無線電能傳輸系統(tǒng)帶磁屏蔽任意位置矩形線圈的互感計算

李中啟 李 晶 全倡輝 張學(xué)毅 黃守道

無線電能傳輸系統(tǒng)帶磁屏蔽任意位置矩形線圈的互感計算

李中啟1,2李 晶1全倡輝3張學(xué)毅3黃守道2

（1.湖南工業(yè)大學(xué)交通工程學(xué)院 株洲 412007 2.湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 長沙 412008 3. 湖南工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 株洲 412007）

互感是無線電能傳輸系統(tǒng)的一個關(guān)鍵參數(shù)，在電動汽車線圈耦合機(jī)構(gòu)中添加磁屏蔽材料，可以有效減少磁泄漏，增強(qiáng)線圈之間的互感。目前還沒有方法計算帶磁屏蔽任意位置矩形線圈之間的互感。為此該文基于雙傅里葉變換和麥克斯韋方程組推導(dǎo)了帶磁屏蔽條件下的磁通密度。并在此基礎(chǔ)上，利用空間直角坐標(biāo)變換法，得到了任意相對位置兩個矩形線圈的互感計算式。與傳統(tǒng)的近似計算方法不同，所提出的方法是計算互感的解析方法，可以對線圈間互感進(jìn)行精確的數(shù)值求解。最后，以兩個具有多種位置變化情況的矩形螺旋線圈為例進(jìn)行了模型驗證，互感的理論計算值和有限元仿真結(jié)果及實驗結(jié)果吻合良好，驗證了所提方法的有效性。

無線電能傳輸 矩形線圈 互感計算 磁屏蔽

0 引言

無線電能傳輸（Wireless Power Transfer, WPT）系統(tǒng)由于其便利性、可靠性和安全性等優(yōu)點[1-3]，被廣泛應(yīng)用于電動汽車[4-6]、軌道交通[7]、消費電子[8]、醫(yī)療器械[9]、水下供電[10-11]和自動化制造裝備等領(lǐng)域[12-13]。然而，在實際應(yīng)用過程中，初級線圈和次級線圈之間不可避免地會現(xiàn)位置偏移情況，導(dǎo)致線圈之間的互感發(fā)生變化[14]，從而導(dǎo)致效率降低和輸出電壓波動[15]。因此，研究互感隨線圈位置變化的規(guī)律具有重要意義。

在WPT系統(tǒng)中，常用的傳輸線圈是圓形線圈或矩形線圈。其中關(guān)于兩個圓形線圈間的互感計算方法已經(jīng)有大量文獻(xiàn)研究，這些工作分別基于近似公式[16-17]、蘭布達(dá)函數(shù)[18]、貝塞爾和斯特魯夫函數(shù)[19-20]以及Biot-Savart定律[21-22]。然而，從實際的角度來看，具有兩個矩形線圈的WPT系統(tǒng)在某些情況下更為必要和實用，因為在發(fā)生偏移時，矩形線圈比圓形線圈的互感波動更小。盡管這樣，關(guān)于矩形線圈的互感計算方法的研究仍然較少[23]。文獻(xiàn)[24]通過諾依曼公式，計算了同軸的兩個矩形線圈之間的互感。文獻(xiàn)[25]則利用Biot-Savart定律，提供了一種考慮線圈水平偏移和角度偏轉(zhuǎn)的互感計算方法。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[26-27]針對矩形線圈常見的相對位置變化情況，給出了對應(yīng)的互感表達(dá)式。文獻(xiàn)[28]將導(dǎo)線抽象為截面無窮小的理想線段，以任意位置兩根通電導(dǎo)線的互感計算式為基礎(chǔ)，解決了任意位置兩個矩形線圈的互感計算問題。文獻(xiàn)[29]從聶以曼公式入手，推導(dǎo)出了任意位置多邊形線圈互感的一般表達(dá)式。盡管這些研究已經(jīng)分析了線圈間相對位置各種變化情況，但是并沒有分析磁屏蔽層對線圈互感的影響，從已有研究可知，在WPT線圈結(jié)構(gòu)中添加磁屏蔽材料后，磁通路徑發(fā)生改變，使得非工作區(qū)的磁場強(qiáng)度減小，同時線圈間耦合得到增強(qiáng)[30]。文獻(xiàn)[31]基于二階矢量位，推導(dǎo)了帶磁屏蔽回折線圈阻抗的通用解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[32]則通過雙傅里葉變換建立了鐵磁板上矩形線圈的三維磁場解析模型。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[33]從傅里葉分析的擴(kuò)散方程出發(fā)，計算平行導(dǎo)體板上四個初級線圈與一個次級線圈在不同位置時的互感。文獻(xiàn)[34]利用傅里葉-貝塞爾變換和雙傅里葉變換，建立了雙邊帶磁屏蔽的兩個平行矩形螺旋線圈的互感解析模型，但是沒有考慮線圈間的相對位置變化情況。綜上所述，對于帶磁屏蔽任意位置矩形線圈的互感計算方法還有待進(jìn)一步研究。

