數形結合思想在小學數學教學中的應用探索

福建省霞浦縣沙江中心小學 江 峰

數形結合是小學數學教學中的一項重要數學教學方法。通過數形結合式教學可以促進學生對知識的理解和應用，而且學生利用直觀的“形”分析“數”的時候，促使學生對“數”有一個清晰的認識，有利于學生探知到“數”的本質。而在利用“數”研究“形”的過程中，有助于學生邏輯思維的提升。為此，在小學數學教學中應用數形結合思想，可有效促進學生數學能力與素養的發展。

一、由“形”講“數”

小學階段的學生認知能力尚處于發展變化中，且對事物的認識和理解都是先從具象到抽象，即需要通過直觀的感受或經驗來聯系抽象邏輯思維進行有序的思考。為此，教師在教學中，可以借助直觀的“形”，讓學生在形象思維的啟發下，通過觀察圖形的方式來感受理論知識。

1.利用數形結合，學習數學概念。

數學概念是體現數學本質，傳遞數學精神的源泉。所以，教師在教學理論概念的時候，可通過具象的“形”來突出數學的嚴謹性，讓學生在對概念進行理解的同時，整理出概念的抽象內涵以及外延，這對學生數學理論概念體系的整體構建都有重要的幫助。

例如，在蘇教版小學數學“小數”的學習中，學生們學習到了近似數。教師在要求學生表示近似數的時候，其末尾上面的0是不可以去掉的。而小數的性質中，說明了其末尾上的0，不論是添上還是去掉，數字的大小是不變的。但是學生卻很容易將兩者混淆在一起，為此，教師需要利用例子來引導學生找出近似值6.2與6.20之間的相同點和不同點，教師可以利用數形結合的方式來幫助學生理解兩者的區別。如圖，教師在數軸中表示出6.2與6.20的取值范圍，從而讓學生理解為什么6.20末尾的0不可以去掉，而且也能夠感受到6.20與6.2相比，前者更加精確。

教師在利用數軸為學生們講解的時候，學生可直觀形象的感受到近似數的理論意義，并且構造出小數近似值的模型，進而對小數位數的精確要求有了本質的理解與認識。

2.利用數形結合，提高解題能力。

由于小學階段的學生思維以具象思維為主，他們的抽象思維能力還在發育中。所以，在數學教學的時候，教師要將抽象的邏輯關系用具象的圖像來表示，以降低問題的難度系數，促使學生進行數學問題的有效轉化，讓解題思路變得清晰明了。

例如，在蘇教版四年級下，學生學習“運算律”的時候，教師向學生出示問題1935×2018-1934×2019，因為此題中的數字較大，如果直接來計算的話很容易出現運算錯誤。為此，學生可以采用乘法分配律的形式進行運算，但是在教師語言的點撥下，仍舊有部分學生無法理解其解題思路。為此，教師便以此題為背景，通過數形結合思想來進行教學，用圖形的方式提高學生對運算定律的理解與應用，進而使問題得到正確的解答。教師利用電子交互式白板向學生構建了下圖兩個長方形。

已知長方形ABCD與長方形AEFG，AB=2019，BC=1934，FG=2018，AG=1935。由上圖可知，AEHD是這兩個圖形重合的地方，為此，1935×2018-1934×2019此式子所求的結果可以轉化成這兩個圖形的面積差，也就是求解長方形DGHF與長方形EBCH之間的面積的差，從圖形中就可以直觀的發現，長方形DGHF與長方形EBCH寬的長度均為1，則兩個圖形的面積之差就應該是2018×1-1934×1=2018-1934=84。學生借助直觀圖形有效避免了繁瑣的運算步驟，同時也在數形轉化的過程中，體驗到求解問題思路的多樣化。

3.利用數形結合，提高探究意識。

在數形結合思想下，學生主要研究的就是數與形之間的關系，并在一些表述抽象、內容復雜或不能夠用文字語言解釋的問題求解中，就可以使用數形結合來充分展示問題，使原本抽象的問題變得簡單直接，這有助于調動學生對數學探索的興趣，培養學生的探究意識，同時也有利于學生數學思維水平的提升。

