梯度調(diào)整機制下量子Cournot模型的動力學分析

朱 唯 唯

(蘭州交通大學 數(shù)理學院， 甘肅 蘭州 730070)

20世紀末，量子博弈論[1]的出現(xiàn)形成了量子信息和量子計算的一個新的應用領域，為經(jīng)濟學的研究提供了新的思路和方法。量子博弈論是由Meyer最早提出的，他利用“翻硬幣”實驗指出兩個玩家在進行博弈的時候，實施量子策略的那個人會一直保持贏的狀態(tài)。Eisert等[2]在“囚徒困境”游戲中發(fā)現(xiàn)，玩家采取量子策略會使得模型出現(xiàn)新的平衡點。2002年，李卉等[3]首次把量子糾纏引入到連續(xù)策略空間的經(jīng)典Cournot寡頭博弈中，通過Hilbert空間把每一個經(jīng)典策略都去對應某一個量子態(tài)，提出了經(jīng)典的Li-Du-Massar量子計劃，表明量子糾纏可以使得非合作的企業(yè)變成合作關系，企業(yè)在納什均衡點所取得的利潤會隨著量子糾纏水平的提高而提高。量子博弈也被廣泛應用于其他經(jīng)典經(jīng)濟模型的研究，Shi等[4]研究了在等彈性需求函數(shù)下的量子Cournot模型，主要借助理論知識分析了在Li-Du-Massar量子計劃和Frackiewicz量子計劃下企業(yè)的利潤變化；Zhou等[5]研究了多個玩家的古諾博弈模型，表明量子糾纏會使得玩家的利潤將達到最優(yōu)；Frackiewicz[6]利用Li-Du-Massar量子計劃說明了企業(yè)之間的量子相關性會擴大Stackelberg雙寡頭模型中的先動優(yōu)勢。

上述研究都是靜態(tài)經(jīng)濟博弈模型，靜態(tài)模型只是一種瞬時狀態(tài)，不能反映企業(yè)戰(zhàn)略隨時間變化的過程。在動態(tài)的經(jīng)濟博弈中，企業(yè)的管理者很難收集到對手以及市場有用的全部信息，不能做出完全理性的決策。在這種市場情況的限制之下，很多學者在經(jīng)濟模型中會假設企業(yè)是有限理性的，并且對于企業(yè)來說考慮有限理性是具備優(yōu)勢的。Agiza等[7]發(fā)現(xiàn)使用時滯有限理性的企業(yè)有更高的機會達到納什均衡。Elsadany[8]通過理論與數(shù)值結(jié)合的方法研究其模型的平衡點及穩(wěn)定性，說明了系統(tǒng)會通過雙路徑分岔進入混沌。路正玉等[9-10]假設企業(yè)決策制定者都是有理性的，通過理論和數(shù)值的方法研究了所建立模型的穩(wěn)定性以及動力學特征。朱彥蘭等[11-12]研究了有限理性下的動態(tài)經(jīng)濟模型。田英楠等[13]在量子背景下考慮了具有異質(zhì)理性期望的Cournot模型。

本文假設企業(yè)都選擇梯度調(diào)整機制，建立了有限理性下量子Cournot雙寡頭動態(tài)博弈模型，研究Nash均衡點處的局部穩(wěn)定性以及分岔導致的混沌行為，討論在不同參數(shù)之下企業(yè)量子決策的演化過程。

1 模型的建立

考慮一個雙寡頭古諾博弈模型，具體來說，假設目前市場上存在生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的兩家企業(yè)，它們以這種產(chǎn)品每期的產(chǎn)量進行競爭。此外，假設這種商品在t時期的市場價格和產(chǎn)量之間符合線性關系

p=a-b(q1(t)+q2(t))

(1)

式中：q1(t)，q2(t)表示t時期企業(yè)1和企業(yè)2的產(chǎn)量；a，b都為常數(shù)且都大于0。假設用線性函數(shù)來表示單位成本與產(chǎn)量之間的關系：