本文建立了帶磁介質(zhì)矩形平面螺旋線圈在任意相對位置的互感解析模型。首先，利用傅里葉積分變量表達(dá)矩形線圈之間的磁場分布；其次，利用空間直角坐標(biāo)變換法和磁通密度法，求解磁介質(zhì)上任意相對位置的兩個單匝矩形線圈之間的互感；然后，將矩形螺線線圈近似為一組同心的單匝矩形線圈，利用疊加法推導(dǎo)了矩形螺線線圈的互感計算公式；最后，通過仿真與實驗驗證了所推導(dǎo)互感計算式的正確性。

1 矩形線圈常見的位置變化

初級線圈與次級線圈之間的互感與相對位置有關(guān)：當(dāng)兩線圈對稱分布且傳輸距離較近時，互感較大；當(dāng)兩線圈垂直分布且傳輸距離較遠(yuǎn)時，互感較小。事實上，兩個線圈的位置常常不是固定不變的。本文總結(jié)了矩形線圈常見的幾種位置變化情況，并針對每種位置變化情況，通過仿真與實驗對所得互感計算公式進(jìn)行了驗證。

矩形線圈常見的幾種位置變化如圖1所示。圖中Tx為初級線圈，Rx與分別為位置變化前與位置變化后的次級線圈。Tx與Rx同軸且不存在偏轉(zhuǎn)，屬于對稱分布。圖1b～圖1f中Tx與均屬于非對稱分布，其中包括水平偏移、水平角度偏轉(zhuǎn)、垂直角度偏轉(zhuǎn)、水平角度偏轉(zhuǎn)加偏移和垂直角度偏轉(zhuǎn)加偏移五種情況。圖1中線圈位置變化參數(shù)的符號及具體含義見表1。

圖1 矩形線圈常見位置變化示意圖

表1 線圈位置變化參數(shù)

Tab.1 The parameters ofcoils position variation

2 帶磁屏蔽矩形線圈互感計算

帶磁屏蔽的兩個矩形線圈示意圖如圖2所示，為了方便分析，將整個空間分為4個區(qū)間，其中區(qū)間2為厚度有限的磁介質(zhì)，代表線圈的屏蔽層，其余為空氣介質(zhì)。區(qū)間3的上表面與坐標(biāo)平面重合，1和2為初級線圈和次級線圈幾何中心的高度；、r和分別表示屏蔽層的厚度、相對磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率；1、2為初級線圈的半長與半寬，1、2為次級線圈的半長與半寬。與空芯矩形線圈模型不同，該模型里既存在i（入射磁通密度）又存在r（反射磁通密度）。其中i由流過初級線圈的電流產(chǎn)生，r則由磁屏蔽層中的感應(yīng)渦流產(chǎn)生。通常認(rèn)為區(qū)間3和區(qū)間4中只存在r，而區(qū)間1和區(qū)間2中既含有r也含有i[34]。

圖2 帶磁屏蔽矩形線圈的結(jié)構(gòu)