例如，學生在學習完分數加減法后，教師帶領學生一同探究一個與分數有關的經典問題。求解特殊分數加法算式：

在求解算式之前，教師需引導學生對算式進行分析，從中得出算式中兩個相鄰項之間存在倍數關系，前一項是后一項的2倍，那么這些存在固定倍數關系的分數在經過無限加后，其最終的答案應該是什么？在對此問題做深入探究的時候，教師便可以引入數形結合思想，啟發學生探究意識，促使學生通過圖形的幫助，得出算式結果，并感受到在數字運算中應用數形結合思想的便利性和直觀性。

如圖：

此問題中，教師借助數形結合中由數轉形的方式，促使學生探知到了分數加法的奧秘，同時也讓學生感受到了數學探究的樂趣。

二、以“數”帶“形”

1.利用數形結合，理解數學本質。

小學數學教學中，教師為了強化學生的數學核心素養，會引導學生通過對數的觀察感受算法所蘊藏的算理，從而展現計算的整個過程，讓學生在觀察和思考中理解數學本質。

例如，在小學數學探究性問題中，有一算式為：1+2+3+4+…98+99+100+99+98+…+4+3+2+1=（），在此問題的求解中，教師可利用數形結合思想引導學生用點陣圖的形式進行問題的探究和觀察，以獲取有效的解決方法。

如上圖所示，左邊圖片從高到低依次數，每一層的點數就代表這一層的數，則得出的算式應當為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。在將左邊圖片以順時針的方向旋轉至右圖，則得到正方形點陣圖，總點數就是10×10=100。將正方形圖從低向高沿折線數，就得到算式1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。通過觀察可知，兩題存在一定的求解規律，即都可以采用10×10=100來計算。在此教學中，學生們通過找出數字與圖形中的對應關系，進而探究出其中的規律，并從中感受到數學算理的本質。

2.利用數形結合，鍛煉邏輯思維。

數學教學中，學生在教師的引導下成功構建表象，然后通過邏輯思維求解形的問題，但是很少有學生能夠在求解過程中得出多種邏輯求解思路。但應用數形結合思想后，學生經歷了充足的思考，有效掌握了數的特點，并在探究中實現了多維分析與想象。再經過對比分析和有效歸納形成空間觀念，同時也提升了邏輯思維能力。

例如，蘇教版小學數學“三角形”的學習中，學生們學習到了求解三角形面積的公式，為了能夠讓學生們理解“同底高相等的三角形其面積是相等的”這一特征。教師展示了下圖。

圖中，教師要求學生先計算第一幅圖的三角形面積，并提出問題“一個三角形的底邊長為6，高為4，是否僅存在一個？如果還有其他的三角形它們在方格中又是怎樣呈現的呢？”經過學生們的討論得出后面的幾個三角形。并且每一個三角形的繪制都是在對比中完成。通過這一過程的學習，學生們對“同底高相等的三角形面積相等”這一特征有了明確的認識，這也為后續的幾何學習奠定了良好的基礎，同時也有助于學生數學核心素養的發展。

三、“數”“形”互化

1.通過數形互化，促使學生構建新知。

在蘇教版小學數學教材中，應用到數形結合思想的例題有很多，如在分數、小數算法的教學中結合數形對應的方式，促使學生感受并理解算理實質。還有在學習數學理論的時候，應用數形結合，可以幫助學生更好地掌握理論概念，同時在直觀的形的表示下，也促使學生加深了對抽象理論的認識，進而使新知的數學體系構建更加完善。尤其在小學高年級的教學中，學生所構建的新知不僅僅是教材中的理論知識，還會有從數學問題的求解與探究中得到的新知。

