基于FACT技術(shù)的高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)與降階

張孝薈， 湯亞芳， 栗少龍， 宋 標(biāo)， 袁旭峰

（貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院，貴陽 550025）

0 引 言

傳遞函數(shù)作為一種研究系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)的重要手段［1］，在各行各業(yè)廣泛應(yīng)用。在控制系統(tǒng)中，為實現(xiàn)按照設(shè)計預(yù)期改變零、極點位置，達到調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、提高系統(tǒng)控制精度和穩(wěn)定性的目的，應(yīng)對復(fù)雜高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行準(zhǔn)確解析以及適當(dāng)?shù)慕惦A處理［2］。Vandeloo等［3］提出將電路模型參數(shù)導(dǎo)入編程軟件Common Lisp中，利用稀疏矩陣進行傳遞函數(shù)的推導(dǎo)與化簡的方法。但該方法嚴重依賴電路的具體參數(shù)，且所用編程語言過于專業(yè)，不具有普適性。文獻［4］中利用Matlab軟件仿真運算平臺，以一個CMOS兩級運算放大器電路為研究對象，對電路中各個晶體管的熱噪聲傳遞函數(shù)進行求解并簡化，Matlab運算結(jié)果表明該方法能有效避免對電路參數(shù)的過分依賴。

文獻［5］中對直流電動機復(fù)合定位控制系統(tǒng)CPCS及PID根軌跡、頻率特性等動態(tài)性能進行分析，得出高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總能采用降階方式化簡的結(jié)論。高階系統(tǒng)的降階研究滲透在航空動力系統(tǒng)［6-7］、交通軌道磁懸浮控制系統(tǒng)［8］、柔性直流配電系統(tǒng)［9-10］等各個行業(yè)。然而，高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的降階處理過程往往會引起狀態(tài)變量的改變，導(dǎo)致系統(tǒng)的控制精度下降，甚至影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。

鑒于上述技術(shù)進展及存在的問題，本文以柔性直流系統(tǒng)為背景，以文獻［11］中所提混合式直流故障限流器拓撲結(jié)構(gòu)為研究對象，利用快速分析技術(shù)（Fast Analytical Circuit Techniques，F(xiàn)ACT）［12］對高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)進行推導(dǎo)和化簡，并進行實驗驗證。特性［12］。

定義的傳遞函數(shù)表達式如下：

式中：H0為s＝0（電容開路、電感短路時，后續(xù)均設(shè)置s＝0作為電路參考狀態(tài)）狀態(tài)下的直流增益；零點為方程N（s）＝0的根，極點為方程D（s）＝0的根。圖1為運用FACT求解高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的流程圖。

圖1 FACT求解傳遞函數(shù)流程框圖

1 高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)與降階

本文設(shè)計的基于FACT，利用時間常數(shù)表征電路特性的高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)求解過程：①根據(jù)FACT原理，首先將傳遞函數(shù)規(guī)范為低熵表達式；②將傳遞函數(shù)表達式整理為零、極點完美分離形式；③通過設(shè)計主導(dǎo)極點或偶極子［13］對高階系統(tǒng)降階，用降階后的近似低階系統(tǒng)，來表征原始復(fù)雜高階系統(tǒng)的動態(tài)性能；④利用Matlab軟件仿真運算取得系統(tǒng)降階前后的單位階躍響應(yīng)曲線，驗證該技術(shù)對高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)與降階的有效性。

1.1 快速分析技術(shù)

利用FACT求解高階復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，與傳統(tǒng)方法相比，在求解速度方面具有顯著優(yōu)勢。該技術(shù)主要特點如下：

（1）利用時間常數(shù)對電路進行表征。在特定條件下，暫時從電路中的連接端移除電阻、電感或電容元件，求得該端口的阻抗值，從而將復(fù)雜的無源電路或者有源電路分解為由一系列時間常數(shù)表征的零、極點網(wǎng)絡(luò)［12］。

（2）低熵表達式。系統(tǒng)的熵與其內(nèi)部紊亂程度相關(guān)聯(lián)，利用FACT能夠得到高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的低熵表達式，可快速識別出系統(tǒng)增益、零點、極點，以及零、極點個數(shù)。分析傳遞函數(shù)的低熵表達式，能夠明確串并聯(lián)電路的主導(dǎo)器件以及不同頻率狀態(tài)下的電路