Ci=ciqi,i=1,2

(2)

式中：ci表示單位成本，且a>ci>0。則公司i的單期利潤可表示為

∏i(q1,q2)=pqi-Ci,i=1,2

(3)

(4)

(5)

式中：x1>0和x2>0分別表示企業(yè)1和企業(yè)2的量子決策。

在得到關于市場的基本參數(shù)表達式后，把式(4)和式(5)代入式(3)中得到兩家企業(yè)的量子利潤：

(6)

再將企業(yè)1和企業(yè)2的利潤函數(shù)對x1和x2分別求偏導，得出企業(yè)1和企業(yè)2的邊際利潤為

(7)

假設每家企業(yè)并不完全了解市場需求，只能通過對邊際利潤的估計來對市場做出反應。企業(yè)根據(jù)局部利潤做出決策的方法可以表示為

(8)

式中：αi(qi)為大于0的函數(shù)。如果αi(qi)=viqi，i=1,2，就可以得到差分方程

(9)

(10)

式中：vi為企業(yè)i的調(diào)整速度。

2 平衡點的局部穩(wěn)定性

令xi(t+1)=xi(t)，則系統(tǒng)(10)的平衡點可以通過求解下面代數(shù)方程組得到

(11)

下面4個點都為系統(tǒng)(10)的平衡點

為了使得平衡點有經(jīng)濟意義，E0，E1，E2，E*必須滿足非負性，因此參數(shù)要滿足

(12)

對系統(tǒng)(10)的兩個方程分別求x1和x2偏導數(shù)可得出其雅可比矩陣為

(13)

利用雅可比矩陣(13)求解平衡點處的特征值，從而分析得出與平衡點相關的局部性質(zhì)。

命題1E0=(0,0)為不穩(wěn)定結(jié)點。

證明：雅克比矩陣(13)在E0處為

(14)

證明：矩陣(13)在E1處為

(15)

證明：由于E1和E2在實數(shù)平面R2關于對角線對稱，兩個平衡點有著相似的局部性質(zhì)，因此對命題3的證明過程不再贅述。

從經(jīng)濟學的角度來說，E0表示兩家企業(yè)的產(chǎn)量都為0，說明兩家企業(yè)已經(jīng)走向破產(chǎn)。E1和E2表示其中一家公司的產(chǎn)量為0，說明市場中剩下的那家企業(yè)對商品進行了壟斷。納什均衡點E*是每家企業(yè)為了達到利益最大化形成的一種非合作的博弈策略組合，保持持續(xù)的穩(wěn)定會有利于企業(yè)利潤的增加。由平衡點的表達式不難發(fā)現(xiàn)，E*的表達式相比其他平衡點比較復雜，這種情況下，繼續(xù)利用求取特征值的方法判別其局部穩(wěn)定性比較困難，利用Jury判據(jù)來具體分析E*的局部穩(wěn)定性。

命題4：均衡點E*是局部漸進穩(wěn)定的，當且僅當下面的參數(shù)條件成立。

(16)

式中：A=c1-c2，B=2c1-c2-a，C=2c2-c1-a，D=a-c1，E=a-c2。

則矩陣J(E*)的特征多項式可表示為

F(λ)=λ2-Tr[J(E*)]λ+Det[J(E*)]=0

(17)

其中：Tr[J(E*)]為J(E*)的跡，J(E*)為J(E*)的行列式。

利用上面給出的表達式，Jury判據(jù)就可以寫成下面3個不等式

(1)F(1)=1-Tr[J(E*)]+Det[J(E*)]>0；

(2)F(-1)=1+Tr[J(E*)]+Det[J(E*)]>0；

(3)Det[J(E*)]-1<0。

式中：F=a-c1-c2;H=c1c2。

只有當系統(tǒng)(10)的參數(shù)同時滿足Jury判據(jù)的3個條件時，系統(tǒng)在點E*處才會是穩(wěn)定的。只要參數(shù)不滿足其中一個條件，系統(tǒng)就會通過某種分岔由穩(wěn)態(tài)進入不穩(wěn)定態(tài)。

