一類二階積-微分方程邊值問題解的存在性與唯一性

王婷婷, 李永祥

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言與主要結果

考慮二階非線性積-微分方程邊值問題(BVP):

(1)

解的存在性與唯一性, 其中:f: [0,1]×2→連續;S為Fredholm型積分算子,

其核K(t,s): [0,1]×[0,1]→+連續.非線性積-微分方程邊值問題在力學、 控制論、 金融數學等領域應用廣泛.特別地, 描述兩端簡單支撐的彎曲彈性梁平衡狀態的四階常微分方程邊值問題:

(2)

可化為二階積-微分方程邊值問題BVP(1), 其中g: [0,1]×2→連續.事實上, 令u(t)=-v″(t), 則

(3)

其中

(4)

于是BVP(2)可化為

(5)

取f(t,x,y)=g(t,y,-x), 則BVP(5)可化為BVP(1)的形式.因此積-微分方程邊值問題BVP(1)應用廣泛, 并已得到廣泛關注[1-9].目前的研究方法主要有上下解方法[1-2]、 單調迭代方法[3-6]和錐上的不動點定理[7-9]等.

文獻[1]用上下解方法討論了一般二階積-微分方程邊值問題解的存在性, 并把所得結果應用于一些高階常微分方程邊值問題中; 文獻[2]在非線性項f(t,x,y)滿足較弱的單調性條件下, 用上下解方法得到了一些存在性結果; 文獻[3-6]討論了有序Banach空間中BVP(1)的可解性, 通過建立相應線性方程的比較原理, 在非線性項滿足適當的單調性條件下, 構造了單調迭代求解序列, 并通過討論迭代序列的收斂性獲得了BVP(1)解的存在性與唯一性結果; 文獻[7-9]在非線性項f(t,x,y)非負, 且f(t,x,y)關于x和y在|(x,y)|→0及|(x,y)|→+∞時超線性或次線性增長的條件下, 應用錐映射不動點定理獲得了BVP(1)正解的存在性.

本文用與上述文獻不同的方法討論BVP(1)解的存在性與唯一性.不假設f滿足單調性條件, 也不要求f非負, 而在一個易驗證的不等式條件下, 應用Leray-Schauder不動點定理給出BVP(1)解的存在性結果.

假設條件:

f(t,x,y)x≤ax2+by2+c,t∈[0,1],x,y∈;

(f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1))(x2-x1)≤a(x2-x1)2+b(y2-y1)2.

定理1設f: [0,1]×2→連續, 若f滿足條件(H1), 則BVP(1)至少有一個解.

定理1中, ‖K‖2為積分算子S的積分核K(t,s)的L2-范數.條件(H1)允許f(t,x,y)關于x與y超線性增長, 例如:

f(t,x,y)=2x-3x3-4xy2+sin(πt),

(6)

對任意的積分核K∈C([0,1]2)均滿足條件(H1).

加強定理1的條件(H1), 有如下存在唯一性結果.

定理2設f: [0,1]×2→連續, 若f滿足條件(H2), 則BVP(1)有唯一解.

2 預備知識

設h∈L2(I).為討論BVP(1), 先考慮相應的二階線性邊值問題(LBVP):

(7)

引理1對?h∈L2(I), LBVP(7)有唯一解u∶=Th∈H2(I), 且下列結論成立:

1) 解算子T:L2→H2(I)為線性有界算子;

2) 當h∈C(I)時,u∈C2(I), 且T:C(I)→C(I)為線性全連續算子;

證明: 1) 對?h∈L2(I), 因為正弦函數系{sin(kπt)|k=1,2,…}為L2(I)中的完備直交系, 故h可在L2(I)中展開為正弦級數:

(8)

(9)

易驗證

(10)

是LBVP(7)的唯一解.由式(10)及Parseval等式易證T:L2(I)→H2(I)為線性有界算子, 故結論1)成立.

3) 余弦函數系{cos(kπt)|k=0,2,…}也是L2(I)中的完備直角系, 故每個v∈L2(I)也可展開為余弦級數:

(11)

于是, 由式(10)、 式(11)及Parseval等式, 有

因此結論3)成立.

4) 按積分算子S的表達式及H?lder不等式, 有

即結論4)成立.

3 主要結果的證明

3.1 定理1的證明

對?u∈C(I), 令

F(u)(t)∶=f(t,u(t),Su(t)),t∈I.