1.2 傳遞函數(shù)的推導(dǎo)

圖2所示的混合式直流故障限流器工作原理為：故障后，保護系統(tǒng)檢測到線路故障，立即給晶閘管T1送入觸發(fā)脈沖，同時也給T2送入持續(xù)的觸發(fā)信號；晶閘管T1導(dǎo)通瞬間，換相電容C1立即放電，放電電流導(dǎo)致T3斷；C1放電完畢后繼續(xù)被故障電流反向充電，一直被施加著觸發(fā)信號的晶閘管T2，當(dāng)其開始承受正向電壓時瞬間導(dǎo)通。自此限流模塊均被投入故障回路抑制故障電流。

圖2 混合式直流故障限流器拓撲結(jié)構(gòu)

由上述限流原理可知：主限流支路中的R2在換相電容充電完畢后，方能完全投入故障回路抑制短路電流，故換相電容的反向充電時間越短越好。在限流過程中某個時刻，換相電容的初始電壓放電完畢，并開始反向充電，從而進入另一個工作狀態(tài)，直到其充電完畢。為進一步分析電容充電的暫態(tài)過程，故以換相電容兩端的電壓作為輸出響應(yīng)，利用FACT求解該系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

如圖3所示，用串聯(lián)的電阻電感電容RS、LS、CS等效替代直流系統(tǒng)模塊化多電平變換器（Modular Multilevel Converter，MMC）［14］，但該方法會導(dǎo)致系統(tǒng)的階數(shù)升高，增加求解各階段電壓電流的詳細表達式的難度。考慮到故障后短時間內(nèi)MMC電容CS電壓下降幅度較小，為方便求解，將其等效為恒定的直流電壓源。文獻［15-16］中對該等效方法進行了驗證，認為誤差較小，等效可行。忽略半導(dǎo)體器件通態(tài)壓降，令RS＋R1＝R3，LS＝L3，其簡化電路見圖4。

圖3 電路模型

圖4 電路模型簡化圖

依據(jù)FACT原理，可快速取得系統(tǒng)直流增益、零點推導(dǎo)、極點推導(dǎo)，以及完整傳遞函數(shù)的低熵表達式，大幅降低高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)的復(fù)雜性，提高了求解速度。

（1）直流增益。將各儲能元件設(shè)置為參考狀態(tài)（C1開路、L2短路、L3短路），計算直流增益為

（2）極點推導(dǎo)。與電容C1、電感L2、電感L3相關(guān)聯(lián)的時間常數(shù)τ1、τ1、τ3

［12］分別為：

設(shè)［12］

計算時間常數(shù)τ12、τ13、τ23時，分別看L2兩端（C1為高頻狀態(tài)，L2、L3為參考狀態(tài)）的驅(qū)動電阻、L3兩端（C1為高頻狀態(tài)，L2、L3為參考狀態(tài)）的驅(qū)動電阻、L3兩端的驅(qū)動電阻（L2為高頻狀態(tài)，L3、C1為參考狀態(tài)），得到：

設(shè)［12］

計算時間常數(shù)τ123［12］時，將C1、L2設(shè)置為高頻狀態(tài)（C1短路、L2開路），將L3設(shè)置為參考狀態(tài)（L3短路），由L3兩端的驅(qū)動電阻得到：

設(shè)［12］

分母表達式D（s）［12］為

（3）零點推導(dǎo)。根據(jù)上述FACT求解傳遞函數(shù)分子表達式的過程與分母求解過程基本一致，唯一不同之處是：求解過程中需將激勵源復(fù)原，輸出置為零［12］。

具體過程，此處不再贅述。求解得到：

則，分子N（s）［12］表達式為

（4）完整表達式。由此可得到完整傳遞函數(shù)的低熵表達式［12］：

將傳遞函數(shù)的低熵表達式整理為零極點完美分離的表達式如下：

式中：

1.3 降階處理

分析系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點，判斷其是否滿足降階條件，具體流程如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)降階處理以及驗證流圖

