基于熱力耦合變形的機床主軸公差建模方法研究

梁健偉,黃美發,2,唐哲敏,茍國秋

(1.桂林電子科技大學機電工程學院，廣西桂林 541004；2.廣西制造系統與先進制造技術重點實驗室，廣西桂林 541004)

0 前言

公差模型反映的是理想零件與實際零件的幾何差異，機床主軸作為機床系統最重要的零件，根據公差模型進行公差設計是其生產制造過程中必不可少的步驟。傳統的公差建模通常把零件視為剛性體，忽視零件因實際工況引起的微小變形對其功能要求的影響。實際上，機床主軸在工作過程中，不僅會受到軸承轉動摩擦引起的溫升變形，還會受到加工過程中由切削力引起的微小變形，最終導致機床主軸的工作性能無法滿足要求。

目前，基于零件剛性體的定義，楊將新等提出了基于裝配定位約束的公差規范設計，但分析的定位類型和定位信息有限。在此基礎上，QIN等提出了基于本體案例推理的計算機輔助公差規范設計方法，但這類研究均未考慮零件變形對公差設計的影響。為了使公差設計更符合工程實際，張為民等在利用Jacobian-Torsor(雅可比旋量)進行實際工況的建模時，考慮了靜力載荷的影響。BENICHOU、JEANG等研究了熱載荷引起的零件變形對公差分析的影響，分析了不同溫度場對零件局部變形與公差設計的關系。在此基礎上，JAYAPRAKASH等提出了考慮熱沖擊影響的機械產品的最佳公差設計方法。為了進一步研究，ZENG和RAO研究了機械產品實際工況的裝配偏差模型，應用ANSYS分析了零件因溫升引起的局部變形，通過Jacobian-Torsor建立了考慮變形的裝配偏差模型。

綜上所述，目前的研究大多只考慮了零件受熱變形的影響，忽視了機械負載的影響，或只考慮了靜力載荷的影響而忽略了工作溫度的影響。然而，機床主軸在工作過程中，同時受到溫度變化和機械負載的影響是典型工況。因此，研究一種基于熱力耦合變形的機床主軸公差建模方法。首先，根據主軸的實際工況，運用小位移旋量理論表達特征的幾何變動，并建立主軸原始幾何誤差的Jacobian-Torsor公差模型；其次，根據幾何變動修正Jacobian-Torsor公差模型，增加典型配合特征的公差變動表示模型；然后，利用ANSYS計算主軸在切削力與摩擦熱耦合作用下的變形量；最后，將結果引入修正的Jacobian-Torsor模型中，得到熱力耦合變形下的機床主軸公差模型。

1 主軸工況與變動表達

1.1 機床主軸的工況分析

根據ISO230—2標準，超精密機床與普通機床的主要區別是機械產品的加工精度不同。生產者對機床加工精度的影響因素不重視，難以保證精密機床的加工精度，導致機械產品的功能要求無法得到滿足。

本文作者主要針對型號為VMC850E的立式加工中心的主軸進行研究，如圖1所示。

圖1 VMC850E機床主軸

在主軸工作過程中，主軸前后軸承的摩擦熱會導致主軸溫升產生熱變形。主軸系統的主要熱源為軸承轉動的摩擦熱，同時，各零件裝配之間的接觸區域會產生熱傳導，導致與空氣接觸的零件表面產生熱對流。主軸在切削力、重力等作用下產生的局部微小變形即為力變形。刀具在加工時會產生主切削力和背向力及進給力，計算合力得到刀具承受的切削力為，最終通過力的傳導，使主軸受到切削力的作用。刀具受力分析如圖2所示。

圖2 刀具受力分析

主軸的溫升和機械負載對機床的加工精度影響最大，占機床加工誤差的70%或以上，這些誤差將直接影響機械產品的功能要求與質量。

1.2 特征變動的數學表示

如第1.1節所述，在實際工作過程中，由于工作環境的影響，最終會引起機床主軸產生變形，如何描述這些由環境因素引起的幾何變動，是熱力耦合變形下機床主軸公差建模的關鍵。

機床主軸的總體誤差經過與之裝配零件的幾何誤差傳遞與累積之后逐漸增大，最終影響功能要求與裝配要求。零部件的特征表面由點、線、面三要素組成，零件的變形可以認為是要素的位置、形狀和尺寸在三維空間中6個自由度的幾何變動造成的。用矩陣描述特征的變動，如式(1)所示：

(1)

式中:、、分別表示理想特征的坐標系沿著空間坐標系的、、軸的平移量；、、分別表示理想特征的坐標系繞著空間坐標系的、、軸的轉動量。考慮主軸實際工況的影響時，主軸系統發生微小變形如圖3所示，幾何特征的小位移變動用Δ表示。

圖3 刀具局部變形

一般來說，機床主軸在尺寸、位置和形狀上的變動是由實際工況中的摩擦熱和切削力引起的，對于切削力引起的幾何變動而言，變動的大小和方向是確定的，可用相應的旋量來表示由負載引起的偏差。由摩擦熱引起特征的幾何變動沿圓周成比例收縮或膨脹，可用空間六自由度非獨立的旋量表示該幾何偏差。