(12)

則由f:I×2→的連續性及積分算子S:C(I)→C(I)的連續性知,F:C(I)→C(I)連續, 且將C(I)中的有界集映為C(I)中的有界集.設T:C(I)→C(I)為LBVP(7)的解算子, 定義復合映射

A=T°F,

(13)

則由T:C(I)→C(I)的全連續性知,A:C(I)→C(I)為全連續算子.由算子T的定義, BVP(1)的解等價于A的不動點.下面對A應用Leray-Schauder不動點定理, 證明A存在不動點.

考慮同倫簇方程

u=λAu, 0<λ<1.

(14)

下證方程簇(14)的解集在C(I)中有界.設u∈C(I)為方程簇(14)中某個λ∈(0,1)對應的方程的解, 則u=λT(F(u))=T(λF(u)).由T的定義,u為h=λF(u)∈C(I)相應的LBVP(7)的解.因此,u∈C2(I)滿足方程

(15)

將方程(15)的兩邊同時乘以u(t), 并在I上積分, 由條件(H1), 得

對式(16)左邊分部積分, 并由引理1中3)和4), 得

因此, 有

(17)

故對?t∈I, 有

于是,

(18)

即方程簇(14)的解集在C(I)中有界.由Leray-Schauder不動點定理知,A在C(I)中有不動點u0, 該不動點為BVP(1)的解.

3.2 定理2的證明

首先證(H2)?(H1).設a,b為條件(H2)中的常數.令

(19)

因此,f(t,x,y)對常數a1,b1,c1滿足條件(H1).故由定理1知, BVP(1)有解.

其次證解的唯一性.設u1,u2∈C2(I)為BVP(1)的兩個解, 則u1,u2均為A的不動點.令u=u2-u1, 則由A的定義, 有

u=u2-u1=Au2-Au1=T(F(u2)-F(u1)).

因此由T的定義,u為h=F(u2)-F(u1)∈C(I)對應的LBVP(7)的解, 故u滿足方程

(20)

將方程(20)兩邊同時乘以u(t), 由條件(H2), 有

將式(21)兩邊同時在I上積分, 并左端分部積分、 右端應用引理1中3)和4), 有

4 對簡支梁方程的應用

設g:I×2→連續, 考慮四階常微分方程邊值問題BVP(2).BVP(2)是描述兩端簡單支撐的彎曲彈性梁方程平衡態的數學模型.由于其重要的物理背景, 因此對該問題解存在性的研究備受關注.文獻[10]在非線性項有界的情形下獲得了BVP(2)解的存在性; 文獻[11]在一個涉及相應的兩參數特征值問題的非共振條件下, 獲得了BVP(2)解的存在性; 文獻[12-13]改進了文獻[11]的結果, 分別在用矩形與橢圓描述的兩參數非共振條件下, 獲得了BVP(2)解的存在性與存在唯一性結果; 文獻[11-13]中的兩參數非共振條件均限制了g(t,x,y)關于x和y是一次增長的, 不適于超線性增長的情形； 文獻[14-16]在g(t,x,y)非負的情形下, 獲得了BVP(2)正解的存在性.但文獻[14-16]的結果不適于g(t,x,y)0的情形.下面應用定理1和定理2給出與上述文獻不同的結果.

假設條件:

-g(t,x,y)y≤ay2+bx2+c,t∈I,x,y∈;

-(g(t,x2,y2)-g(t,x1,y1))(y2-y1)≤a(y2-y1)2+b(x2-x1)2.

定理3設g:I×2→連續, 若g滿足條件(H3), 則BVP(2)至少有一個解.

定理4設g:I×2→連續, 若g滿足條件(H4), 則BVP(2)存在唯一解.

證明: 在BVP(2)中, 令

u(t)=-v″(t),t∈I;f(t,x,y)=g(t,y,-x),t∈I,x,y∈.

(23)

例1考慮四階邊值問題

(24)

該問題對應于BVP(2)的非線性項為

g(t,x,y)=18x+3x2y+5y3+2t(1-t),t∈I,x,y∈.

(25)

因此,g(t,x,y)滿足條件(H3).由定理3知, BVP(24)至少存在一個解.

例2考慮四階邊值問題

(26)

該問題相應于BVP(2)的非線性項為

g(t,x,y)=12x-3y+5y3+sin(πt),t∈I,x,y∈.

(27)

ξ=x1+θ(x2-x1),η=y1+θ(y2-y1),

其中θ∈(0,1), 使得

因此,g(t,x,y)滿足條件(H4).由定理4知, BVP(26)存在唯一解.