金融不確定分數階混沌系統(tǒng)滑模同步的3種控制方案

毛北行, 王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數學學院, 鄭州 450015)

目前, 混沌研究已取得較多成果[1-2]. 隨著人們對滑模控制方法的進一步研究和系統(tǒng)建模的需要, 混沌系統(tǒng)的動力學行為及其滑模同步已成為研究的新熱點[3-6], 其中金融混沌系統(tǒng)已引起人們廣泛關注[7-17]： 文獻[10]基于線性控制研究一類金融系統(tǒng)同步, 得到了金融系統(tǒng)同步控制的充分條件； 文獻[11]研究了一類經濟系統(tǒng)的動力學行為與動力學解析問題； 文獻[12]研究了一類不確定參數金融混沌系統(tǒng)的廣義投影同步； 文獻[13]基于動力學理論研究了一類金融混沌系統(tǒng)的定性分析； 文獻[14]研究了一類非線性金融混沌系統(tǒng)的動力學分析與同步； 文獻[15]研究了改進金融混沌系統(tǒng)的動力學行為與自適應同步； 文獻[16]研究了一類金融混沌系統(tǒng)的線性控制模型, 對金融混沌系統(tǒng)進行了數值建模和定性分析； 文獻[17]研究了金融混沌系統(tǒng)的動力學特性. 滑動模態(tài)控制研究方法具有良好的魯棒性和對不確定參數的非敏感性與不依賴性, 由于金融混沌會導致經濟領域和金融領域毀滅性和災難性的打擊, 因此對金融混沌的研究尤為重要, 通過混沌同步可有效抑制并避免金融混沌的發(fā)生. 但不確定分數階混沌金融系統(tǒng)的自適應滑模同步問題尚未被系統(tǒng)研究, 基于此, 本文研究三維分數階金融不確定混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步的3種控制方案, 根據分數階滑模控制理論給出金融不確定分數階混沌系統(tǒng)取得滑模同步的3個充分條件.

1 主要結果

文獻[16]提出的金融模型為

(1)

其中a為儲蓄,b為單位投資成本,c表示市場需求彈性,x1為利率,x2為投資需求,x3為價格指數.當a=3.0,b=0.1,c=1時, 設置初值為(0.5,3,-0.5), 則系統(tǒng)(1)的吸引子如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(1)的吸引子Fig.1 Attractors of system (1)

考慮系統(tǒng)(1)對應的分數階系統(tǒng)[17]：

(2)

當a=3.0,b=0.1,c=1,q>0.85時, 設置初值為(0.5,4,-0.5), 則系統(tǒng)(2)的吸引子如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)(2)的吸引子Fig.2 Attractors of system (2)

以系統(tǒng)(2)為主系統(tǒng), 設計從系統(tǒng)為

(3)

其中Δf(φ(t))為不確定項,φ(t)=(y1,y2,y3)T,d(t)為系統(tǒng)外部擾動,u(t)為控制輸入, 定義ei=yi-xi,i=1,2,3, 得到誤差系統(tǒng)

(4)

假設1|Δf(φ(t))|≤g, |d(t)|≤h, 其中未知參數g,h>0.

(5)

自適應律為

(6)

(7)

當不在滑模面上運動時, 構造

(8)

根據引理1可得

由引理2可得

因此s(t)→0.

定理2在假設1條件下, 設計滑模函數s(t)=e1-ke3,k>0, 自適應律為式(6), 控制律為

(9)

當不在滑模面上運動時, 構造V(t)如式(8)， 根據引理1可得

定理3在假設1條件下, 設計滑模函數s(t)=e1, 自適應律為式(6), 控制律為

(10)

當不在滑模面上運動時, 構造V(t)如式(8)， 根據引理1可得

2 數值仿真

用MATLAB仿真程序進行仿真, 選取參數為a=3.0,b=0.1,c=1,q>0.85, 初始值設為

(x1(0),x2(0),x3(0))=(2.2,6,2.5),

(y1(0),y2(0),y3(0))=(-2,6,-6).

圖3 定理1的系統(tǒng)誤差曲線Fig.3 Systematic error curves of theorem 1

圖4 定理2的系統(tǒng)誤差曲線Fig.4 Systematic error curves of theorem 2

圖5 定理3的系統(tǒng)誤差曲線Fig.5 Systematic error curves of theorem 3

綜上, 本文研究了金融不確定三維分數階混沌系統(tǒng)的滑模同步, 根據分數階微積分理論得到分數階金融不確定混沌系統(tǒng)自適應滑模同步的3個控制方案, 并用MATLAB仿真程序檢驗了所得結論. 結果表明, 設計恰當的滑模函數可使金融不確定三維混沌系統(tǒng)的驅動-響應系統(tǒng)取得滑模同步.