題的一種工具，可以有效解決數(shù)學(xué)建模課程中部分學(xué)生參與度不高，興趣不強(qiáng)的問題，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提升動手實踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識和科學(xué)精神.

二、GeoGebra在回歸模型教學(xué)活動中的應(yīng)用舉例

“水溫變化”問題是高中函數(shù)模型教學(xué)過程中的一個經(jīng)典問題，在人教版新舊兩個版本教材中都有不同形式的呈現(xiàn).在舊版教材中該問題作為一個開放性的探究內(nèi)容，放置于信息技術(shù)應(yīng)用板塊，而在新版教材中，該問題加入了中國茶文化的背景，介紹了建立函數(shù)模型的詳細(xì)過程.對比發(fā)現(xiàn)，兩版教材中所建立的函數(shù)模型是不同的.因此，教師可將該問題稍加改編，得到一個回歸模型教學(xué)的絕佳案例.

中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感

我們直接利用教材提供的數(shù)據(jù)：

時間／min 0 1 2 3 4 5水溫／℃85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10

設(shè)茶水溫度從85℃開始，經(jīng)過min后的溫度為℃.新版教材建立的函數(shù)模型（后簡稱模型一）為＝60×0.9227+25（≥0），該函數(shù)模型本文不再加以詳細(xì)論述，后文將直接引用.本文將以舊版教材選擇的函數(shù)模型（后簡稱模型二）＝e+（≥0）的建立過程為例，具體探討一下GeoGebra在回歸模型教學(xué)活動中的應(yīng)用.

1.GeoGebra在模型準(zhǔn)備過程中的應(yīng)用

學(xué)生會有這樣的生活常識：一杯熱茶放置于室溫中，其溫度變化程度與放置時間有關(guān).在建模活動中，教師輔助學(xué)生利用計算機(jī)、數(shù)據(jù)收集器、溫度傳感器等信息技術(shù)工具收集水溫變化數(shù)據(jù)，利用GeoGebra繪制時間和茶水溫度的散點圖（圖2），可以發(fā)現(xiàn)，時間和茶水溫度具有非線性相關(guān)關(guān)系.現(xiàn)實生活中，影響茶水溫度的變量有很多，為簡化模型，做出如下兩點假設(shè)：假設(shè)室溫一直保持不變?yōu)?5℃；假設(shè)茶水置于室溫空氣中，任一時刻茶水溫度（℃）對時間（min）的變化率只與該時刻茶水和室溫成正比，與其他因素?zé)o關(guān).

圖2

圖3

2.GeoGebra在模型建立過程中的應(yīng)用

將上式變形為ln（-25）＝+ln，利用GeoGebra繪制以和ln（-25）為坐標(biāo)的散點圖（圖3）.可以看出，數(shù)據(jù)取對數(shù)以后基本滿足線性關(guān)系，因此得到時間和溫度的對數(shù)線性模型.

3.GeoGebra在模型求解過程中的應(yīng)用

在GeoGebra中選擇雙變量回歸分析，在回歸模型中選擇線性，對上述對數(shù)線性模型求解得ln（-25）＝-0.0791+4.0784（圖4），變形即可解得函數(shù)模型為＝e+25（≥0）.在此過程中，如還有必要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，教師也可給學(xué)生提供關(guān)鍵數(shù)據(jù)，讓學(xué)生練習(xí)運用最小二乘法計算求解相關(guān)參數(shù).

圖4

4.GeoGebra在模型檢驗過程中的應(yīng)用

圖5

通過上述過程可以看出，教師借助GeoGebra解決回歸模型問題非常簡便高效，學(xué)生可直觀詳細(xì)地觀察建立回歸模型活動的各個環(huán)節(jié).

三、GeoGebra在回歸模型教學(xué)活動中的應(yīng)用思考

在傳統(tǒng)的回歸模型教學(xué)活動中，學(xué)生不僅要快速學(xué)習(xí)理解諸多新概念，還要進(jìn)行大量的作圖與計算工作，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中總感覺“被牽著鼻子走”，學(xué)習(xí)不夠深入，參與感不強(qiáng).GeoGebra的引入，完全可以解決學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中遇到的這些難題，讓學(xué)生將更多精力放到教學(xué)活動的主線內(nèi)容，去繁就簡，把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).教師可采取翻轉(zhuǎn)課堂、對分課堂等多種教學(xué)模式，讓學(xué)生在GeoGebra平臺上進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，主動參與到建模活動的各個環(huán)節(jié)，引領(lǐng)學(xué)生完成深度學(xué)習(xí)，獲得有意義的學(xué)習(xí)過程，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和實踐能力的發(fā)展.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)要注重信息技術(shù)和課程內(nèi)容的深度整合，應(yīng)用信息技術(shù)實現(xiàn)知識生活化，提高教學(xué)效率，在數(shù)學(xué)建模活動中，也應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生多使用信息技術(shù)完成課堂探究活動.同時，教師在教學(xué)中也要注意教學(xué)過程不可本末倒置，過于重視信息技術(shù)，而丟失了教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).上述回歸模型教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生經(jīng)歷建立回歸模型活動的全過程，在此過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).而借助GeoGebra等教學(xué)軟件，有些學(xué)生可能會不經(jīng)過任何分析與運算就能直接給出擬合函數(shù)，這顯然不符合本節(jié)課的教學(xué)目的，因此在實際教學(xué)過程中，教師要多加以引導(dǎo).

回歸模型活動要達(dá)到較好的預(yù)期效果，前期的準(zhǔn)備工作一定要充分.以上述案例為例，學(xué)生需要花一點時間進(jìn)一步理解一些物理學(xué)概念，了解一點高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，與同學(xué)合作完成數(shù)據(jù)的收集，也要熟悉一下GeoGebra軟件的相關(guān)操作方法.因此在活動準(zhǔn)備階段，教師要看實際情況給予學(xué)生足夠的幫助.