柯西中值定理各元素分析及函數(shù)圖形驗證

◎郭 嘉 （集美大學(xué)航海學(xué)院，福建 廈門 361021）

1 引 言

羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱為微分學(xué)基本定理，它們應(yīng)用廣泛而又相互聯(lián)系.柯西中值定理是高等數(shù)學(xué)中最主要的定理之一，關(guān)于它的證明，可通過采用利用輔助函數(shù)的方法，并利用羅爾定理來證明.其證明中的難點在于構(gòu)造輔助函數(shù).柯西中值定理相對于拉格朗日中值定理更為抽象，部分初學(xué)者中不易掌握參數(shù)方程及輔助函數(shù)，對柯西中值定理沒有透徹地理解掌握，做題時也不能靈活應(yīng)用.這點教學(xué)教師也深有體會：“在微分中值定理的教學(xué)中，應(yīng)用其有效的幾何現(xiàn)象，通過幾何圖形直觀深入地探討其理論內(nèi)涵，并通過實例來說明定理的條件、結(jié)論、幾何解釋以及各定理間的聯(lián)系和應(yīng)用，特別是柯西中值定理在教材中沒有舉例說明，學(xué)生對參數(shù)曲線的柯西中值定理難以理解.”造成了學(xué)生在初學(xué)時對柯西中值定理的證明不易從原理上理解、掌握，有的學(xué)生只能通過死記硬背記住了“輔助函數(shù)”，以應(yīng)對可能考出來的證明柯西中值定理題目.為了初學(xué)者能夠透徹地掌握柯西中值定理，下面就從構(gòu)成定理的每一個元素的坐標(biāo)系、來源、作用、意義入手來分析定理.

2 柯西中值定理中的f（x），F(xiàn)（x），x，ξ四者的坐標(biāo)系分析

2.1 拉格朗日中值定理元素分析

拉格朗日中值定理的6個元素，，，（），（），（）都在一個坐標(biāo)系內(nèi)，，，同屬于自變量的范圍，即屬于坐標(biāo)系的橫軸；（），（），（）屬于坐標(biāo)系的縱軸.

2.2 柯西中值定理元素分析

同時，3個坐標(biāo)系的數(shù)據(jù)又是相互關(guān)聯(lián)的，即，坐標(biāo)系中，的值分別來自，坐標(biāo)系及，坐標(biāo)系.

2.3 利用拉格朗日中值定理推演柯西中值定理

建立新的坐標(biāo)系，橫坐標(biāo)為，即（），縱坐標(biāo)為，即（）.在［，］區(qū)間，根據(jù)拉格朗日中值定理（）-（）＝（）（-）可知，

2.3.1 中值定理式中的（），（）分別為新坐標(biāo)系的（），（）.

2.3.2 中值定理式中的，分別為新坐標(biāo)系的（），（）.

2.4 對于柯西中值定理，應(yīng)建立以下三個概念

2.4.2（），（）分別對應(yīng)于參數(shù)方程的（），（），（），（）分別對應(yīng)于參數(shù)方程的（），（），不可把幾個關(guān)系混淆，特別不可把，，，與混淆.

2.4.3（），（）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，此時的等同于

3 用函數(shù)圖形及實例函數(shù)驗證柯西中值定理

教材在講述和證明拉格朗日中值定理時，以圖形的形式予以了說明，而講述柯西中值定理時，沒有使用圖形，這就造成了從幾何意義和物理意義理解柯西中值定理有了困難.為了更好地理解柯西中值定理，這里先把拉格朗日中值定理的幾何意義、物理意義及圖形簡單表述一下.

3.1 拉格朗日中值定理的幾何意義及物理意義

3.1.1 拉格朗日中值定理的幾何意義

若連續(xù)曲線＝（）在（，（）），（，（））兩點間的每一點處都有不垂直于軸的切線，則曲線在、間至少存在一點（，（）），使得該曲線在點的切線與割線平行，如圖1所示.