2.1 入射磁通密度

對于空氣中電流密度為的載流導(dǎo)體，其在任意點P（,,）處產(chǎn)生的磁矢位為[35]

為求解上述方程，使用雙傅里葉變換公式如下：

將式（1）代入式（3）可得

其中

根據(jù)式（1）中的磁矢位表達(dá)式，可以求出入射磁通密度i的表示為[36]

式（7）經(jīng)傅里葉變換可得

式中，符號“^”表示雙傅里葉變換運算。

把初級線圈等效為四段導(dǎo)線1、2、3和4，導(dǎo)線1、3與軸平行，導(dǎo)線2、4與軸平行。因此，磁矢位在軸方向上的分量a僅由導(dǎo)線1、3產(chǎn)生，而與導(dǎo)線2、4無關(guān)。根據(jù)式（5）得到a的表達(dá)式為

式中，a1、a3分別為導(dǎo)線1、3產(chǎn)生的磁矢位分量。

同理得到磁矢位在軸方向上的分量為

將式（9）、式（10）代入式（8）得到區(qū)間3和區(qū)間4的入射磁通密度可表示為式（11）～式（16）。

區(qū)間3（0≤＜1）有

區(qū)間4（≥1）：

2.2 反射磁通密度

2.2.1 區(qū)間2

區(qū)間2為線圈的磁屏蔽層，根據(jù)麥克斯韋方程組可以得到關(guān)系式

將式（17）、式（18）代入式（3）可得

根據(jù)式（19）可設(shè)區(qū)間2的反射磁通密度的垂直分量為

聯(lián)立式（21）、式（22）可以得到2rx、2ry與2rz的關(guān)系式為

2.2.2 區(qū)間1、區(qū)間3和區(qū)間4

區(qū)間1、區(qū)間3和區(qū)間4為空氣介質(zhì)所在區(qū)域，根據(jù)麥克斯韋方程組可以得到關(guān)系式

式中，=1,3,4。

同理，將式（25）和式（26）代入式（3）可得

根據(jù)線圈無窮遠(yuǎn)處的磁通密度為零、式（27）可以得到區(qū)間1、區(qū)間3和區(qū)間4中反射磁通密度的垂直分量為

式中，1rz、3rz和4rz為待定系數(shù)，且3rz=4rz。

聯(lián)立式（28）和式（32），得到rx、ry和rz之間的關(guān)系為

2.3 邊界條件

根據(jù)電磁場邊界條件：若分界面處不存在自由面電流，則磁通密度的法向分量和磁場強(qiáng)度的切向分量在分界面的兩側(cè)保持連續(xù)，即和在0和2平面上連續(xù)，其中/，由此得到

聯(lián)立式（11）～式（13）、式（21）、式（23）、式（29）、式（30）、式（33）和式（35）可得

將式（14）～式（16）和式（31）～式（34）代入式（5）進(jìn)行傅里葉逆變換，得到區(qū)域4中的磁通密度為

2.4 空間直角坐標(biāo)變換

空間內(nèi)同一點在不同直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)之間的關(guān)系，稱為空間直角坐標(biāo)變換。對式（39）～式（41）運用空間直角坐標(biāo)變換可以得到任意直角坐標(biāo)系下的磁通密度，進(jìn)而得到任意相對位置的兩個矩形線圈之間的互感。將空間直角坐標(biāo)變換分為移軸變換、轉(zhuǎn)軸變換和一般坐標(biāo)變換。

（1）移軸變換：若原坐標(biāo)系沿軸、軸和軸分別平移D、D和D后得到新坐標(biāo)系，則P點的原坐標(biāo)（,,）與其新坐標(biāo)（,,）滿足關(guān)系式

（2）轉(zhuǎn)軸變換：若新坐標(biāo)系是通過原坐標(biāo)系繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度后得到，則P點的原坐標(biāo)（,,）與其新坐標(biāo)（,,）滿足