2 主軸的幾何變動數學模型

2.1 基于加工誤差的Jacobian-Torsor公差建模

公差建模的本質就是將公差域的邊界完整、準確地表述，其中包括公差的累積與公差的表示。利用Jacobian-Torsor理論建立的公差模型，是將小位移旋量與雅可比矩陣充分結合的幾何模型。Jacobian-Torsor能將零件層的功能要素FE(Functional Elements)與裝配層的功能要求FR(Functional Requirement)通過數學方法相互關聯。因此，將Jacobian-Torsor理論應用于公差領域，如式(2)所示：

=

(2)

以雅可比矩陣表示與之間的幾何關系：

=·…FE,-1·FE,

式中：代表裝配體中傳遞公差的配合特征個數；矩陣的表達式如式(3)所示：

(3)

(4)

(5)

式中：表示理想特征FE的旋量矩陣。文獻[10]建立了單一恒定類特征的公差旋量矩陣，以及特征變動域的約束，在此基礎上，增加一些典型配合特征的公差旋量矩陣，如表1所示。

表1 單一恒定類特征的公差旋量矩陣T

2.2 考慮實際工況的修正公差模型

主軸在實際加工過程中不斷受到切削力和摩擦熱的耦合作用，引起主軸產生微小變形，導致理想狀態下的公差模型無法反映主軸的真實情況。

為得到機床主軸在實際工況下相對真實的加工誤差，將實際工況引起的變形引入雅可比旋量公差建模。基于雅可比旋量的公差模型修正主要分為兩部分:將特征的理想坐標系修正為′；對影響整個機械產品的裝配功能要求進行修正。考慮主軸變形后，FE的形狀、位置和尺寸也隨之變化，如圖4所示，具體變動量在第3節中采用ANSYS進行計算。

圖4 特征變動后FE的變化

與雅可比矩陣相關的量也會產生相應的變化，如式(6)所示：

(6)

式中：、和分別表示幾何特征繞著理想坐標系的、、軸轉動的轉換矩陣。根據機器人運動學，可求得、和如式(7)所示，其中Δ、Δ、Δ分別表示幾何特征繞著、、軸的微小轉動角度。

(7)

投影矩陣的逆矩陣修正如式(8)所示：

(8)

(9)

(10)

將式(6)和式(9)代入式(3)即可獲得修正的雅可比旋量矩陣，最后將與式(10)所示的FE,′相乘，即可獲得熱力耦合變形下的雅可比旋量公差模型。

3 實例驗證

3.1 原始幾何誤差的主軸公差模型

以Jacobian-Torsor理論為基礎，建立主軸原始幾何誤差的公差模型。圖5所示為VMC850E加工中心的主軸初始公差規范。主軸是精密零件，對形位公差精度要求較高，現初步采用IT5的軸和IT6的孔。根據主軸與軸承的裝配要求及其工作時的回轉精度要求，結合標準GB/T 1184—1996，初步確定了主軸的圓柱度誤差和同軸度誤差，其他次要公差文中不作研究。

圖5 主軸系統初始公差規范

圖6中包含主軸、前軸承和后軸承3個零件，三者之間除了要保證主軸與軸承的裝配間隙，還要保證主軸的回轉精度。圖6中確定了主軸與軸承之間的接觸面，即主軸與軸承的和相關的，給出了各特征FE的坐標系；構造了裝配連接圖，便于建立圍繞FR的尺寸鏈；設(,)和(,)為接觸對，(,)為內部對，內部對與同軸度誤差有關，接觸對與尺寸公差和圓柱度誤差有關。是介于(，)之間的功能要求，即保證前軸承與后軸承公共軸線的徑向旋轉誤差。

圖6 功能表面和功能要求及fFE,i虛擬坐標系

令參考坐標系原點、、、均位于公差或接觸不確定性區域的中心，于是有(0,0,0)、(0,0,30)、(0,0,147)、(0,0,105)。根據Jacobian-Torsor理論，計算雅可比矩陣FE，如式(11)所示：

(11)

將式(11)中的FE，和FE,代入式(2)得到式(12)：

(12)

根據運動對所對應的特征，從表1中選取對應的小位移旋量矩陣，代入式(5)得到與功能要素微小變動相關的小位移旋量FE,，如表2所示。

表2 旋量相關信息

將相關矩陣代入式(12)，計算得到理想狀況下的裝配誤差如式(13)所示：

(13)

由式(13)可知，D2沿徑向方向的配合間隙變動范圍為[-0.092,0.092]mm，沿向的間隙變動范圍為[-0.122,0.122]mm，沿著徑向的轉動范圍為[-0.001 8,0.001 8]mm。在未考慮熱力耦合變形的影響時，主軸沿軸線方向的變動為0。

