數形結合在小學數學解題中的運用策略探究

福建省三明學院附屬小學 廖加慶

數形結合具體指的是根據數形間的相應關系，通過有效轉化數形來進行問題解決的一項思維方式。新課程背景下的“數形結合”思想，貫穿整個小學數學教學。目的在于對學生邏輯思維能力的培養與提高。

一、數形結合在小學數學解題中運用的意義

教師在小學數學教學解題中運用數形結合的方式可以將數學問題通過圖形直觀地呈現出來，有利于學生探索空間的擴增，促使學生能夠由不同層級以及角度來開展邏輯思維活動。在進行數學問題解答時教師利用直觀的圖形來呈現出抽象的數量問題，可以讓學生更為清晰地掌握不同知識點間的邏輯關系，讓其更容易理解問題，并且可以引導學生利用掌握的知識以及學習經驗來進行分析與歸納，得到一個較為全面的解題思路，對于其解題效率以及質量的提升有著非常積極的現實意義。

二、數形結合在小學數學解題中的運用策略

1.運用數形結合使學生養成良好習慣。

良好的習慣是成功的一半。數形結合是我們在數學解題中最常用、最有效的思想方法。數形結合解題能力的培養也是我們數學教師課堂教學內容的一部分和努力的方向。如在教學“雞兔同籠”的過程中，我們采用假設法解題時，教師單純地用語言一直強調雞和兔兩個變量的變化，效果肯定不是很顯著，若用數形結合，通過學生想一想、畫一畫、再想一想、再畫一畫，幫助學生理解題目中雞和兔這兩個變量，從而引發學生的聯想，啟發孩子的思維，把化繁為簡、化難為易的思想方法深入孩子的心理，潛移默化中悟出畫圖方法的好處，感受到數形結合的優點，為學生良好的學習習慣奠定基礎。

2.運用數形結合來理解抽象概念。

因為在小學數學中許多概念都比較抽象，但是小學生因為生活經驗不足，且抽象思維受限，所以理解起來難度較大。因此教師可以合理滲透數形結合的方法理念，合理轉化圖形與數據，直觀地呈現出抽象的數學概念，提高學生的學習效率和解題能力。如在一年級上冊“認位置”學習過程中，教師可以設計以下幾個題目：①一年級小朋友在排隊，小明前后分別有3人與6人，總共有多少名學生在排隊？②有一些小朋友在排隊，由前到后數，小麗是第三位，由后往前數，她是第六位，排隊的小朋友一共有多少位？在解答題目①時，算式為3+6+1=10；解答題目②時，列出算式：3+6-1=8。在解答這兩道題時，較易導致學生思維混亂，分不清楚是要在什么時候“+1”，什么時候“-1”。所以教師能夠采取屬性結合的方法，把學生用圓圈代替，并在黑板上畫圖，讓學生能夠直觀地了解到什么時候“+1”，什么時候“-1”。通過數形結合的方法可以讓學生通過圖形掌握本質內容，將直觀地畫圓圈數數的方式呈現出排隊的問題，讓解題變得更為直觀與簡單。

3.運用數形結合來理解算理與算法。

因為數和形存在著非常密切的聯系，在學習數學運算定律時教師可以合理運用數形結合的方式來幫助學生理解運算定律，正確使用計算方法，直觀地呈現出抽象的數學概念。例如，在對“乘法分配律”進行教學過程中，在開展簡易計算估測中，一些學生使用乘法分配律往往會出現錯誤，并不會深究其原因，也沒能正確認知相應的算理。在小學階段，學生的思維由具體形象思維轉變為抽象思維，而在學習乘法分配律時存在一定的抽象性，所以學生學習起來存在一定難度，所以教師能夠利用屬性結合的方式，通過面積解題的方法來讓學生對運算定律有一個更深刻的理解。又如，“真分數與假分數”這部分內容的重點是加強學生對分數的認知，在此之前學生應掌握了分數的意義以及相關的內容，因為真假分數這一知識概念具有較強的抽象性，所以知識采取單純的講解教學難以獲得理想效果。所以教師可以運用數形結合的理念，引導學生聯系其直線上點以及圖形，利用“1”作為分解，讓學生對真分數與假分數進行判斷。不過在此過程中學生可能會出現認知上的偏差，所以，教師能夠引導學生回憶之前學習過的分數知識，隨后應用“面積模型”，采取畫陰影的方式來代表分數，這樣學生能夠更易于理解。

