基于模糊β-覆蓋的（I，T）-模糊粗糙近似算子

馬歡，賀龍雨，候婷，秦克云

（西南交通大學數學學院，四川 成都 611756）

粗糙集理論（rough set theory，RST）是由波蘭學者Pawlak[1]在1982 年創立的，是一種處理不確定性、不完整性信息的數學方法。該理論通過使用兩個可定義的子集（稱為上近似和下近似）來近似地描述不確定性概念。目前，這一理論已成功應用于數據分析與知識發現、模糊識別與分類、粒計算、不確定性決策等領域[2-5]。

在Pawlak 粗糙集模型中，對象之間的相似性通過等價關系表示，所有的等價類構成論域上的一個劃分。然而，一些實際問題中所討論的關系并不一定滿足等價條件嚴格的標準。為此，學者們從實際應用背景出發，用一般二元關系[6-7]替換等價關系，將劃分推廣為鄰域系統[8-9]和覆蓋[10-11]等，提出了多種粗糙集的擴展模型。基于論域上的覆蓋，Pomykala[12]得到了兩對對偶的近似算子。Yao[9，13]通過鄰域和知識粒，進一步研究了這些近似算子。該領域還有許多研究[14-16]被報道。

另外，經典的RST 在處理定量數據時也遇到了很大的限制。為了克服這一限制，Dubois等[17]將模糊集[18]與粗糙集結合，提出了模糊粗糙集和粗糙模糊集的擴展概念。后來，一些學者將覆蓋粗糙集擴展到基于模糊覆蓋的粗糙集。例如，通過使用模糊邏輯算子，Li等[19]提出了兩對基于模糊覆蓋的廣義近似算子。此外，D’eer等[20-21]研究了基于模糊鄰域系統、模糊極小描述和模糊極大描述的各種模糊鄰域算子。然而，模糊覆蓋的定義仍然具有一定的局限性。基于此，Ma[22]將模糊覆蓋推廣為模糊 β-覆蓋，并通過模糊 β-鄰域，提出了兩種新的基于模糊覆蓋的粗糙集模型。Yang等[23]進一步發展了模糊極小描述和模糊互補β-鄰域，給出了另外3 種基于模糊覆蓋的粗糙集模型。在此基礎上，Zhang等[24]利用三角模和模糊蘊涵算子，對以上提出的基于模糊覆蓋的模糊粗糙集模型進行了推廣，并討論了相關模型之間的關系。

值得注意的是，文獻[22-24]提出的模型中的近似算子都是廣義近似空間中基于對象生成的廣義粗糙近似算子的推廣形式。而在廣義近似空間中，可以分別從對象、知識粒、以及子系統的角度構造不同類型的廣義粗糙近似算子，它們具有不同的語義解釋。本文從知識粒的角度對廣義粗糙近似算子做進一步的研究，并結合模糊β-鄰域和模糊邏輯算子，建立了兩種新的基于模糊β-覆蓋的廣義模糊粗糙集模型，可以看作是連接覆蓋粗糙集理論和模糊粗糙集理論的橋梁，對以后研究基于覆蓋的模糊粗糙集在決策中的應用有一定的幫助。文中主要討論了所提出的模糊粗糙近似算子的性質，并與現有的模糊粗糙近似算子進行比較分析，使得新的模糊粗糙近似算子和現有的模糊粗糙近似算子之間建立聯系，為進一步討論模糊粗糙近似算子的拓撲結構及其應用創造了條件。

1 預備知識

本節給出模糊邏輯算子、模糊集以及模糊β-覆蓋近似空間中的相關概念與性質。

1.1 模糊邏輯算子

引理2設T是一個t-模，N 是一偽補。I是基于T和 N 的一個S-蘊涵算子，則引理1 中的3）、4）以及7）的第2 個等式仍成立。

注意：如果I是基于一個連續的t-模T和一個偽補 N 的一個S-蘊涵算子，則引理1 中的1）、2）、3）、4）、7）的第2 個等式、10）以及11）成立。

1.2 模糊集

設U是非空論域，稱映射A：U→[0，1]為U上的模糊集。設F（U）是U的所有模糊集構成的集合，稱其為U的模糊冪集[26]。

設A，B∈F（U）。如果對于任意x∈U，都有A（x）≤B（x），則稱A包含于B，記A?B；A=B當且僅當A?B且B?A。A與B的并，A∪B∈F（U）且對于任意x∈U，有（A∪B）（x）=A（x）∨B（x）；同樣地，A與B的交，A∩B∈F（U）且 對于任意x∈U，（A∩B）（x）=A（x）∧B（x）。符號coN表示模糊補，即對于任意x∈U，（coNA）（x）=N（A（x））。