例如，有些行程問題、容斥問題等就可以利用圖形進行問題的分析和探索，在圖形的助力下，學生對問題有了深入的認識，并能夠自主完成關鍵步驟的探究和求解，同時也可以有效提煉出其中的新知，成功提高了課堂教學效率。再如，在小學數學學習中，學生學習到了很多數學理論，如數學長度單位、面積單位以及體積單位等。如果學生沒有一個較強的數感，對不同單位下的數量沒有一個清楚的認識，那么教師就要借助數形互化，幫助學生理解和提高學生的數感，從而完成新知的構建。比如，在教學1cm3的時候，教師可以通過形的對比和數的區分，讓學生理解1cm3、1dm3以及1m3的形的不同，使學生 能 夠 更 加 清 楚 地 區 分1cm3、1cm2、1cm在數的意義上的不同。首先，教師讓每個學生準備一塊橡皮泥，還安排學習小組共同準備六張10cm的正方形白板，而教師準備三個卷尺。工具準備完畢后，教師便讓學生們用橡皮泥捏一個邊長為1cm的正方體，學生們將捏好的形狀放在手心，成品極小。接著，教師要求學習小組將準備好的六張10cm的正方形白板拼接成一個正方體。學生們使用膠帶粘好后，各組展示成品，其正方體大小與橡皮泥的大小形成了鮮明的對比。白板拼接成的正方體的體積就是1dm3，這容易讓學生對1cm3與1dm3在形態上有清晰的認識。最后，教師又要求學習小組用三個卷尺到教室的角落處量出及畫出體積為1m3的正方體。學習小組回到座位后，自覺地對比1dm3與1m3的空間大小。為了能夠更加形象地展示1m3的空間大小，教師可以形象描述：“如果把人視作方塊的話，1m3的空間內能放十幾個人。”學生通過想象進而得到了1m3在空間上的大小概念。此刻，學生完成了有關于體積的新知構建。同理，教師為了能夠讓學生的抽象思維能力得到發展，還要引導學生認識1cm3、1cm2、1cm在數的意義上的不同。教師要求學生繼續拿出最初制作的1cm3的橡皮泥，隨后要求學生在白紙板上畫出邊長為1cm的正方形，還有一條長度為1cm的線段。單位的不同所代表的數的意義也不同。如果學生還沒有對此有充分的理解，那么教師可以在教室角落畫出1cm3的空間，再在地上用粉筆分別畫出邊長為1cm的正方形，還有一條長度為1cm的線段，對此仍舊存在疑惑的學生可以親自走到角落、方格內，踩在線段上感受，通過切身的真實感受加深對1cm3、1cm2、1cm數的意義的理解，進而完善關于數學單位的抽象認知。

2.通過數形互化，發展學生數學素養。

應用數形結合思想求解數學問題的時候，通過將精確的數與直觀的形有效結合在一起，使問題變得直觀簡單，讓學生對問題的求解思路變得更加清晰，促使學生在求解中實現高效深度思考，推進學生數學素養的發展。

例如，在蘇教版教學數學“圓”的學習中，學生們學習到了如何求解圓的面積。在進行面積公式的推導中，教師就可以采用數形結合思想，通過數形互化，促使學生探究出圓的面積公式，同時也讓學生的數學思維能力得到有效的發展。

教師利用交互式電子白板展示一個圓形。（1）將此圓平均分解成若干份，通過拼接得到一個四邊形，此四邊形近似于長方形。已知，此長方形的寬是9cm，求最初的圓的面積是多少？（如下圖）

（2）假設該圖形中的長方形長是26cm，求此圓的面積為多少？

（3）假設該圓的周長和拼接的長方形周長相比要差10cm，求該圓的面積是多少？

（4）假設拼接后的長方形已知其周長是70cm，那么該圓的面積是多少？

實踐證明，在上述四個問題串的練習下，學生對圓的公式有了進一步的認識和理解，同時學生對其面積推導的實質也有了明確的認知。此步驟的探究學習，促使學生在數的引導下成功提升了空間觀念，也讓學生的數學核心素養及綜合能力得到了培養與發展。

總之，“數形結合”思想對小學數學教學的價值不言而喻，所以教師還需積極探索，以借其力量，提升學生學習效益。