同理可得

式中，為坐標(biāo)系繞軸旋轉(zhuǎn)的角度；為坐標(biāo)系繞軸旋轉(zhuǎn)的角度。

（3）一般坐標(biāo)變換：指既包含移軸變換又包含轉(zhuǎn)軸變換的坐標(biāo)變換。若原空間直角坐標(biāo)系在移軸變換的基礎(chǔ)上，先后繞軸、軸和軸旋轉(zhuǎn)角、角和角后得到新坐標(biāo)系，則

2.5 互感計算

通過磁通密度計算線圈之間互感的公式[37]為

式中，為次級線圈所圍的區(qū)域；為初級線圈的電流。

聯(lián)立式（39）～式（41）、式（46）和式（47）可得任意相對位置帶磁心的單匝矩形線圈的互感計算式為

式中，4ix、4iy、4iz、4rx、4ry和4rz可由式（14）～ 式（16）和式（36）～式（38）得到。

多匝矩形螺旋線圈如圖3所示，矩形螺旋線圈可以近似為一組同心的單匝矩形線圈。根據(jù)疊加原理，兩組同心的單匝矩形線圈之間的互感可以表示為

式中，Np、Ns分別為初級線圈和次級線圈的匝數(shù)；Mmn為第m匝初級線圈和第n匝次級線圈間的互感。

3 仿真與實驗

仿真在Ansys Maxwell 15.0有限元工具上進(jìn)行，仿真模型如圖4所示。實驗采用文獻(xiàn)[19]中使用的測量方法，在非磁性的木桌和亞克力框架上進(jìn)行，實驗裝置如圖5所示，初級線圈端設(shè)有尺寸66cm×66cm、厚1.5cm的鐵氧體塊作為磁屏蔽板，阻抗分析儀用于測量電感，其電流頻率為 85 kHz。

圖4 仿真模型

圖5 實驗裝置

互感測量實驗原理如圖6所示，圖中T和R分別表示Tx和Rx的自感。圖6a中，線圈同相連接，線路兩端的電感為1=T+R+2，圖6b中，線圈反相連接，線路兩端的電感為2=T+R-2。因此，Tx和Rx之間的互感=|1-2|/4。

圖6 互感測量實驗原理圖

仿真和實驗過程中，初級線圈與磁屏蔽層保持不動，線圈間相對位置的改變由調(diào)整次級線圈來實現(xiàn)。圖7為線圈位置變化的實驗?zāi)Ｐ汀＞€圈和磁屏蔽的參數(shù)見表2。

圖7 線圈位置變化實驗?zāi)Ｐ蛨D

表2 線圈與磁屏蔽參數(shù)

Tab.2 Parameters of coil and magnetic shields

3.1 垂直偏移

圖1a為線圈發(fā)生垂直偏移的示意圖。當(dāng)線圈以步長10mm發(fā)生垂直偏移，線圈的傳輸距離（次級線圈與初級線圈幾何中心的垂直距離）從100mm增加到180mm時，線圈的互感見表3。表3中，1表示仿真誤差，2表示實驗誤差，兩者表達(dá)式為

式中，c為本文所得互感計算公式得到的互感計算值；s為互感仿真值；e為實驗測量值。

表3 垂直偏移時的互感值及誤差

Tab.3 Mutual inductance for vertical misalignment

根據(jù)表3，可以看到，傳輸距離從100mm變化到180mm的過程中，仿真誤差1均小于2%，實驗誤差2均小于3%，計算結(jié)果與仿真及實驗結(jié)果基本保持一致。圖8所示為表3對應(yīng)的互感變化曲線。圖8中，互感隨著傳輸距離的增大而逐漸減小，這是因為線圈間的耦合磁鏈隨著傳輸距離的增大而減小，從而導(dǎo)致了線圈間的互感變小。過程中，仿真誤差

圖8 垂直偏移時互感變化曲線

3.2 水平偏移

圖1b為發(fā)生了水平偏移的矩形線圈。當(dāng)線圈的傳輸距離為80mm，次級線圈沿軸以步長10mm發(fā)生水平偏移，偏移量從0mm增大到70 mm時，線圈的互感見表4。