4.運用數形結合來建設動態圖形表征。

運用數形結合建設起相應的圖形表征，能夠讓學生在觀察圖形過程中將新舊知識充分融合起來，循序漸進地掌握算例，運用算法，獲得正確的解題思維，從而可以促使學生在解題、推理、假設以及驗證環節能夠自主理清思路，將相關知識內容有效聯系起來。例如在解答題目“小銘、小莉還有小紅一起吃相同蛋糕，其中每人吃了個，請問這三人總共吃了多少個？”通過問題來將算理分數與整數相乘引出，引導學生在自主思考以及運算推理中更好地掌握并優化解題步驟與方法，正確認識分數乘法的意義，并熟練運用相關計算法則。因為該道題中存在比較抽象的數量關系，學生難以展開深入的思考，所以教師能夠運用方格圖形來將問題結構直觀地呈現出來，減小解題難度，能夠讓學生根據自己掌握的知識經驗，經過思考、對比來對整數乘法有一個大致的理解。由此可以發現，抽象的數量關系能夠利用圖形直觀清楚地呈現出來，有利于學生能夠在實質上理解分數乘法，此時教師還可利用圖形來引導學生由圖形處理的層面逐步深入的聯系起分數乘法算式和圖形。教師通過提問“是否還有更為簡便的方法來計算出來引導學生將圖形表征有效結合起來。“每位同學分別吃了，也就是兩個，那么三位同學總共是吃了六個，所以這道題最終目的是要算出3×。不僅如此，教師還應當要引導學生對其運算所得的結果進行分析與參數，讓其能夠更為透徹地掌握解題步驟，了解題目中給出的已知條件，進而更好地掌握分數和整數乘法的意義所在。3×也就是將三個加起來，學生通過將加法向乘法算式轉換，并進行圖形分析能夠正常進行解答由此也更好地掌握了分數與整數相乘的意義。在解題過程中運用數形結合的思想要求教師能夠關注學生空間想象力以及幾何直觀能力的培養，讓其在動手實踐過程中進行分析與思考，讓其能夠利用圖形更好地發現與掌握數學規律。

5.運用數形結合創設解題情境。

在小學數學教學中合理利用圖形能夠有利于學生思維的發散與開闊，加深其對相關數學知識的理解與影響，所以在解題過程中教師需要重點提高學生利用圖形來分析并處理問題的能力。為了有效吸引學生注意，調動其解題積極性，教師可以利用多種直觀圖形來創設多元化的學習情境，并將數學運算的定律呈現出來。因為學生在解題時能夠完成知識經驗的建設，教師需要圍繞學生思維、判斷、辨別等能力的提升來引導其聯系實際生活經驗來進行解題，通過利用圖形結構來將數量關系反映出來不但能夠提高學生對數學概念的理解，而且還能讓其體會到實際生活重視數學的重要價值。如在對“百分數的認識”學習過程中，教師可以給予學生已有的生活經驗來創設相應情境，讓其得以在靈活轉變數據和圖形過程中正確掌握百分數和分數間的差別，并了解到生活中百分數的有效作用：“許多同學都喜歡喝蘋果汁，某類飲料中蘋果汁含量是55%，請問蘋果汁含量是55%是什么意思？___是___的55%？連續地追問，引發學生對生活中的問題進行思考。并將這55%在方格中呈現出來”學生回答出來后教師可以進一步提問，“蘋果汁含量還可以再多點嗎？能夠達到110%嗎”引導學生利用表格中的數據與信息來思考蘋果汁含量能否大于100%。學生通過直觀的圖形觀察與分析能夠快速理解數量關系以及認識到百分數是屬于部分與整體比較的關系，一定是在100%以內。因為數量關系對于小學生而言比較抽象與乏味，學習難度較大，所以難以提起學習興趣，因此要求教師能夠基于學生已有的知識以及生活經驗，合理運用數形結合的方式來促使學生探究在圖形中所蘊含的數量關系以及已知條件，讓其能夠在繪制、觀察、分析以及推理圖形時體會到問題解決的快樂，提高其學習興趣與自信。