3.2 熱力耦合變形的計算

根據ANSYS精確計算主軸在切削力與摩擦熱耦合作用下的變形量，以獲得機床主軸實際工況下的公差模型。采用文獻[8]中的主軸模型(圖1)及對應的溫度變化，得主軸轉速為6 000 r/min，連續工作4 h內的溫度變化如表3所示。

表3 主軸系統溫度變化

此外，計算了6 000 r/min時主軸承受的切削力，根據主軸轉速計算切削速度，再根據文獻[11]的切削力計算模型，得主軸轉速為6 000 r/min時，切削力隨時間變化如表4所示。

表4 主軸承受的切削力

在ANSYS分析環境中，選用直接耦合的方式；在建模過程中，采用布爾運算的GULE(粘貼)命令，確保主軸的每個面和體都有各自的邊界且相互獨立。主軸系統的材料屬性根據表5進行定義，主軸和軸承采用的材料為40Cr，主軸端蓋、軸套、法蘭、防松螺母等采用45鋼。設置初始參考溫度為25 ℃，將主軸沿軸線方向的位移設為0。

表5 材料物理屬性

根據文獻[9]所述及文中仿真結果可知，熱變形誤差在機床主軸總誤差中占比最大，即溫度越高引起的主軸變形量越大。為了方便表示，圖6中用D1—D5定義了主軸的各個軸段。據表3可知，主軸工作到第150 min時，主軸承受的溫度最高，此時，主軸前軸承溫度為46.2 ℃、后軸承溫度為44.5 ℃，主軸承受的對應切削力為1 305.87 N。分析得到主軸的總變形量及主軸徑向和軸向的總變形量，如圖7所示，其他時間節點的主軸變形結果如圖8所示。

圖8 主軸變形量隨工作時間變化

由圖7(a)可知：主軸的溫升變形主要集中在軸承裝配的摩擦區域及軸肩等應力集中處，主軸的最大變形為0.137 mm，未產生摩擦溫升區域的變形量可忽略不計。由圖7(b)可知：整個主軸沿徑向軸的總變形量為0.081 6 mm，由圖7(c)可知：主軸沿軸方向的總變形量為0.012 8 mm，主軸前端面沿軸線方向的位移限制為0，因此軸方向最大應變發生在前后軸段。

圖7 主軸變形云圖

由圖8可知：主軸系統在0～60 min工作時間內，主軸摩擦溫升區域的徑向變形量逐漸增大；在60 min后，主軸徑向變形量在0.006 mm～0.008 mm之間，趨于穩定。在主軸工作第150 min時，主軸的總變形以及徑向方向的變形為最大值。在主軸的回轉過程中，相較于軸向變形而言徑向變形量更大，對于回轉體而言，特征沿著徑向的變動幾乎是一致的，故建模時只考慮主軸沿著徑向軸的變形量即可。

目前對主軸加工誤差的研究大多只考慮主軸的熱誤差，現以第150 min時的主軸工況為例，只考慮摩擦溫升而忽略切削力的影響時，主軸的總變形量為0.126 mm，與考慮熱力耦合影響的總變形量相比減少了0.011 mm。實際上，考慮主軸的切削力與摩擦熱耦合變形更符合實際工況。

3.3 熱力耦合變形的修正公差模型

根據第3.1節得到主軸原始幾何誤差的公差模型，引入第3.2節中主軸連續工作第150 min時的主軸熱力耦合變形量，得到修正的主軸Jacobian-Torsor公差模型。由于軸承和主軸是回轉體，主軸與軸承的轉動與變形均具有一致性，且主軸的徑向最大變形發生在摩擦區域D2和D4處。由圖8可知:局部坐標系、的徑向變形量Δ=0.007 91 mm，軸向變形量Δ=0.001 31 mm；局部坐標、的徑向變形量Δ=0.006 82 mm,方向的變形量Δ=0.002 14 mm。由于前軸承與D2的配合和后軸承與D4的配合具有一致性，只針對前軸承與D2的配合進行研究。

為保證實際工況下主軸與軸承安裝的徑向誤差，將上述主軸變形量引入理想公差模型中，對FE1和FE3進行修正，修正結果如式(14)所示：

(14)

(15)

在考慮熱力耦合變形的影響后，前軸承與D2沿著方向的配合間隙變動范圍為[-0.062 4,0.062 4]mm，沿著方向的變動范圍為[-0.112 9,0.112 9]mm，沿著徑向的轉動范圍為[-0.001,0.001]。考慮主軸的熱力耦合變形時，主軸沿著軸線方向發生膨脹，變動范圍為[-0.003 5,0.003 5]mm。

4 結論

以Jacobian-Torsor理論為基礎，研究了一種基于熱力耦合變形的機床主軸公差建模方法，建立了機床主軸的原始幾何誤差Jacobian-Torsor模型，增加了典型配合特征的公差變動表示模型，得到了基于熱力耦合工況下的主軸公差模型。

采用ANSYS計算熱力耦合變形量，驗證了主軸原始幾何誤差模型和考慮熱力耦合變形的主軸公差模型，結果表明：考慮實際工況的主軸公差模型更符合工程實際。