黏性血管生成模型解的全局存在性和大時間行為

伍小莉, 劉青青

(華南理工大學 數學學院, 廣州 510641)

1 引言與主要結果

血管生成(Vasculogenesis)是血管網絡形成的前提, 其反應機制非常復雜. 為描述血管生成的過程, Gamba等[1]提出了如下帶黏性的血管生成模型：

(1)

其中: 未知函數n=n(t,x)>0和u=u(t,x)∈3分別表示內皮細胞的密度和速度,c=c(t,x)表示化學引誘劑的濃度, 并且t>0,x∈3; 正常數D,a和b分別表示擴散系數、 釋放率和化學引誘劑降解時間的倒數; 正常數μ和υ分別表示細胞對化學信號的反映強度和黏性系數;P表示壓力, 是一個僅依賴于密度的光滑函數, 并且對?n>0, 有P′(n)>0.方程的初始條件為

(2)

帶黏性的血管生成模型(1)可視為帶趨化外力的Navier-Stokes方程耦合一個拋物方程, 也可視為將Poisson方程替換為拋物方程的Navier-Stokes-Poisson方程. 因此, 研究Navier-Stokes方程以及Navier-Stokes-Poisson方程的相關結果對該問題的研究具有啟發意義. 文獻[7-9]研究了Navier-Stokes方程常狀態附近的擾動理論； 文獻[10]給出了研究雙曲拋物型耦合方程解的最優衰減率方法； 當考慮勢外力時, 文獻[11]和文獻[12]分別研究了等熵和非等熵Navier-Stokes方程非平凡Profile附近解的最優衰減率問題； 文獻[13-16]研究了Navier-Stokes方程的Cauchy問題、 半空間問題、 有界域問題不同漸近態附近解的穩定性以及衰減率等; 文獻[17-19]研究了Navier-Stokes-Poisson方程解的全局存在性和衰減估計.

與文獻[18]中的Navier-Stokes-Poisson方程：

(3)

則存在C0>0, 使得Cauchy問題(1)-(2)存在唯一的全局解, 滿足

且

此外, 若還存在δ1>0, 使得

則存在常數C1>0, 使得對?t≥0, 有

本文首先在常平衡態附近做擾動, 重述Cauchy問題(1)-(2), 并用Fourier能量方法給出相應線性齊次系統解的衰減估計； 其次用能量方法證明問題(1)-(2)解的全局存在性; 最后利用時間加權能量方法給出方程解在常平衡態附近的衰減率.

其中i為虛數單位.

2 齊次線性系統解的Lp-Lq衰減估計

2.1 用擾動函數重述問題

(4)

初始條件為

(5)

其中g1,g2為

(6)

2.2 Fourier空間中線性方程的能量估計

下面考慮Cauchy問題(4)-(5)相應線性齊次系統解的衰減估計. 為此, 首先給出問題(4)-(5)相應的線性齊次方程組：

(7)

初始條件為

[ρ,u,φ]|t=0=[ρ0,u0,φ0]→[0,0,0], |x|→∞.

(8)

(9)

初始條件為

(10)

(11)

且存在λ>0, 使得對?t>0,k∈3, 有

(12)

證明： 為使運算結果更簡潔, 用記號(a|b)表示a點乘b的共軛, 其中a,b是兩個復數或者向量.通過直接運算, 易得

(13)

(14)

(15)

將式(14)+式(15), 利用方程(9)中第一式, 且注意到

有

(17)

式(17)+式(16), 有

(19)

(20)

式(19)+式(20), 有

(22)

是正定矩陣.即存在常數C2>0, 使得

(23)

將式(23)與式(21)結合, 再利用Cauchy-Schwarz不等式, 易得

(25)

定義

其中0<κ?1待定.由于矩陣(22)是正定矩陣, 所以存在另一個常數C3>0, 使得

(27)

注意到

(28)

結合不等式(27),(28), 易知式(12)成立.證畢.