6.運用數形結合做好圖形結構的分析。

數形結合一個顯著特征在于能夠實現抽象問題的精簡化以及直觀化，在解題過程中教師可以有意識地引導學生在歸納與分析圖形時自主反思學習成果，并且在掌握數學規律時能夠充分融合新舊知識，構建起較為系統的知識架構，提高其數學問題的解答效率。如，在對“扇形統計圖”進行學習過程中，相關數據能夠利用扇形統計圖來呈現出來，引導學生通過分析圖形數據來對其變化情況與規律進行分析與總結，正確認識到扇形統計圖中所呈現出來的總數和部分數量的關系。如，教師可以利用扇形統計圖來將牛奶的營養成分呈現出來，如圖1所示。同時引導學生獨立思考，讓其能夠在觀察與分析過程中將回憶學習過的知識，并將條形統計圖的特征與之相聯系，形成較為全面的數據分析概念。不僅如此教師還能夠利用百分比的實際含義來鼓勵學生將學習過的折線統計圖、條形統計圖以及百分數等知識相聯系起來，以更好地理解扇形統計圖的特征還有其在生活中的實際應用，促使學生將數學知識與實際生活相聯系起來。

圖1 牛奶營養成分扇形統計圖

由于小學數學中會學習到許多基礎性的幾何知識，學生在進行學習時往往是根據實物為基準，也就是說停留于表象上的認識。所以教師應當要注重學生空間知識體系的建設，引導學生將有關的集合知識進行總結與歸納，形成完善的知識架構，這樣能夠有利于其空間觀念的形成，提高知識的應用能力。例如，在“圓的面積”學習中，教師不能單純讓學生死記圓的公式，一定要讓學生回憶如何推導出已經學過平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積，接著使用有關圓的教學器具，引導學生會用剪拼、割補法來拼湊成已經學過的長方形，掌握相應的轉化思想，這樣就能夠讓學生可以串聯并運用起之前學習過的知識內容，為今后數學的學習打好基礎。

7.運用數形結合提高解決問題能力。

解決問題是小學數學教學的一項重要內容，但是不少學生都會對解決問題存在恐懼心理。因為其具有一定的復雜性，學生極易弄混題目條件，讀不懂其相關信息的聯系。但是在解答該類題目時應用數形結合的方式就能夠有效防止該類情況出現。

在解題時，教師可以引導學生在讀取每一條件時，就合理轉化“數”和“形”，理清解題思路。如，在學習“計算多邊形面積”過程中，教師可以設計這樣的應用題“商店售賣的三角巾是等腰三角形，其高與底均為9分米，現有長方形布料，寬度為18分米，長度為72分米，那么最多可以做出多少塊這樣的三角巾？”大部分學生很快都能寫出72×18÷（9×9÷2）=32。此時教師可以進一步引導學生思考其他解決方法，提示學生能夠利用數形結合的方式來進行，學生通過互相交流與分析，按照題目意思來繪畫出相應的示意圖，從而得到72÷9×2×（18÷9）、72×18÷（9×9）×2以及72÷9×（18÷9）×2這幾種算法。在解題過程中應用數形結合的方式可以有助于學生快速分析出題內的數量關系，將解題難度降低，有利于學生數學思維的發散。又如，在“植樹問題”教學中，借助生活中的實例，如路邊的大樹、路燈、手指課件演示，在該課教學中把一一對應數學思想方法作為支點，從而引出間隔與間隔數，為新課學習作鋪墊。課前我出示“為了美化環境，在500m的道路兩端種植樹木，每棵樹木間距為5m，總共需種植多少棵樹木？”我從學生已有的經驗出發，要求學生來畫示意圖來模擬種樹，再將學生畫的示意圖讓學生展示交流。根據學生之間展示的示意圖，再結合一一對應思想，突出了數形結合的思想，將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，讓學生感受生活中處處有數學知識，也利于學生的理解和掌握。這就加強了數與形之間的聯系，利用數形結合，讓學生體驗到提出、思考、分析并解決問題的過程，讓其發現并掌握解題技巧，提高其數學應用能力。

總之，新課程背景下的“數形結合”思想，它貫穿整個小學數學教學。而小學數學教學的目的在于對學生邏輯思維能力的培養與提高，尤其是空間形式與數量關系是學習的重點內容。諸多數學問題的解答均為根據“數”和“形”來展開，正如著名的數學家華羅庚所說：數缺形時少直觀，形少數時難入微。所以教師們在進行數學教學、解題過程中都需要注重運用數形結合的方式，將抽象、復雜的問題形象化與直觀化，讓學生更容易理解與掌握，激發學生學習的興趣，提高學生的數學學習能力。