3 數(shù)值模擬

利用雅可比矩陣特征值和1之間的關系以及Jury判據(jù)的3個充分條件，研究了4個平衡點的局部穩(wěn)定性。參數(shù)只有在Jury判據(jù)所確定參數(shù)空間的局部區(qū)域內(nèi)取值時，點E*才會是穩(wěn)定的。理論分析提供了平衡點穩(wěn)定與否的條件，在平衡點失去穩(wěn)定性后的動力學行為可以用數(shù)值模擬來做進一步分析。

圖1中右側(cè)的顏色分布圖依次代29個不同周期，黑色代表超過30的周期，白色代表系統(tǒng)在經(jīng)過無數(shù)次迭代后收斂到無窮遠處而形成逃逸軌跡。位于參數(shù)空間(γ,c1)右下角的棕綠色區(qū)域表示納什均衡點的穩(wěn)定域，它是一個一條邊彎曲的三角形，從圖中可以看出穩(wěn)定域的大小受參數(shù)v2所影響。對于單位成本c1或者量子糾纏度γ，固定其中一個參數(shù)，另外一個參數(shù)總是會影響系統(tǒng)的動力學行為。糾纏度和單位成本的取值對于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響是相反的。具體來說，較低的成本對于企業(yè)之間更有競爭力，并且企業(yè)之間的糾纏度越高市場可能越穩(wěn)定。

(a)v2=0.572 (b)v2=0.75 圖1 關于γ和c1的雙參圖

圖2(a)展示出系統(tǒng)失去穩(wěn)定性只能通過flip分岔這一種方式。圖2(b)是圖2(a)在區(qū)域[0.5,1.5]×[0.5,1.5]的放大圖，在圖中可以觀察到有V形的周期島嶼嵌入到黑色指示的擬周期區(qū)域，這些周期島嶼就是Arnol’s舌。企業(yè)1和企業(yè)2的量子策略隨著v1的變化趨勢如圖2(c)所示，其中v2=0.752，其余參數(shù)與圖2(a)中的參數(shù)相同。從圖中可以發(fā)現(xiàn)隨著v1的增加企業(yè)1和企業(yè)2的量子策略先處于納什均衡穩(wěn)定態(tài)，經(jīng)歷一系列flip分岔序列最終進入混沌態(tài)。圖2(d)是對應圖2(c)的一維最大Lyapunov指數(shù)圖。在這組參數(shù)之下Lyapunov指數(shù)圖等于0處對應系統(tǒng)發(fā)生的第一次flip分岔、第二次flip分岔等。可以發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)進入混沌之后Lyapunov指數(shù)的值會再次小于0，這說明系統(tǒng)在進入混沌之后會再次進入周期態(tài)。單參圖、雙參圖都說明調(diào)整速度取值越大，系統(tǒng)越不穩(wěn)定，所以在實際的市場環(huán)境中調(diào)整速度不能超過其闕值，否則市場將進入不確定的混亂狀態(tài)。

