求解體制轉換模型下美式期權定價問題的投影收縮算法

高子涵, 黃存昕, 宋海明, 周搏成

(吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

由于標準的美式期權無法準確解釋由短期政治或經濟不確定性而引起的周期性變化, 因此關于體制轉換下的期權定價模型研究得到廣泛關注. 假設標的資產S在ρ種體制下滿足隨機微分方程

(1)

(2)

(3)

與傳統美式期權定價問題類似, 體制轉換模型(2)在每種體制下都存在一條最佳實施邊界, 記為Bi(t).由于最佳實施邊界的存在以及不同體制下期權價格的耦合關系, 使變分不等方程(2)成為高度非線性變系數問題, 又因為該問題的求解區域無界, 因此很難給出高精度的數值算法.針對上述問題, 本文先利用相應的變量替換和遠場截斷技巧將原問題簡化為有界區域上的非線性問題, 再針對得到的非線性問題設計去除非線性影響的半隱式差分格式, 最后采用投影收縮算法(簡稱PCM算法)對離散系統進行快速求解.

1 模型簡化

下面以兩種體制下的美式看跌期權為例進行討論.首先通過變量替換[2]

t=T-τ,S=exp{x}，

(4)

將變系數方程(2)轉化為常系數形式:

(5)

進一步, 令V(x,τ,i)=W(x,τ,i)exp{αiτ+βix}[3], 其中

則方程(5)可簡化為

(6)

其中g(x,τ,i)=exp{-αiτ-βix}(K-exp{x})+,ξ=α2-α1,η=β2-β1.

由于簡化模型(6)是定義在無窮區域上的拋物型變分問題, 直接截斷求解區域會導致數值解不穩定或不精確, 因此本文將給出合理的截斷策略.

引理1[4]當σ1≥σ2,r1=r2時, 有

KX≤Bi(τ)≤K,Bi(0)=K，

其中X=min{X1,X2}.

引理3[5]給定ε∈(0,1), 則有

其中

進一步, 若r1=r2, 則有

Vi(x,τ)≤ε, ?x≥L0, 0<τ≤T,

根據引理1中關于期權價格和最佳實施邊界的估計式, 當r1=r2時, 可將變分不等問題(6)的求解區域進行截斷， 并給出合理的邊界條件.由標準看跌期權的性質可知, 當S≤Bi(t)時,Vi(x,t)=(K-S)+.因此, 對于左邊界, 根據引理2, 只要滿足截斷位置小于等于KX, 即可給出變分不等問題(2)的精確邊界條件, 進而在x≤ln(KX)處截斷, 便能給出變分不等問題(6)在左邊界處的精確邊界條件.根據引理3, 當給定足夠小的誤差限ε后, 變分不等問題(6)便可在x≥L0處截斷并設置0邊值條件.為敘述方便, 本文取L=max{-ln(KX),L0}作為截斷長度, 截斷后的求解區域用[-L,L]表示.因此， 有如下命題.

命題1給定ε∈ (0,1), 令L= max{-ln(KX),L0}.在滿足引理1的條件下, 取截斷長度為L, 則變分不等問題(6)左邊界條件精確成立, 右邊界估值合理.

基于上述討論, 問題(6)可化為如下有界規則區域上的線性互補問題:

(7)

至此, 已將無界區域上非線性問題(2)轉化為有界區域問題(7).

2 數值解法

首先考慮對線性互補問題(7)進行半隱式差分離散, 然后設計求解離散系統的PCM算法.在進行數值離散前, 先給出一些符號.假設時間剖分和空間剖分分別為

此時可將方程(7)轉化為如下離散形式：

(8)

(9)

其中

Ci=-Δτaildiag(exp{(-1)l(ξτn+ηxj)}), 1≤j≤Nx-1,

記

則式(9)可改寫為

(MΦ+F,Φ-G)=0.

(10)

同理式(8)中的約束條件可簡寫為

MΦ+F≥0,Φ-G≥0.

(11)

定理1約束條件(11)中的矩陣M對稱正定.

證明: 對稱性顯然, 下證正定性.由矩陣M的定義可知,M為嚴格對角占優矩陣.設λ為矩陣M的任一特征值, (mij)為矩陣元素, 根據Gerschgorin定理[6]有

λ≥mi,i- |mi,i-1|-|mi,i+1|>0.

(12)

由對稱性及特征值全部為正數可知, 矩陣M是一個對稱正定矩陣.

由文獻[7]可知, 若矩陣M對稱正定, 則線性互補問題(10),(11)解存在唯一, 進而可得本文離散系統解的存在唯一性.

定理2離散格式(8)穩定, 即‖Φn+1‖∞≤C‖Φ0‖∞.

從而有

‖Φn+1‖∞≤(1+Δτailexp{(-1)l(ξτn+ηxj)})‖Φn‖∞.

(13)

‖Φn+1‖∞≤(1+Δτa)‖Φn‖∞.