表4 水平偏移時的互感值及誤差

Tab.4 Mutual inductance for horizontal misalignment

根據(jù)表4，可以看到，水平偏移量從0mm變化到70mm的過程中，仿真誤差1均小于2%，實驗誤差2均小于3%，計算結(jié)果與仿真及實驗結(jié)果基本保持一致。圖9所示為水平偏移時對應(yīng)的互感變化曲線。

圖9 水平偏移時互感變化曲線

圖9中，互感隨著水平偏移量的增大而迅速減小，這是因為線圈間重合的區(qū)域隨著增大而減小，從而導(dǎo)致線圈之間的耦合減少。

3.3 水平角度偏轉(zhuǎn)

圖1c為發(fā)生了水平角度偏轉(zhuǎn)的矩形線圈。當(dāng)傳輸距離為80mm，水平偏轉(zhuǎn)角度從0°增大到90°時，線圈的互感見表5。根據(jù)表5，可以看到，水平偏轉(zhuǎn)角度從0°變化到90°的過程中，仿真誤差1均小于1%，實驗誤差2均小于2%，計算結(jié)果與仿真及實驗結(jié)果吻合良好。圖10所示為表5對應(yīng)的互感變化曲線。圖10中，從0°變化到90°而互感基本恒定，這是因為變化前后幾乎重合，耦合磁鏈變化很小，從而導(dǎo)致線圈間互感基本不變。

表5 水平角度偏轉(zhuǎn)時的互感值及誤差

Tab.5 Mutual inductance for horizontal deflection

圖10 水平角度偏轉(zhuǎn)時互感變化曲線

3.4 垂直角度偏轉(zhuǎn)

圖1d為線圈發(fā)生垂直角度偏轉(zhuǎn)的示意圖。實驗分析了傳輸距離為80mm，偏轉(zhuǎn)角度從0°增大到90°時互感的變化情況，互感計算值、仿真值與實驗測量值的結(jié)果及誤差分析見表6。

根據(jù)表6，可以看到，垂直偏轉(zhuǎn)角度從0°變化到90°的過程中，仿真誤差1均小于1%，實驗誤差2均小于4%，計算結(jié)果與仿真及實驗結(jié)果保持一致。圖11所示為水平角度偏轉(zhuǎn)時對應(yīng)的互感變化曲線。

表6 垂直角度偏轉(zhuǎn)時的互感值及誤差

Tab.6 Mutual inductance for vertical deflection

圖11 垂直角度偏轉(zhuǎn)時互感變化曲線

圖11中，當(dāng)＜45°時，隨著的增大互感變化較小；而當(dāng)＞45°時，磁鏈隨著增大急劇減小，從而導(dǎo)致了互感的急劇減小。

3.5 水平角度偏轉(zhuǎn)加偏移

圖1e為線圈發(fā)生水平角度偏轉(zhuǎn)加偏移時的示意圖。傳輸距離為80 mm，水平偏轉(zhuǎn)角分別為15°和45°的矩形線圈，在沿軸方向發(fā)生偏移時的互感見表7。從表7可以看出，在偏移量從-40mm變化到40 mm的過程中，仿真誤差均小于1%，實驗誤差均小于2%，計算結(jié)果與仿真及實驗結(jié)果吻合良好。圖12所示為水平角度偏轉(zhuǎn)加水平偏移情況對應(yīng)的互感變化曲線。圖12中，15°和45°時互感的變化曲線基本重合，說明水平角度偏轉(zhuǎn)對線圈互感的影響不大，線圈互感主要受水平偏移影響，與圖9、圖10的結(jié)論一致。

