重知識聯通 促整體建構
——以“圖形與幾何”領域的教學為例

葉滿秀

小學數學“圖形與幾何”領域的知識具有很強的邏輯性，北師大版的小學數學教材內容雖然做了系統設計，但螺旋上升的編排方式，使知識間的關系相對隱性。許多知識相對零散、孤立，再加上學期的轉化，前后相隔時間長，學生獲得的認知常常呈碎片化狀態。要突破這一弊端，教師需從結構化的視角設計教學、實施教學，通過鏈接學生已有的活動經驗，幫助學生溝通知識間的內在聯系，找到知識間內在的結構，將數學知識連成知識鏈、形成知識網，指導學生整體性建構。文章以“圖形與幾何”領域的教學為例提出相應策略，通過鏈接經驗，實現經驗對接；把握數學本質，形成認知、方法的結構化；彰顯數學思想，達成核心目標；瞻前顧后找關聯，實現整體建構。

一、 鏈接經驗，抓住“根”

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”“圖形與幾何”這一領域知識是一個系統工程，教師要將學生記憶中的各種體驗調入“前臺”，從學生的認知發展水平出發，弄清“學生站在哪里”，做到以學定教，為學生架起新舊經驗對接的橋梁，促進學生對有關知識的理解和掌握。

如在教學“面積”時，教師巧妙借助學生已有的經驗，幫助學生實現新舊經驗的對接。首先，通過“看一看，比一比”的活動，引導學生結合生活中的實例獲得感性認識，抽象出面積的概念。接著以輔助性問題“比長短，你會嗎？”，激活學生測量長度的經驗與對測量要素的認識。這時提出核心問題“比一比，究竟哪個圖形的面積大？”，引發學生進一步探索比較面積大小的欲望，探究后發現“把圖形進行分割，面積之和與原來的面積不變”，從而感悟到對面積的計量，與長度計量一樣，需要確定一個標準并用這個標準去測量。接著進一步探討“為什么不用不規則圖形作面積單位”這一問題，由此學生逐步認識、理解面積單位，同時也加深了對面積這一概念的理解。進而借助“面積尺”進行測量，感悟面積的大小屬性。

這一教學過程，教師注重調動學生的已有經驗，站在度量的視角引領學生深入探究學習，強化度量的意識與方法。面積的屬性已悄悄駐在了學生的心間。學生在原有學習經驗成果與所學知識融會貫通的基礎上，經歷再創造學習新知的完整過程，融匯與貫通，學得自然、輕松、有效，對面積知識的整體認識便是水到渠成，促進已有經驗的結構化。

又如，筆者在教學《公頃再認識》時，先讓一位學生說說看到課題“公頃的再認識”，你想學些什么知識？“1公頃該有多大呀？”“學習公頃有什么作用？”“公頃和平方米之間到底有什么樣的微妙關系呢？”……學生基于已有的經驗，問題悄然生成。進而圍繞著“1公頃有多大？”這個核心問題展開，通過與舊知的多次鏈接，實現對知識結構、方法結構的體驗。

鏈接1：與已有長度單位的經驗對接

師：我們來研究面積單位，首先回顧長度單位，誰來說說我們都學過了哪些長度單位？

生：毫米、厘米、分米、米、千米。

師：它們之間的關系是怎樣的呢？

生：相鄰兩個單位之間的進率都是10，比如1cm=10mm、1dm=10cm、1m=10dm、1km=1000m。

師：千米與米的跨度好大呀，米的下一個長度單位可能是誰呀？想不想創造一個？

十米、百米就這樣產生了……

教學中借此一“創造”，米和千米之間的橋梁就有了，解決了學生長久以來的疑惑：米和千米是相鄰的兩個單位？切實理解“每相鄰兩個長度單位之間的進率是10”，為公頃的學習做好鋪墊。

鏈接2：與已有面積單位的經驗對接

師：說一說什么是1平方厘米？它有多大？

生：1平方厘米的面積，就是邊長為1厘米的正方形的面積。像我的手指甲蓋那么大。

師：能用手勢比畫比畫嗎？

師：與平方厘米相鄰的下一個面積單位是什么？(平方分米)……

一石激起千層浪，平方十米、平方百米應運而生，打通了平方米和公頃的隔斷墻。1公頃的表象究竟又該怎樣才能建立呢？引導學生自己先進行推算：我們都知道學校一間教室地面的面積大約是50m，100m大約是兩間普通教室的地面面積，也就是1平方十米。學生環顧教室四圍，1平方十米便得以直觀感受。“1平方百米里包含有多少個1平方十米呢？我們接著進一步推算，學校籃球場的長為28m，寬為15m它的面積為420m。究竟需要多少個這樣的籃球場，它們的面積之和才是1公頃？”接著請學生閉上眼，邊推算邊想象，借助已有知識儲備和活動經驗1公頃便有了參照。從而得出：“25個籃球場連接成一排，面積大約就是1公頃”，在不知不覺中就幫助學生建立起了1公頃的表象。小學數學課堂不一定要往深處鉆，但教學時，如果能跳出數學教數學，跳出課堂看整個課堂，同時又將這些零碎散落的知識融入原有的邏輯體系，便結成了新的認知結構，并且素養也得到了培育，真可謂是一舉兩得。