由定理2直接可得以下兩個推論.

推論1?t≥0,x∈3, 令U(t,x)是方程組(7)-(8)的解, 則存在λ>0,C>0, 使得對?t≥0,k∈3, 有

(29)

由式(29)可得Cauchy問題(7)-(8)解的Lp-Lq時間衰減估計.形式上, 方程組(7)-(8)的解可記為

U(t)=[ρ,u,φ]=etLU0,

其中etL(t≥0)是線性化方程的解算子.

推論2[20]令1≤p,r≤2≤q≤∞,l≥0,m≥0是整數.定義

其中[·]-表示取整函數, 則對?t≥0, 存在C=C(m,p,r,q,l), 使得

3 非線性系統解的漸近行為

3.1 解的全局存在性

仍用記號U=[ρ,u,φ]表示非線性系統(4)-(6)的解.下面總假設N≥4.為使結論更簡明, 定義能量泛函εN(U(t))和耗散DN(U(t))分別為

(31)

定理3若εN(U0)>0充分小, 則Cauchy問題(4)-(6)存在唯一全局解U=[ρ,u,φ], 且滿足

U∈C([0,∞);HN(3)),φ∈C([0,∞);HN(3)).

此外, 存在如式(30)所示的εN(U(t))滿足對?t≥0, 有

由文獻[21]知, 要證明定理3成立, 只需證明下述先驗估計成立.

引理1假設存在T>0, 使得U=[ρ,u,φ]∈C([0,T);HN(3))是Cauchy問題(4)-(6)在[0,T)上的解, 滿足則存在如式(30)所定義的εN(U(t)), 使得對?0≤t

(32)

證明： 證明分三步.

1) 證明

成立.

為證明式(33)成立, 將式(4)改寫為如下形式：

(34)

(37)

將式(36),(37)代回式(35), 有

(41)

將式(40),(41)代回式(39), 有

將式(43)中ρt用方程(34)中第一式代替, 并改寫式(43)的最后一項, 有

將式(44)代入式(43), 有

將式(38),(42),(45)相加, 有

其中

(48)

結合估計(47),(48), 并對式(46)兩邊關于0≤|l|≤N累加, 易得式(33)成立.

2) 證明

成立.

為證明式(49)成立, 先考慮方程(4)-(6).首先, 令0≤|l|≤N-1, 將?l先作用于方程(4)中第二式, 然后乘以?lρ, 最后將所得結果關于x在3上積分.利用分部積分并用方程(4)中第一式代替?tρ, 有

(51)

將式(50)和式(51)相加, 有

因為矩陣(22)是正定矩陣, 所以存在常數C4>0, 使得

最后, 對式(52)利用Cauchy-Schwarz不等式, 有

其中g1,g2的定義見式(6).利用Sobolev不等式和Cauchy-Schwarz不等式及H?lder不等式, 有

(54)

將式(54)代入式(53), 并把所得結果兩邊關于|l|≤N-1求和, 易知式(49)成立.

3) 證明定理3成立.

令0<κ?1為式(30)中充分小的待定常數, 令2×式(33)+κ×式(49).注意以下3個事實：

(55)

② 由式(22)是正定矩陣, 所以存在常數C5,C6>0, 使得

結合式(30),(31)中εN(U(t))和DN(U(t))定義, 易見存在λ>0,C>0, 使得

?tεN(U(t))+λDN(U(t))≤C[εN(U(t))1/2+εN(U(t))]DN(U(t))

成立, 即式(32)成立.因此引理1成立.再結合局部存在性理論和連續性技巧可知定理3成立.

3.2 解的漸近行為

下面主要說明當初始條件U0=[ρ0,u0,φ0]具有一定的正則性和可積性時, 定理3中的解U=[ρ,u,φ]具有一定的時間衰減.為使結論更簡潔, 記

τm(U0)=‖U0‖m+‖φ0‖m+‖U0‖L1,

(57)

其中m≥0是整數.

