行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的Excel VBA程序?qū)崿F(xiàn)

毛圓潔

(無(wú)錫科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇無(wú)錫 214028)

行簡(jiǎn)化階梯形矩陣在線性代數(shù)中有著重要的作用。將矩陣轉(zhuǎn)化成行階梯形矩陣，能夠計(jì)算矩陣的秩，判斷方陣是否可逆，判定向量組的線性相關(guān)性。將矩陣轉(zhuǎn)化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，可以快速找出向量組的極大無(wú)關(guān)組，并且寫(xiě)出其余向量用這個(gè)極大無(wú)關(guān)組的線性表示，不僅如此，將線性方程組的增廣矩陣轉(zhuǎn)化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，可以寫(xiě)出線性方程組的唯一解、無(wú)解或者無(wú)窮多解。計(jì)算行簡(jiǎn)化階梯形矩陣貫穿了線性代數(shù)的矩陣、向量組的線性相關(guān)性、求解線性方程組等多個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)，在傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)中，將矩陣轉(zhuǎn)化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣通常采用初等行變換的方法來(lái)計(jì)算，人工計(jì)算占用時(shí)間多，計(jì)算量大，效率也不高。本文借助常用軟件Excel，設(shè)計(jì)了一款行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的計(jì)算程序，實(shí)現(xiàn)了矩陣行簡(jiǎn)化階梯形的一鍵智能化[1]。

1 相關(guān)定義

定義1 若一個(gè)矩陣的所有零行在非零行之下，且非零行的首非零元素所在列在上一行(如果存在的話)的首非零元素所在列的右面，則稱此矩陣為行階梯形矩陣。

定義2 若一個(gè)矩陣是行階梯形矩陣，并且非零行的首非零元素為1，首非零元素所在列的其余元素都為0，則稱該矩陣為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣[2]。

2 行簡(jiǎn)化階梯形矩陣的算法與Excel VBA程序?qū)崿F(xiàn)

2.1 算法

根據(jù)定義，行簡(jiǎn)化階梯形矩陣非零行的主元素所在列的其余元素必須是零，所以第一步，可以按矩陣的行開(kāi)始循環(huán)，找到每一行的非零首元素，將非零首元素所在列的其他元素通過(guò)初等行變換的倍加變換都化為零。第二步，找到每一行的非零首元素，利用初等行變換的倍乘變換將它們都化為1。經(jīng)過(guò)前兩步的計(jì)算，此時(shí)矩陣已經(jīng)與行簡(jiǎn)化階梯形矩陣非常相似，該矩陣只要通過(guò)交換行便可轉(zhuǎn)化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。所以第三步，將零行放在矩陣的最下方，非零行的主元素所在列要按照從小到大，從左往右的順序排列，保證所有非零行主元素都在上一非零行(如果存在)主元素的右側(cè)。通過(guò)這三步，即可將任意矩陣轉(zhuǎn)化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣[3]。

2.2 Excel VBA程序?qū)崿F(xiàn)

根據(jù)算法設(shè)計(jì)，給出行簡(jiǎn)化階梯形矩陣實(shí)現(xiàn)的具體程序[4-6]：

3 應(yīng)用舉例

例1 計(jì)算向量組α1=(1,2,1,0)，α2=(2,5,3,2)，α3=(-1,2,-6,8)，α4=(0,3,3,6)，α5=(4,5,0,-6)的秩，求一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將剩余向量由極大無(wú)關(guān)組線性表示。

在Excel 的A1 至E4 單元格內(nèi)依次輸入向量組α1,α2,α3,α4,α5，選中A1 至E4 單元格后，左鍵單擊“開(kāi)發(fā)工具”——Visual Basic，在通用窗口內(nèi)運(yùn)行本文2.2中的VBA程序，運(yùn)行結(jié)果如圖1所示。

圖1 例1程序運(yùn)行結(jié)果

A8 至E11 單元格返回了例1 中向量組的行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，非零行的行數(shù)為3，因此，r(α1,α2,α3,α4,α5)=3。根據(jù)主元列所在位置得到向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為α1,α2,α3，其余兩個(gè)向量α4,α5可以由這個(gè)極大無(wú)關(guān)組線性表示為：α4=-6α1+3α2，α5=11α1-。

例2 求下列非齊次線性方程組的通解：

在Excel的A1至E3單元格內(nèi)輸入線性方程組的增廣矩陣，選中A1至E3單元格后，左鍵單擊“開(kāi)發(fā)工具”——Visual Basic，在通用窗口內(nèi)運(yùn)行本文2.2中的VBA程序，運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。

圖2 例2程序運(yùn)行結(jié)果

A8 至E10 單元格返回了例2 中線性方程組增廣矩陣的行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，此時(shí)方程組有解且為無(wú)窮多解，

因此，原線性方程組的通解為：

4 總結(jié)與討論

本文設(shè)計(jì)的行簡(jiǎn)化階梯形矩陣轉(zhuǎn)化的程序是基于常用軟件Excel 的，考慮到Excel 具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，使用攜帶都比較方便，具有較好的可推廣性。對(duì)比傳統(tǒng)教學(xué)的人工計(jì)算，本文的設(shè)計(jì)能大大提高線性代數(shù)教學(xué)的課堂效率，幫助學(xué)生理解一些抽象的數(shù)學(xué)概念，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，提升教學(xué)效果。Excel 軟件本身含有計(jì)算矩陣乘積、矩陣的逆以及行列式值的函數(shù)，分別為MMULT、MINVERSE和MDETERM，結(jié)合本文的設(shè)計(jì)，基本涵蓋了線性代數(shù)中行列式、矩陣及其運(yùn)算、矩陣的初等變換和線性方程組、向量組的線性相關(guān)性章節(jié)的計(jì)算部分，適合開(kāi)發(fā)成與線性代數(shù)相配套的計(jì)算實(shí)驗(yàn)課，增強(qiáng)課程的實(shí)用性。