一類數論函數的均值估計

郭 穎, 魯思彤, 馬 晶

(吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

Dirichlet證明了

文獻[4-5]分別改進了文獻[3]中關于一般數論函數的結果: 文獻[4]證明了若有α∈[0,1),θ≥0, 使得f(n)?nα(logn)θ, 則

文獻[5]證明了如果數論函數f滿足Ramanujan假設f(n)?nε(n≥1), 則

文獻[6]對Euler函數φ討論了類似的均值, 證明了

(1)

受文獻[6]研究工作的啟發, 本文對滿足適當條件的一般數論函數f給出Sf(x)的界, 得到如下主要結果:

(2)

則當x→∞時, 有

(3)

易見, 式(1)可作為定理1的直接推論.記f(x)=O(g(x))或f(x)?g(x)表示存在一個正的常數A(與x無關), 使得對所有充分大的x都有不等式|f(x)|≤Ag(x).函數[·]表示向下取整函數, [1/4]=0.關于指數對理論可參見文獻[13].

1 預備命題

設ψ(t)∶=t-[t]-1/2,δ∈{0,1}, 對任意的x≥2和1≤D≤x, 定義

記e(x)=exp{x}=ex.

引理1[14]對x≥1,H≥1, 有

其中e(t)∶=e2πit,Φ(t)∶=πt(1-|t|)cot(πt)+|t|, 并且余項RH滿足

命題1

Sδ(x,D)?(xκD1+λ)1/(κ+1)+xκD1-2κ+λlogx+x-1D3,

(4)

其中(κ,λ)是指數對.

記

由引理1可得

其中H≥1.記

(6)

其中

其中

因此, 對H≥1, 有

(8)

結合式(6)～(8)可得

Sδ(x,D,m,N)?NH-1+xκN-2κ+λHκ+x-1mN2.

(9)

最后, 利用引理2消去參數H.對H≥1,H的取值范圍為[1,N], 用引理2對式(9)進行優化, 得

將式(10)代入式(5), 可得

注意到對里層m求和時, 應用到

因此式(4)成立.證畢.

2 定理1的證明

令D∈[1,x1/2)為待定參變量,Sf(x)可分為兩部分:

Sf(x)∶=S1(x)+S2(x),

(12)

(13)

又由已知條件式(2)可得

(15)

且

(16)

此時, 記

將式(15)～(17)代入式(14), 可得

S2(x)≤Axlog(x/N)+O(x4/3N-1+xN-1/2logx+x2N-3).

(18)

最后, 將式(13)，(18)代入式(12)可得

Sf(x)≤xlogN+Axlog(x/N)+O(x4/3N-1+xN-1/2logx+x2N-3+x).

取N=x1/3得

記

記Dk∶=D/2k,K為滿足DK+1<1≤DK的整數.通過二分法分離變量和命題1代入指數對(κ,λ)=(1/2,1/2), 有

將式(20)代入式(19), 可得

S(x)≥AxlogD+O(x1/3D+x1/2D1/2logx+x-1D3).