導數解決雙變量問題的研究

◎付賢民 （安徽省安慶市第一中學，安徽 安慶 246000）

運用導數解決雙變量問題時，不同的問題情境求解的思路存在較大差別.教師授課中應做好教學規劃，結合自身教學經驗，認真收集并匯總雙變量習題題型，針對不同題型篩選代表性習題，與學生一起分析解題思路，詳細地書寫解題過程.同時，教師通過教學方法的綜合運用以及教學過程中的針對性引導，加深學生印象，使學生把握不同習題題型的特點，在以后的解題中少走彎路，迅速找到正確思路.

一、等價轉化后運用導數求解

運用導數解答雙變量問題的常用方法為等價轉化.為確保轉化前后命題的等價性，為順利解題奠定堅實基礎，高中數學教師一方面為學生講解等價轉化的相關思路與方法，尤其通過具體例題的講解，使其掌握等價轉化的常用技巧.如，當學生遇到的習題較為抽象時，可先畫出相關草圖輔助分析，真正地吃透題意.另一方面，教師為更好地增強學生的聽課體驗，幫助其把握等價轉化的相關細節，迅速找到解題切入點，應注重圍繞具體例題在課堂上與學生進行互動.通過互動激活高中數學課堂的同時，教師可引導學生透過現象看本質，確保學生向著正確的方向思考，以達到順利獲取答案的重要目標.課堂上教師可圍繞以下習題展開教學.

該習題是存在性問題，并非恒成立問題，解題的關鍵在于對“（）≥（）”的正確理解.教師可以課堂上提出以下問題，采用一問一答的形式與學生進行互動：（1）怎樣理解“對所有的∈［1，2］，存在∈［0，1］使得（）≥（）”.（2）求解最值的方法有哪些？（3）當二次函數的對稱軸不確定時，該如何進行處理？課堂上教師應留給學生足夠的思考討論時間，而后提問學生代表，了解其對該題題意的理解程度，并通過列舉熟悉的函數，進一步加深學生的認識與理解.實際上，根據等價轉化的結論可知，該題只需滿足（）≥（）即可，將問題轉化為在給定區間求兩個函數的最小值問題.

當≤0時，（）＝（0）＝1，顯然-5≥1不成立，舍去；

二、代換參數后使用導數求解

運用導數求解雙變量問題是另一種比較重要的思路為通過從已知條件中尋求兩個參數之間的相等關系，從而有效地將另一參數代換掉，將問題轉化為一個參數的問題.眾所周知，學生在解決一個參數的問題上積累了相對較多的經驗，代換參數后化陌生為熟悉便不難進行作答.但是如何構建兩個參數的相等關系，這對學生的綜合能力要求較高.高中數學教學中為使學生掌握代換參數的處理方法，避免其在解題中走彎路.一方面，為學生總結代換參數的常用知識，使其在以后遇到類似問題能夠迅速地聯想到.如方程的兩根、函數的零點、函數的極值點等，都可以構建參數的相等關系.另一方面，為給學生留下更為深刻的印象，親身感受代換參數的具體過程，在頭腦中形成清晰的認識，應做好經典例題.教師應認真設計，在課堂上與學生一起剖析解題思路，而后預留空白時間要求學生書寫詳細的解題步驟，把握變換參數的關鍵.例如，課堂上與學生一起分析以下習題的思路：

A.5-3ln 2 B.3-4ln 2

C.3-5ln 2 D.5-5ln 2

題干出給出函數的極值點，實際上間接地告知了對應導函數這兩個根，即，是（）＝0的兩個根.但是如何尋找，的相等關系呢？學生對導函數的表達式進行整理發現兩個參數之積為定值，如此便不難將參數，轉化為一個參數，結合其取值范圍，求（）-（）的最小值.

解題點撥：遇到含有兩個極值點的問題應注重通過對函數進行求導將其轉化為方程的兩個根，運用韋達定理，使用其中一根表示出另一根，從而達到減少參數個數，化陌生為熟悉的目的.當轉化成熟悉的問題后，學生便可運用以往的解題經驗，靈活運用導數知識求出最終結果.

三、構造函數后使用導數求解

構造函數是運用導數解決雙變量問題的常用手段.但是大多數學生只知道構造函數，究竟如何具體問題具體分析，保證構造函數的合理性，使其更好地為解題服務，卻抓不住方法.教學實踐可更好地增強學生學習的自信心，使學生積累豐富的構造函數經驗.一方面，結合學生現有知識儲備，從學生熟悉的知識點入手列舉相關案例，使其認識到什么是構造函數以及構造函數的必要性，增強其運用構造函數解決問題的意識.另一方面，教師應設計合理的專題教學活動，結合學生的認知以及學習規律，先為學生講解難度相對較小的例題，而后逐漸加大難度，提高其聽課的心理體驗，更加有信心地克服難度更大的習題.當然為學生講解相關例題后，應注重預留專門的時間供學生討論、總結、整理課堂筆記，掌握適合運用構造方法解題的題型以及常用的構造思路.例如，課堂上教師要求學生認真回顧解決過程，對以下習題的解題方法進行總結：

∵（）＝e，（）＝ln，（）＝（）＝，

解題點撥：遇到求解指數、對數函數雙變量問題時，通常運用指數與對數運算法則進行相關的變形，構造出新的函數.運用導數研究新函數單調性，判斷出方程根之間的關系，而后通過巧妙代換，減少參數的個數，形成新的函數后再次使用導數知識分析其性質，求出其最值.

四、構建不等關系后使用導數求解

運用導數解答雙變量問題的思路并不唯一，既需要根據題干創設的情境進行合理的轉化，又需要運用所學構建相等或不等關系.其中當構建不等關系后常用的處理思路有：運用函數性質進行處理，運用基本不等式以及相關變形進行處理.高中數學教師為使學生掌握構建不等式以及運用導數解題的方法，一方面，與學生一起回顧不等式知識，并通過思維導圖地運用，將與之相關的知識點串聯起來，使學生切實打牢基礎，把握運用不等式的相關細節以及所注意的條件，避免以考慮不全面而得出錯誤的推理結果.另一方面，教師做好相關訓練習題的設計，給學生提供親自動手解題的機會，并要求學生認真審視自身的解題過程，把握解題中的不足，及時加以改正.教師還要鼓勵其將習題收錄到錯題本中，定期進行復習，為以后解題帶來提醒.如課堂上圍繞以下習題開展訓練活動：

五、總結

雙變量問題在高中數學中較為常見，相關習題難度較大，常作為壓軸題出現在各類測試中.根據以往經驗，運用導數解決雙變量問題的思路靈活多變，學生不易掌握.為使學生更好地掌握不同習題類型的破題技巧，促進其解答雙變量問題能力的提升，教師應做好經典例題的篩選與講解，尤其鼓勵學生做好聽課總結，總結用導數解決雙變量問題的有效思路.本文通過相關例題的講解，可得出突破雙變量問題的思路有：等價轉化、代換參數、構建函數、構建不等關系等.另外，為保證解題的正確性，教師還應牢固掌握各種函數的求導法則，尤其把握解題中的相關細節，即在進行轉化的過程中注意相關變量的取值范圍，確保其轉化前后的一致性.