(a)關于v1和v1的雙參圖 (b)區(qū)域[0.5,1.5]×[0.5,1.5]放大圖

(c)單參圖 (d)最大Lyapunov指數(shù)圖圖2 調(diào)整速度對量子策略的作用

圖3展現(xiàn)了關于企業(yè)1調(diào)整速度的一維分岔圖。從圖3(a)中可以發(fā)現(xiàn)企業(yè)的量子策略在通過分岔進入混沌之后會再次進入穩(wěn)定的周期7環(huán)，通過分岔形成7種“周期泡”，意味著企業(yè)的量子策略會經(jīng)歷震蕩穩(wěn)定的狀態(tài)。圖3(c)中企業(yè)的量子策略進入混沌狀態(tài)之后會進入穩(wěn)定的周期5環(huán)，經(jīng)歷flip分岔進入混沌。觀察圖3(a)和圖3(c)發(fā)現(xiàn)較大的調(diào)整速度使得企業(yè)的量子策略先發(fā)生分岔進入不穩(wěn)定態(tài)。圖3(a)和圖3(c)中γ的取值為0.342 2，圖3(b)和圖3(d)中γ的取值為0.43，與圖3(a)和圖3(c)相比，在圖3(b)和圖3(d)中企業(yè)的量子策略會先從穩(wěn)定態(tài)分岔進入不穩(wěn)定態(tài)。說明在這組參數(shù)下，隨著量子糾纏γ的增加，系統(tǒng)越不穩(wěn)定，出現(xiàn)分岔的可能性越大。

(a)v2=0.53，γ=0.342 2 (b)v2=0.53，γ=0.43

(c)v2=0.65，γ=0.342 2 (d)v2=0.65，γ=0.43圖3 單參圖

圖4展示了向內(nèi)吸引的焦點演化為混沌吸引子的動力學過程。圖4(a)中系統(tǒng)經(jīng)過多次演化最終的狀態(tài)為向內(nèi)吸引的5周期焦點。隨著參數(shù)v1的演化，5周期焦點通過Neimark-Saker演化成為5個閉不變環(huán)。當v1增加到1.247時，5個閉不變環(huán)會破裂形成周期態(tài),也就是“鎖相”，其形狀沒有發(fā)生變化。當v1的值增加為1.25時，吸引子重組將最終演化成為圖4(d)中“梭”狀的混沌吸引子。演化過程可以得出系統(tǒng)會通過Neimark-Saker分岔會最終進入混沌態(tài)。

(a)v1=1.245 (b)v1=1.247

(c)v1=1.247 (d)v1=1.25圖4 一組吸引子的演化

在非線性動力系統(tǒng)中選定不同的幾個初值，系統(tǒng)會收斂于幾個不同的解，出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)運動，說明初值選擇對于系統(tǒng)迭代行為軌跡有著極其重要的影響。把v1的值固定在圖5(a)中虛線v1=1.377附近，選取與圖4不同的初值，觀察其吸引子共存的現(xiàn)象。圖6中黃色區(qū)域表示系統(tǒng)收斂到黑色吸引子的初值集合，藍色區(qū)域表示系統(tǒng)收斂到紅色吸引子的初值集合，綠色區(qū)域表示系統(tǒng)收斂到無窮的初值集合。圖5(a)中發(fā)現(xiàn)若初值選取在黃色區(qū)域，系統(tǒng)的軌跡會收斂到黑色的8周期吸引子；初值選取在藍色區(qū)域，系統(tǒng)的迭代軌跡會收斂到紅色的6周期吸引子。隨著v1的增加，選取在黃色區(qū)域和藍色區(qū)域的初值都會分別收斂到圖5(b)中的黑色和紅色的混沌吸引子。此外，系統(tǒng)由圖5(a)演化到圖5(b)黃色區(qū)域和藍色區(qū)域都在逐漸增大。

(a)v1=1.376 (b)v1=1.384圖5 共存吸引子及其吸引盆

4 結(jié) 語

通過引入量子糾纏使得企業(yè)由獨立競爭變成相互合作，在這種背景下假設兩家企業(yè)都選擇梯度調(diào)整機制來制定雙方的量子決策，建立了梯度調(diào)整機制下量子寡頭動態(tài)博弈的模型。企業(yè)的調(diào)整速度會通過影響進入混沌的方式來影響系統(tǒng)的動力學行為；擁有較低成本的企業(yè)所具有的市場競爭優(yōu)勢越大；量子糾纏對于控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著重要的影響，這種影響取決于對參數(shù)的選擇。此外，系統(tǒng)在演化的過程中所呈現(xiàn)出特殊的動力學行為包括：Arnol’s舌、多穩(wěn)態(tài)運動、flip分岔、Neimark-Saker分岔。