我們都知道：每一位學生都是有經驗的，但學生的經驗并不會自由、自如地在課堂中“生長”，它需要教師有意識地去擷取、喚醒，并為我們利用。所以我們要善于喚醒學生已有的經驗，讓學生經歷知識的產生、形成、發展，進而積累活動經驗，才能利于學生理解數學知識，更有助于學生構建良好的認知結構。

二、 把握本質，把住“脈”

《義務教育數學課程標準(2011年版)》在“實施建議”中提出：“對數學知識的教學，要注重知識的生長點與延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的結構和體系，處理好局部知識和整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性。”“圖形與幾何”領域的教學，教師如果沒有整體把握整個知識體系，就不利于學生形成認知、方法的結構化。所以，我們要考慮教學的連續性，以長程視野、整體關聯、方法通融的理念，引導學生構建一個個縱橫聯通的知識網絡。讓每位學生能夠理解知識的前后聯系，并經歷數學的發生、發展過程，使數學知識變得脈絡清晰，簡單明了。只有這樣才能把握數學本質，使數學知識形成系統，促進學生整體建構。

在教學四年級“角的度量”這一知識時，首先通過復習，喚醒測量意識：

學生已具有測量的經驗，要知道線段的長度，可用單位長度去測量；要得到圖形的面積，須用單位面積去測量。基于度量大體系思考探究新問題：角的大小如何得到？自然想到要構建單位角。教師注重把學生度量的學習經驗予以提煉與遷移，多一些“系統”眼光，多一些整體考慮，讓學生充分體會到隱藏在知識背后的數學思想與數學方法，打造一堂有結構的課，并用這種結構去促進新的知識的遷移與學習。

接著，聚焦核心問題“單位角”，緣于大單位的不適用，產生了認知沖突，生發出新需求——1度角的單位。學生在對度量單位的學習和認識過程中，必須經歷從非標準單位到標準單位的過渡，認識角度量的單位，體會單位的重要作用，并在各項活動中初步感受度量單位的特性；然后從離散的單位聚集到連續的單位。其中就隱含著用量角器量角的道理，學生便在不知不覺中明白：盡管量角器量角的方法各有不同，但量角的基本原理與用尺子測量的探索高度相關。

我們不能只教量角的知識和技能，而忽略了方法和思想的提升。必須要滲透度量意識，讓學生明白，追本溯源，直擊度量本質。于是出示兩張測量長度的圖，提出：為什么這兩種方法都可以測量出長度？接著留給學生思考的時間。根據已學過的知識，學生知道了測量長度既可以從0開始，也可以從其他刻度開始，這一內容是學習角的度量的銜接點。再進一步引導學生遷移思考：角的度量也是這樣嗎？試一試！將長度、角的度量等有機地聯系在一起，為新的學習提供了“固定點”。這樣既突破了教學難點，又完善了學生的認知結構：度量的本質是相同的，都是看測量對象里包含有多少個計量單位。

雖然本節課學習的是角的度量，卻將本課定位于整個知識領域，用聯系的眼光看數學、教數學。通過對測量的問題進行整合，從知識的本源去把握度量的道理，學生才能更準確地掌握量角的技巧，從而了解計量單位知識的來龍去脈，本質并沒有發生改變，而是在原有的經驗上，再次豐富度量的內涵。這樣的立意，就是引領學生站在高處，產生整體感。

三、 彰顯思想，守住“魂”

張奠宙院士指出：“掌握數學思想方法，認識客觀世界的變化規律，并用于認識世界和改造世界，才是數學的真諦。”因此，數學知識的深入學習，要重視思想方法的訓練，讓學生學會思維，領悟數學思考。而數學的靈魂是數學思想，小學數學學習中蘊含了極其豐富的數學思想，它以或暗或明的方式貫穿在整個數學教材中，數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括即為數學思想。數學思想始終不是游離于數學知識之外，而是蘊含在數學知識系統之中，蘊含在數學知識的形成、發展和應用過程。因此，教學要從整體統一的觀點出發，引領學生在解決問題中感悟數學思想，在思想體驗中審視整體知識結構的發生、發展，構建穩固的認知結構。