先對‖[ρ,u,φ](t)‖2進行估計.記

(58)

則可得如下引理.

引理2對?t≥0, 有

(59)

證明： 由Duhamel原理, 初始條件為U0=[ρ0,u0,φ0]的Cauchy問題(4)-(6)的解U=[ρ,u,φ]形式上可以寫為

(60)

其中etL(t≥0)是線性化方程的解算子,g1,g2如式(6)所示.結合推論2, 當取m=0,q=r=2,p=1時, 有

(61)

結合g1,g2的定義(式(6))及εN,∞(·)的定義(式(58)), 通過直接計算可知, 對任意的0≤s≤t, 有

‖[g1,g2](s)‖L1∩L2≤CεN(U(s))≤(1+s)-3/2εN,∞(U(t)).

(62)

把估計式(62)代入式(61)中最后一項, 有

‖[ρ,u,φ](t)‖≤C(1+t)-3/4(‖U0‖L1∩L2+‖φ0‖+εN,∞(U(t))),

(63)

對式(63)兩邊平方即可得式(59)成立.證畢.

記

(65)

其中0<κ?1是充分小的待定常數.

(66)

證明： 類似于引理1中式(33),(49)的證明過程, 求和時只要取1≤|l|≤N的項, 即有

令0<κ?1為式(64)中充分小的待定常數, 令2×式(67)+κ×式(68).基于式(55),(56)和0<κ?1充分小, 有

易知式(66)成立.證畢.

引理4假設定理3的條件成立, 則對?t≥0, 有

(69)

證明： 在推論2中令m=1,q=r=2,p=1, 結合式(60), 有

其中g1,g2的定義見式(6).用Minkowski不等式、 H?lder不等式以及定義式(58), 易證

(71)

把估計式(71)代入式(70)的最后一項, 可得

‖[ρ,u,φ](t)‖≤CεN,∞(U(t)))(1+t)-5/4,

表明式(69)成立.

定理4假設定理3的條件成立, 且τN(U0)>0充分小, 則對?t≥0, 解U=[ρ,u,φ]滿足

‖U(t)‖N+‖φ‖N≤CτN(U0)(1+t)-3/4,

(72)

(73)

證明： 首先, 證明帶時間權重的εN(U(t))有如下估計.當1

(74)

由引理1知, 對?t≥0, 有

(75)

下面用迭代法證明式(74)成立.對?l≥0, 在不等式(75)兩邊同時乘以(1+t)l, 并將所得結果關于時間t在[0,t]上積分, 有

(76)

由εN(U(t))和DN(U(t))的定義易知

εN(U(t))≤C(DN(U(t))+‖[ρ,u,φ](t)‖2).

(77)

結合式(76),(77), 有

類似上述過程, 用l-1代替l, 有

當1

由定理3, 有

(81)

結合式(80),(81), 當1

由式(78),(82)知式(74)成立.

其次, 通過式(74)和引理2說明由式(58)所定義的εN,∞(U(t))關于時間一致有界, 且

(83)

從而說明式(72)成立(τN(·)如式(57)所示).下面證明式(83)成立.在式(74)中, 取l=3/2+ε(其中ε>0充分小), 有

結合式(59), 可對式(84)中最后一項進行估計.注意到εN,∞(U(t))關于時間t單調不減, 有

(85)

由式(84),(85), 有

這表明

所以有

又由條件τN(U0)>0充分小, 進一步知式(83)成立.再結合εN(·)和τN(·)的定義式(30)和(57), 易知對?t≥0, 有

‖U(t)‖N+‖φ‖N≤CεN(U(t))1/2≤CτN(U0)(1+t)-3/4,

(86)

從而式(72)成立.

(87)

將式(87)兩邊關于t在[0,t]上積分, 有

(88)

再結合引理4, 利用式(69),(88)以及式(83)易證如下結論成立：

從而式(73)成立.進而可得定理1中方程解的衰減估計.