因為max{exp{-αiΔτ},1+aΔτ}n+1=max{exp{-αiΔτ(n+1)},(1+aΔτ)n+1}, 所以有

令C=max{exp{-αiT},exp{aT}}, 則可得結論.證畢.

3 PCM收斂性分析

考慮線性變分不等問題(LVI):

(V-Φ)T(MΦ+F)≥0,Φ∈Ω, ?V∈Ω.

(14)

當Ω={Φ∈n|Φ≥0}時, 線性互補問題(LCP)是一個特殊的(LVI)問題, 其中(LCP)問題為

Φ≥0, (MΦ+F)≥0,ΦT(MΦ+F)=0.

(15)

故可借助(LVI)問題的性質研究(LCP)問題的性質. 下面針對(LVI)問題的PCM算法給出收斂性分析.

(LVI)問題等價于下列線性投影問題[8]：

e(Φ)=Φ-PΩ[Φ-(MΦ+F)].

(16)

對給定的Φ0∈n, 如果Φk?Ω*, 則定義迭代Φk+1=Φk-ρ(Φk)d(Φk), 上行方向

d(Φk)=(MT+I)e(Φk),

設問題(14)的解集為Ω*, 由PCM算法的定義, 可得如下引理.

引理4[8]任取Φ*∈Ω*, 則(Φ-Φ*)T(I+MT)e(Φ)≥‖e(Φ)‖2, ?Φ∈n.

引理5[8]由PCM算法產生的序列{Φk}滿足

‖Φk+1-Φ*‖2≤‖Φk-Φ*‖2-ρ(Φk)‖e(Φk)‖2, ?Φ*∈Ω*.

‖Φk+1-Φ*‖2≤‖Φk-Φ*‖2-c‖e(Φk)‖2, ?Φ*∈Ω*.

(17)

式(17)表明‖e(Φ)‖是測量Φ與Ω*之間距離的函數, 如果‖e(Φ)‖較大, 則每次迭代可以向解集近一步, 如果‖e(Φ)‖較小, 則表明Φk能很好地近似Ω*中的一個解Φ*.根據文獻[8]中的收斂性理論可給出如下定理.

定理3由PCM算法產生的序列{Φk}收斂于解集Ω*中的某個解Φ*, 且當Ω={Φ|Φ≥0}時, {Φk}全局線性收斂于Φ*∈Ω*.

則序列{Φk}有界.此外, 由式(17)可得

且有

令Φ*是{Φk}的一個聚點且有子列{Φkj}收斂于Φ*.因為e(Φ)連續, 故有

即Φ*是(LVI)問題的一個解.因為Φ*∈Ω*, 且

‖Φk+1-Φ*‖≤‖Φk-Φ*‖,

(18)

(20)

式(19)和式(20)相加, 則有

(Φ-w)(I+MT)e(Φ)≥‖e(Φ)‖2.

令Φ=w, 則有e(w)=0, 即w∈Ω*, 故Ω*是一個閉凸集.因為{Φk}收斂到一個解Φ*, 且

{Φk}?{Φ∈n|‖Φ-Φ*‖≤‖Φ0-Φ*‖},

由式(17),(18)可知

(21)

其中0<1-cη2<1, 即滿足全局線性收斂.

4 數值實例

考慮對一年期(T=1)美式看跌期權定價問題(2)進行數值模擬, 對于方程(2), 選取文獻[2]中的參數：

(22)

圖1 不同體制模型下PCM算法與TT算法求得的期權價格二維圖像對比Fig.1 Comparison of two-dimensional images of option prices obtained by PCM algorithm and TT algorithm under different regime models

雖然文獻[2]指出式(22)中r1≠r2, 但本文截斷技巧仍然有效.在命題1中, 取ε=10-6, 可得截斷邊界L=7.494 8.在差分離散中, 取時間分劃份數Nt=800, 空間分劃份數Nx=600.在PCM中, 取ν=0.9,μ=0.1,ρ=1.9.則在上述參數設定下, PCM算法求得的期權價格與三叉樹算法(簡稱TT算法)求得的期權價格對比結果如圖1所示. 由圖1可見, PCM算法求解的期權價格與TT算法求解結果非常接近, 表明了本文算法的正確性. 當Nt=500,Nx=300時, TT算法的運算時間約是PCM算法的15倍, 證明了PCM算法的有效性. PCM算法求得期權價格的三維圖像如圖2所示.

圖2 不同體制模型下PCM算法求得期權價格的三維圖像Fig.2 Three-dimensional images of option prices obtained by PCM algorithm under different regime models

綜上, 本文研究了體制轉換下美式期權定價問題的數值解法. 首先通過分析體制轉換美式期權與傳統美式期權在價格和最佳實施邊界上的關系, 給出合理的區域截斷策略和邊界條件, 將其轉化為有界區域上的線性互補問題; 然后針對線性互補問題的結構, 采用半隱式差分格式進行數值離散, 并給出差分格式的穩定性證明; 最后根據離散系統的特點, 采用PCM算法進行求解, 給出了該算法的收斂性分析, 并通過數值模擬驗證了PCM算法的有效性.