探討導數在函數解題中的運用

摘要：自從導數進入高中數學教材以后，導數所具有的基本性質，給我們提供了一種全新的解題工具，因此導數的在高考中的地位就顯得尤其重要。本文基于導數在數學中的重要地位，主要從導數的基本性質以及基本性質的擴展應用兩個方面探討導數在數學中，特別是在函數中的具體應用，如：分析導數應用在函數單調性、凹凸性、極值、最值等一些基本問題上的解題思路，擴展的應用針對一些稍有難度的題型進行討論。針對每一項具體的應用，舉例體會導數在函數問題中的解題過程，最后根據導數在函數中應用的特征得出結論。

關鍵詞：導數；函數；單調性；極值；最值；凹凸性

1前言

在數學的整個學習過程中我們可以發現，從初中的數學教材開始，函數這個知識點已經逐步的出現在我們的數學教材中，而且由淺到深，函數知識越來越豐富。甚至現在很多版本的小學教材已經將一元一次方程求解納入教學大綱，方程中未知數的求解就是我們學習函數的入門，是我們學習函數的最基礎的一個環節，也就是說，函數的應用已經更加的廣泛，在教材上提前讓學生進行學習。

為什么函數問題如此深入教材？無論是在初中、還是高中階段，函數的內容在考試中都占據了非常重要的問題，初中階段接觸的一些較為簡單的函數：一次函數、反比例函數、二次函數等，到了高中學習階段，我們又接觸了像冪函數、對數函數、指數函數基本的函數。函數之所以這么重要，因為它的應用十分的廣泛，我們生活中遇到的太多事情大大小小都可以和函數結合起來，所以再題目中出現就不會那么奇怪了，因為教材是貼近生活的，我們不止是為考試而學習，我們希望學到的知識能在生活中得到體現，得到很好的應用。再者函數還可以和圖像、圖形等多種方式結合，因此它的形式多樣，變化復雜，在出考題上就會相對靈活，更能全面考察學生的綜合能力。導數本是大學階段高數教育的入門內容，近年來引入到高中教材，在此情境下探討導數在函數中的具體應用就變得很有必要。

2導數在函數解題中的應用舉例

（1）導數在函數表達式問題中的應用

函數問題在高中數學考試試卷中的位置分布通常在最后的一個大題中，且占據的分值屬于重量級，通常在解決一個總的函數問題，求解函數表達式基本都是入門級，基礎級的問題了。在沒接觸導數學習前，對函數的表達式進行求解就已經有各種各樣的方法。但是隨著高中教材的豐富，導數的引用，又為解決這類問題提供更廣更深的思路，下面我們看一個具體的例子來感受一下導數在這類問題中的具體運用：

例1，在x=x0處，函數y=f（x）能夠取得極大值或極小值，我們把x0點稱為的極值點。已知有兩個實數a和b，函數f（x）=x3+ax2+bx有2個極值點分別為1、-1，求函數y=f（x）的表達式.

解：對f（x）求導可以得到：

由題目可知1、-1是函數f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點

即當x=1或x=-1時，有f（x）=0

則有：

所以函數y=f（x）的表達式為：

（2）導數在函數不等式證明問題中的應用

導數應用在函數不等式證明中主要體現出一種最大最小化的概念，可以看成是函數極大值極小值的一種擴展形式。通常形式，比如需要證明f（x）>g（x），那我們可以構建一個新的函數h（x）=f（x）-g（x），再運用導數的一本基本性質證明出函數h（x）>0，則可以證明f（x）>g（x）。

例2，函數f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知f（x）有極值點x=1、x=-2。

（i）求函數f（x）的表達式；

（ii）設g（x）= x3-x2，證明：f（x）≥g（x）恒成立。

解：（i）由于f（x）的導數為：

當h'（x）=0時，得到x=1

∵當x∈（-∞，1]時，h'（x）≤0，∴h（x）在x∈（-∞，1]上是呈單調遞減的，則x∈（-∞，1]時，h（x）≥h（1）=0；

又∵當x∈[1，+∞）時，h'（x）≥0，∴h（x）在x∈（1，+∞）上是呈單調遞增的。則x∈[1，+∞）時，h（x）≥h（1）=0。

∴對于任意的x∈[-∞，+∞），永遠都有h（x）≥0，

又∵x2≥0，所以f（x）-g（x）≥0

即對于任意的x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x），命題得證

（3）導數在函數解決實際問題中的應用

我們學習數學的目的不僅僅是為了參加考試，很多數學問題都是和生活密切相關的，函數問題本身就是在生活中應用很廣泛的問題了，有了導數這個工具，我們能把數學知識運用得更靈活。

例3：通常情況下，水庫儲蓄的水的量是隨著時間的變化而變化的，蓄水量單位：億立方米，時間的單位為：月，用t表示時間這一變量，v表示蓄水量這一變量。我們根據往年的一些經驗數據，可以得出蓄水量v和時間t之間存在的函數關系：

（i）當v<50時，是枯水期。用i（1

（ii）求解水庫1年的蓄水量（e=2.7）。

解：

（i）

1.在0

通過化簡可以得到t2-14t+40>0，這樣就可以求解出t<4或者是t>10，

又因為0

0

2.在10

v（t）=4（t-10）（3t-41）+50<50，

與1類似，通過化簡得到（t-10）（3t-41）<0，

可以求解出

10

而且又因為10

10

綜合1和2的求解結果可以得出t最終的取值范圍是：

0

這樣就能得到水庫的枯水期分別是在1、2、3、4、11和12總共6個月。

（ii）

根據（i）的結果可以得知：V（t）僅可能在（4，10）范圍內取得最大值，現對V（t）求導可以得到：

令V（t）的導數等于0，可以求解出：

現將V（t）和V（t）隨t取值變化的情況示于下表：

從表中可以看出，V（t）在t=8的時候值為最大，且V（8）=8e2+50≈108.32（億立方米）

因此可以得出，水庫一年內最大的蓄水量為108.32（億立方米）

3.結 論

根據前文我們對導數在函數問題應用舉例的具體分析，可以看出來，導數在解決函數問題中非常靈活且重要。因此我們在學習函數問題時，要充分發揮導數的作用，最好程度的利用好導數解題這項新工具。當然，在使用導數這項工具我們也要把握好方法，注意一些關鍵的事項。首先，重視導數基礎內容，根基要穩要扎實，像單調性、極值這些知識雖然理解起來很簡單，但是在解題中卻沒這么直白；其次，要有一種思想，數學上的思想方法是數學知識的一個高度概括，要有一種全局思想，但也要抓重點、走主線；然后，加強函數和其他像不等式、方程、幾何圖形等知識點的結合，這是導數應用的一個難點，但也是將知識轉化為能力的一種體現；最后，導數在函數中的應用，除了基本的一階導數、還有二階導數，在掌握基本知識后可以適當擴展自己的新知識面，又將會發現數學世界的一片新天地。

參考文獻

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作者簡介：謝治民（2001.07-），男，漢族，四川安岳人，高三在讀，對于數學相關專業具有濃厚興趣和探究熱情。

（作者單位：成都七中嘉祥外國語學校）