五年級“多邊形的面積”具體安排是從平行四邊形的面積到三角形的面積，最后學習梯形的面積。教材通過多個課時滲透“從新的知識到舊知”的轉化方法，感悟數學思想，也就是“圖形測量”這一內容的暗線目標，即教學的核心目標。縱觀整個知識體系，表現出了對學生合情推理能力的持續關注，整個單元中都引導學生經歷：引發猜想—舉例驗證—歸納建模—實踐應用。教學中應該嘗試從傳授知識本身到思維能力提升的關注點轉換，除了落實知識技能目標之外，更重要的是讓學生經歷猜想、驗證、比較、歸納的探究過程，能逐步掌握從特殊到一般的合情推理方法，從而為后續學習能力的提升打下基礎。

由此，筆者以轉化思想為單元核心設計相應的核心問題：

1. 平行四邊形如何轉化為長方形，三角形、梯形又怎樣轉化為平行四邊形？不規則圖形又怎樣轉化為規則圖形呢？

2. 轉后的圖形和原圖形之間有什么關系？你能根據這些關系推導出它的面積計算方法嗎？

筆者在教學“平行四邊形的面積”時，圍繞核心問題，從探究轉化前面積的圖形和轉化后的目標圖形之間的特征差異，到“怎么轉化”，以及依據轉化前后圖形之間的關系推導面積計算方法的推理思維過程，長方形的等積變換順利完成，轉化的數學思想得以滲透，把握住這個承上啟下的拐角。后續研究三角形的面積、梯形的面積與不規則圖形的面積，就以結構類似的核心問題引領學生遷移運用轉化思想自主探究學習，以結構化問題促進學生的知識、方法和思維結構化地生長。其中“三角形面積”的教學更加側重于轉化方式的改變，從“等積變換”到“倍積變換”中開闊學生的轉化視野，形成更多解決問題的策略；“梯形面積”這一內容便放手讓學生自己去嘗試，進行各種各樣的開放性探究。

這一單元內容的教學，從單元教材體系出發，由原來的單純點狀教學到結構化的教學，抓住了學生認知中的困惑，學生在充分的觀察、比較、遷移和拓展等數學活動中，數學的視野得到了拓寬，從而達到了用數學的眼光觀察，用數學的思維分析，用數學的語言表達，進而形成和發展了數學核心素養。

四、 重構系統，涵養“神”

教學的主要任務是讓學生在聯系的過程中探尋知識之間的內在聯系與蘊含的哲學思想，感受知識元素的關聯、知識結構的關聯，思想關聯，解決方法的關聯。因此，開展“圖形與幾何”教學實踐，需要有長遠的眼光，以一節課規劃一個單元，一學習主題疏通學習的關卡，把重點放在探尋數學結構關聯。教師自主進行知識間的鏈接，關注數學學習過程的核心知識，幫助學生構建知識網絡，讓學生重構系統，從而實現整個教育結構的整體通達。

北師大版小學數學平面圖形的面積學習具體安排是：三年級學習長、正方形面積的計算；五年級學習平行四邊形；六年級安排學習圓面積的計算。六年級總復習“平面圖形的面積”這一內容則需要重構什么？教師要了解學生原有的認知是怎樣的，通過復習我們需要引向怎樣的整體性結構認知。

鑒于此思考，筆者在教學時提出任務：我們已經學過哪些平面圖形？以小組為單位，根據這些平面圖形的公式的推導過程，畫一畫、寫一寫表示出這些平面圖形之間的關系。請學生代表上臺展示，并讓學生說說是怎么想的。并進一步追問：在這些平面圖形中，你認為哪個平面圖形最基礎？

生1：長方形最基礎。因為正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式都是由長方形面積計算公式推導得到的。

生2：我也認為最基礎的圖形是長方形。因為平行四邊形可以轉化成長方形。同樣三角形、梯形也可以轉化成長方形，正方形又是特殊的長方形。

生3：(指圖)觀察這幅圖，從左往右看，根據長方形的面積計算公式可以推導出其他圖形的面積計算公式；而從右往左看，我們是在探討一種新的圖形面積計算方式，都是把它轉化成已經學過的圖形。

師：你說得太精彩了！轉化，是一種很重要的方法。

師：孩子們，請仔細觀察，這就是一棵“知識樹”，長方形的面積計算公式是其他圖形面積計算的基礎。

這一過程緊緊圍繞著聯系來組織教學，學生在自主整理、匯報、交流的過程中重構新知，從而建構多元知識結構。不但復習了相關知識，理清了各種平面圖形面積公式的內部聯系，還發展了空間觀念。更為重要的是學生學會了用聯系的目光看，進而發現了：長方形是這些圖形中最基礎的平面圖形，實現了由零散到結構、由局部到整體、由低階思維到高階思維的重構，真正達成“理而通”的復習效果。

綜上所述，要實現知識的關聯，學生的數學學習更“通”“融”這一目標，教師除了要注重數學思考，還應涉及數學認知結構，找準“結構”的結點，經歷從現象到本質、從局部到整體的過程；還應尊重學生的認知規律，鏈接已有的經驗，順應幾何學特點，才能使數學知識形成系統，讓學生的知識結構和認知結構共長，促進學生整體構建知識。