1.3 模糊β-覆蓋近似空間

2 兩種基于模糊β-覆蓋的（I，T）-模糊粗糙集模型的建立

本節回顧廣義近似空間中上下近似算子的定義，并給出兩對基于模糊 β-覆蓋的（I，T）-模糊粗糙近似算子。

定義5[29]設U是非空有限論域，R是U上的一個二元關系，即R?U×U，則稱二元組（U，R）是一個廣義近似空間。對于任意X?U，X關于近似空間（U，R）的兩種形式的下近似與上近似分別定義為：

其中RS（x）={y∈U|（x，y）∈R}，稱為x關于R的右鄰域。

已有文獻通過模糊β-鄰域、模糊互補β-鄰域以及模糊邏輯算子，對式（3）和（4）進行了推廣。如下定義：

定義6[24]設T和I分別是 [ 0，1]上的t-模和蘊涵算子，（U，C）是 模糊 β-覆蓋近似空間。對于任意X∈F（U），X關于近似空間（U，C）的兩種形式的下近似與上近似是如下定義的U上的模糊集，對于任意x∈U，

其中 XX為集合X的特征函數。將模糊 β-領域替換以上相應的二元關系，結合模糊邏輯算子，從對偶性角度出發即可得到定義7 中所提出的模糊粗糙近似算子。

3 基于模糊β-覆蓋的（I，T）-模糊粗糙近似算子的性質

本節主要討論兩對基于模糊 β-覆蓋的（I，T）-模糊粗糙近似算子的性質。

3.1 基于模糊 β-覆蓋的（I，T）-模糊粗糙近似算子（，）的性質

3.2 基于模糊 β-覆蓋的（I，T）-模糊粗糙近似算子（，）的性質

證明1）、2）、3）、5）和8）直接可證得。下面我們只給出4）、6）和7）的證明。

4）如果T是連續的，則對于任意x∈U，由引理1 的10）、11）及引理2 可得，

注3由命題9 的1）可知，如果I是基于連續的t-模T和對合偽補 N 的一個S-蘊涵算子，則命題13 也成立。

由命題12和命題13 可得如下推論。

注4由命題9 的1）可知，如果I是基于連續的t-模T和對合偽補 N 的一個S-蘊涵算子，則推論3 也成立。

4 基于模糊β-覆蓋的（I，T）-模糊粗糙近似算子的比較

本節主要討論兩對基于知識粒生成的（I，T）-模糊 β-覆蓋粗糙近似算子與基于對象生成的（I，T）-模糊β-覆蓋粗糙近似算子之間的關系，并給出相關近似算子等價的條件。

為討論推論5 的必要性，給出下面的引理。

引理3設（U，C）是 模糊 β-覆蓋近似空間。如果T是連續的，則對于任意x，y∈U，α∈[0，1]，下列表述等價：

證明：（ 1）?（2）：對于任意x，y∈U，由1x的定義可知，1x（y）=0 ?y≠x。又由于T是連續的，則由引理1 的1）有

由以上結論，我們可得到下面的推論。

5 結論

本文通過模糊β-鄰域以及模糊邏輯算子（三角模算子T和模糊蘊涵算子I），提出了兩種基于模糊β-覆蓋的（I，T）-模糊粗糙集模型，詳細討論了模糊粗糙近似算子的基本性質，刻畫了基于對象與基于知識粒生成的（I，T）-模糊 β-覆蓋粗糙近似算子之間的關系，并通過分析研究，給出了相關近似算子等價的充要條件。本文從知識粒的角度定義的兩種基于模糊β-覆蓋的廣義模糊粗糙集模型，可以看作是連接覆蓋粗糙集理論和模糊粗糙集理論的橋梁，對以后研究基于覆蓋的模糊粗糙集在決策中的應用有一定的幫助。在后續的研究中，將進一步研究基于子系統生成的模糊粗糙近似算子，并嘗試探索模糊拓撲與模糊β-覆蓋之間的關系，進而研究近似算子的拓撲結構及其應用。