圖12 水平角度偏轉(zhuǎn)加偏移時互感變化曲線

表7 水平角度偏轉(zhuǎn)加偏移時的互感值及誤差

Tab.7 Mutual inductance for horizontal deflection with horizontal misalignment

3.6 垂直角度偏轉(zhuǎn)加偏移

圖1f為線圈垂直角度偏轉(zhuǎn)加偏移的位置變化示意圖。表8給出了傳輸距離為80mm，垂直偏轉(zhuǎn)角分別為15°和45°的矩形線圈在發(fā)生偏移時的互感值。由表8可得，在偏移量從-40mm變化到40mm的過程中，仿真誤差均小于1%，實驗誤差均小于3%，計算結(jié)果與仿真及實驗結(jié)果基本保持一致。圖13所示為垂直角度偏轉(zhuǎn)加偏移情況對應(yīng)的互感變化曲線。圖13中，15°曲線和45°曲線存在交叉，因為線圈在此處垂直偏轉(zhuǎn)15°后的磁鏈與垂直偏轉(zhuǎn)45°后的磁鏈相等，互感相等。當(dāng)≤-10mm時，45°的互感大于15°；當(dāng)垂直偏移量在＞-10mm時，15°的互感大于45°。15°曲線在=0時取得最大值，而45°曲線在=-20mm時取得最大值。

圖13 垂直角度偏轉(zhuǎn)加偏移時互感變化曲線

表8 垂直角度偏轉(zhuǎn)加偏移時的互感值及誤差

Tab.8 Mutual inductance for vertical deflection with horizontal misalignment

4 結(jié)論

本文推導(dǎo)了磁屏蔽環(huán)境中的任意位置矩形螺旋線圈之間互感的解析模型。該模型基于雙傅里葉變換和麥克斯韋方程組，求解了次級線圈所在區(qū)間的入射磁通密度和反射磁通密度，然后利用空間直角坐標(biāo)變換法，得到了任意位置帶磁屏蔽矩形線圈的互感計算式。分析了兩個矩形線圈在多種位置變化的情況，互感的計算值、仿真值和實驗測量值具有良好的一致性，并且各種誤差均小于5%，充分說明了本文所推導(dǎo)的互感計算公式的正確性。研究結(jié)果為帶磁屏蔽的無線電能傳輸系統(tǒng)提供了線圈設(shè)計和參數(shù)優(yōu)化的理論依據(jù)，對接下來雙邊帶磁屏蔽層情況的研究也具有一定借鑒意義。

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Mutual Inductance Calculation of Arbitrarily Positioned Rectangular Coils with Magnetic Shielding in Wireless Power Transfer Systems

Li Zhongqi1,2Li Jing1Quan Changhui3Zhang Xueyi3Huang Shoudao2

（1.College of Transportation Engineering Hunan University of Technology Zhuzhou 412007 China 2. College of Electrical and Information Engineering Hunan University Changsha 412008 China 3. College of Electrical and Information Engineering Hunan University of Technology Zhuzhou 412007 China）

Mutual inductance is a key parameter of the wireless power transfer (WPT) system. Themagnetic leakage can be reducedand the mutual inductance between coupling coils can be enhancedby adding the magnetic shielding for the electric vehicle. However, there is currently no method to calculate the mutual inductance between arbitrarily positioned rectangular coils with magnetic shielding. In this paper, the magnetic flux density of coils with magnetic shielding is derived by the Dual Fourier transform and Maxwell's equations. On this basis, the mutual inductance of two arbitrarily positioned rectangular coils is obtained by applying the spatial rectangular coordinate transformation method. The obtained method is different from the traditional approximate calculation method. It is an analytical method that can accurately numerically solve the mutual inductance between coils. Finally, the mutual inductance calculation formula is verified by two rectangular spiral coils with various position changes. The calculated results are in good agreement with the simulated and experimental results, which verifies the effectiveness of the proposed method.

Wireless power transfer, rectangular coils, mutual inductance calculation, magnetic shielding

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211293

TM724

國家自然科學(xué)基金（11901188）、湖南省教育廳項目（20B186, 18A272）和湖南省自然科學(xué)基金（2019JJ60066）資助。

2021-08-15

2021-12-16

李中啟 男，1985年生，博士，助理教授，研究生導(dǎo)師，研究方向為無線電能傳輸技術(shù)。E-mail：my3eee@126.com

黃守道 男，1962年生，博士，博士生導(dǎo)師，研究方向為特種電機(jī)本體及控制、無線電能傳輸技術(shù)。E-mail：hsd1962@hnu.edu.cn（通信作者）

（編輯 郭麗軍）