令式（14）中零、極點的第1零點與第2極點的比值為A，則：

根據(jù)工程經(jīng)驗，確定參數(shù)一個初始取值范圍：換相電容C1取值范圍5～10 μF；限流電感L2取值范圍10～30 mH；換流站系統(tǒng)等效電感L3取值范圍150～200 mH；主限流電阻R2取值范圍30～40 Ω；電阻R3其取值范圍8～12 Ω。基于該取值范圍，R2L3＞＞L2R3，R2C1R2R3＜＜R2L3＜R2L2，故：

同樣，將第2零點與第3極點的比值令為B，則：

故系統(tǒng)傳遞函數(shù)中存在兩對偶極子，分別為wz1和wp2、wz2和wp3，采用零、極點相消的方法對系統(tǒng)進行降階處理［17］，去除兩對偶極子，留下一個主導(dǎo)極點wp1，則最終將傳遞函數(shù)近似表達式如下：

降階后的傳遞函數(shù)近似等效為一階系統(tǒng)，該系統(tǒng)時間常數(shù)為

2 實驗分析

2.1 降階前

用Matlab（2017a）運算軟件平臺中自帶的遺傳算法工具箱，根據(jù)實際工程中限流器設(shè)備各儲能元件常見的取值范圍［18］，求取式（19）的最優(yōu)解。圖6（a）表明，利用遺傳算法經(jīng)過多次迭代之后，其適應(yīng)度值基本不再變化，最終得到限流器設(shè)備各元件的最佳取值：C1＝10 μF，L2＝10 mH，L3＝150 mH，R2＝40 Ω；R3＝11 Ω；圖6（b）為根據(jù)上述最佳取值求解式（19）的期望分布情況。

圖6 遺傳算法迭代優(yōu)化參數(shù)

用Matlab求解原始高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)，主要程序如下：

得到原始三階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

零極點分布如圖7所示。

圖7 零極點分布圖

由圖7可知，原始三階系統(tǒng)存在兩對偶極子，每一對偶極子的作用相互抵消，只剩一個主導(dǎo)極點作用，該系統(tǒng)滿足降階條件，與理論推導(dǎo)相符合。

2.2 降階后

用Matlab對降階后的系統(tǒng)求解傳遞函數(shù)，主要程序如下：

得到降階后一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

對比式（20）和（21）分析可知，降階前后的系統(tǒng)主導(dǎo)極點分別為－262.2、－237.9，兩個系統(tǒng)極點位置比較靠近。為驗證降階后的系統(tǒng)對原始系統(tǒng)的描述能力，在Matlab上繪制降階前后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，主要程序如下：

den3＝［b3 b2 b1 1］；

num3＝［a2 a1 1］*H0；

sys3＝tf（num3，den3）； %原始三階系統(tǒng)建模

den1＝［b1 1］；

num1＝H0；

sys1＝tf（num1，den1）； %近似一階系統(tǒng)建模

step（sys3，＇r＇，sys1，＇b＇）； %系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

圖8表明兩條單位階躍響應(yīng)曲線趨勢基本一致，降階后的系統(tǒng)其單位階躍響應(yīng)的上升時間tr比降階前多0.89 ms，調(diào)整時間ts比降階前多1.15 ms。這是因為降階后的近似系統(tǒng)，其極點比降階之前的主導(dǎo)極點更靠近虛軸，在一定程度上延緩了系統(tǒng)響應(yīng)速度。

圖8 降價前、后單位階躍響應(yīng)曲線

3 結(jié) 語

本文利用FACT對高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)進行詳細推導(dǎo)表明：得到傳遞函數(shù)的低熵表達式，能更直觀地識別出系統(tǒng)直流增益、零點、極點；通過觀察傳遞函數(shù)表達式能夠明確串并聯(lián)電路中的主導(dǎo)元件以及電路頻率特性；對傳遞函數(shù)的零極點表達式進行分析和約束，構(gòu)造降階條件，將復(fù)雜高階系統(tǒng)近似等效為簡單低階系統(tǒng)。用Matlab運算軟件對降階前后的傳遞函數(shù)作單位階躍響應(yīng)仿真運算，結(jié)果驗證了上述傳遞函數(shù)求解方法、系統(tǒng)降階方法的有效性、合理性。

在工程運用中，按照FACT原理簡化求解過程、降低求解難度，進而提高傳遞函數(shù)求解速度，該技術(shù)具有一定的普適性。