圖1 拉格朗日中值定理幾何意義圖Fig.1 The geometric meaning of Lagrange′s mean value theorem

3.1.2 拉格朗日中值定理的物理意義

3.2 用圖形分析柯西中值定理

根據(jù)上部分?jǐn)⑹觯獜膱D形上理解柯西中值定理，需要在3個坐標(biāo)系內(nèi)畫圖，即（1）在，坐標(biāo)系畫出，（）圖形，（2）在，坐標(biāo)系畫出，（）圖形，（3）在，坐標(biāo)系畫出（），（）圖形.

用拉格朗日中值定理圖形變換后的柯西中值定理圖形：

根據(jù)上文“2.3”表述，將拉格朗日中值定理原圖形中的，分別用（），（）代替；（），（）分別用（），（）代替；坐標(biāo)軸，分別用（），（）代替；橫坐標(biāo)用（）代替，，，點的坐標(biāo)分別為（（），（）），（（），（）），（（），（）），柯西中值定理的幾何圖形如圖2所示.

圖2 柯西中值定理幾何意義圖Fig.2 Cauchy mean value theorem geometric meaning diagram

教材中柯西中值定理中的（），（）分別對應(yīng)于參數(shù)方程的（），（），（），（）分別對應(yīng)于參數(shù)方程的（），（）.

3.3 用一個實例函數(shù)圖形來進(jìn)一步分析驗證柯西中值定理

3.3.1 建立實例函數(shù)：

取兩個常見的函數(shù)：

2）與參數(shù)方程等價的普通方程：＝.

3）參數(shù)方程分別對求導(dǎo)：

（）＝e，（）＝2e.

3.3.2 取值并驗證

令＝0，＝5，則（0）＝1，（5）＝e，

（0）＝1，（5）＝e 10.

3.3.3 分別畫出3個函數(shù)的圖形（注：為了有效展示圖形走勢，軸、軸數(shù)值比例不等于1：1），如圖3、圖4、圖5所示.

圖3 參數(shù)方程x＝et圖形Fig.3 Parametric equation x＝et graph

圖4 參數(shù)方程y＝e2t圖形Fig.4 Parametric equation x＝e2t graph

圖5 與參數(shù)方程等價的普通方程圖形Fig.5 Graphs of ordinary equations equivalent to parametric equations

4 并不一定存在同一個ξ，使得拉格朗日中值定理在兩個參數(shù)方程及與參數(shù)方程等價的普通方程中同時成立

初學(xué)柯西中值定理，極易對參數(shù)方程的及的與參數(shù)方程等價的普通方程的混淆，認(rèn)為是相等或者一致的，下面對其進(jìn)行分析驗證.

4.1 在x＝φ（t）（a≤t≤b）上應(yīng)用拉格朗日中值定理

4.2 在y＝ψ（t）（a≤t≤b）上應(yīng)用拉格朗日中值定理

4.3 式中的ξ1與ξ2不一定相等

根據(jù)4.1與4.2的計算結(jié)果可知：≠.

4.4 在與參數(shù)方程等價的普通方程上應(yīng)用柯西中值定理

4.5 結(jié)論

4.5.1 根據(jù)以上計算結(jié)果可知：≠≠，即參數(shù)方程及與參數(shù)方程等價的普通方程在（），（），（），（）相同的情況下，各自滿足拉格朗日中值定理的不一定相等.

4.5.2 盡管≠≠，但柯西中值定理成立時的一定是來自（）、（）函數(shù).此時當(dāng)＝時，（），（）（≤≤）函數(shù)上應(yīng)用拉格朗日中值定理不一定成立.

5 結(jié)束語

柯西中值定理和拉格朗日中值定理是一元微分學(xué)中最常用的兩個工具，有很廣泛的應(yīng)用，如泰勒公式的證明、洛必達(dá)法則的證明、求極限等.中值定理是連接函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的橋梁，教材中要求掌握中值定理的證明也是研究生考試大綱范圍，且有過真題.2009年碩士研究生考試數(shù)學(xué)一卷第18題（11分）就考查了拉格朗日中值定理證明：“證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)（）在［，］上連續(xù)，在（，）可導(dǎo)，則存在∈（，），使得（）-（）＝（）（）.”本文通過對柯西中值定理的組成元素分析，及采用實例函數(shù)圖形的直觀表達(dá)，對柯西中值定理的證明有了另一個角度的理解，有利于學(xué)生更深入地掌握及靈活應(yīng)用柯西中值定理.