非齊次的兩端固定支撐梁方程多個正解的存在性

李 陽

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 西安 710126)

1 引言與主要結(jié)果

梁是工程建筑的基本構(gòu)件, 梁的形變可由四階常微分方程邊值問題刻畫, 梁兩端不同的支撐方式對應(yīng)不同的邊界條件. 對于不同邊界條件下梁方程可解性的研究目前已有很多結(jié)果[1-11]. 本文考慮兩端固定支撐的靜態(tài)梁方程, 關(guān)于這類方程的研究已被廣泛關(guān)注. 例如： Yao[1]應(yīng)用Krasnoselskii拉伸壓縮不動點定理研究了四階特征值問題

正解的存在性, 其中f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),λ>0; 馬如云等[2]研究了帶齊次邊界條件的兩端固定支撐邊值問題

(1)

利用錐上的不動點理論及相應(yīng)齊次問題Green函數(shù)的性質(zhì)得到了多個正解的存在性, 其中f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).文獻[1-2]研究的問題其邊界條件都是齊次的.

本文研究帶非齊次邊界條件的兩端固定支撐靜態(tài)梁方程

(2)

多個正解的存在性, 其中b>0,f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).

本文總假設(shè):

(H1)f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞));

(H3) 對給定的t∈[0,1],f(t,u)關(guān)于u單調(diào)遞增.

本文的主要結(jié)果如下:

定理1若(H1)～(H3)成立, 則存在b*>0, 使得當(dāng)0b*時, 問題(2)無正解.

結(jié)合文獻[12]的推論1, 有以下結(jié)論:

定理2若u∈C4([0,1]), 且滿足

(3)

注2Cabada等[13]在f本身非單調(diào)但要求f(t,u)+Mu關(guān)于u單調(diào)的條件下, 證明了齊次邊界條件下上下解方法成立.

定理3假設(shè)f∈C([0,1]×,),α1,β1分別是問題(1)的上解和下解, 即α1∈C4[0,1], 且滿足

β1∈C4[0,1], 且滿足

若β1≤α1且存在k, 使得0≤k≤4π4時,

f(t,β1(t))+kβ1(t)≤f(t,u)+ku≤f(t,α1(t))+kα1(t),β1(t)≤u(t)≤α1(t)

成立, 則問題(1)至少存在一個解u(t), 且β1(t)≤u(t)≤α1(t).

2 預(yù)備知識

(4)

其Green函數(shù)為

引理1[2]對任意的t,s∈[0,1],G(t,s)有以下性質(zhì):

1)G(t,s)≥0,G(t,s)≤G(τ(s),s);

引理2帶非齊次邊界條件的兩端固定支撐邊值問題(2)等價于積分形式

(5)

證明: 考慮帶非線性項的四階齊次邊值問題

的解為u(t)=-2bt3+3bt2.因此, 問題(2)等價于式(5)的積分形式.證畢.

在定理2中, 當(dāng)m=0時, 下列極大值原理成立.

引理3若u∈C4[0,1], 且滿足

則u(t)≥0,t∈[0,1].

3 存在性與不存在性

定理4若(H1)～(H3)成立, 則存在b*>0, 使得當(dāng)0≤bb*時, 問題(2)無正解.

證明: 證明分三步.

1) 證明當(dāng)b充分小且b≥0時, 問題(2)存在正解.

(6)

顯然,A:D→C[0,1]是全連續(xù)的, 并且根據(jù)引理2,u是問題(2)的解當(dāng)且僅當(dāng)u=Au.

稱算子A:D→D.事實上, 對任意的t∈[0,1], 有

從而Av∈D.由Schauder不動點定理知,A在D中有一個不動點, 從而問題(2)至少有一個正解.

2) 證明當(dāng)b充分大時, 問題(2)無解.設(shè)h(t)是問題

的解, 則h(t)=-2t3+3t2, 且u是問題(2)的解當(dāng)且僅當(dāng)v=u-bh是問題

(7)

的解.

3) 設(shè)Λ={b|問題(2)至少有一個正解},b*=supΛ, 則0

(8)

(9)

考慮修正后的問題

(10)

由于f*有界, 故問題(10)有解ub(t).

4 上下解方法

定義1若

(11)

則稱α∈C4[0,1]是問題(2)的上解.

若

(12)

則稱β∈C4[0,1]是問題(2)的下解.

設(shè)α(t),β(t)分別是問題(2)的上解和下解, 且滿足β(t)≤α(t),t∈[0,1].定義

(13)

考慮輔助問題

(14)

顯然, 如果u是輔助問題(14)的解, 且β(t)≤u(t)≤α(t), 則u是問題(2)的解.

引理4假設(shè)(H1)～(H3)成立, 則對于問題(14)的任意解u, 必有β(t)≤u(t)≤α(t).

證明: 定義算子A*:C[0,1]→C[0,1],

(15)

顯然,A*:C[0,1]→C[0,1]是緊算子, 且A*的不動點u是問題(14)的解.

令ω(t)=u(t)-β(t), 由(H3)可得f*(t,u(t))-f(t,β(t))≥0,t∈[0,1].從而

又由引理3得ω(t)≥0,t∈[0,1], 因此u(t)≥β(t),t∈[0,1].同理, 令ω(t)=α(t)-u(t), 可得u(t)≤α(t),t∈[0,1].

綜上,β(t)≤u(t)≤α(t),t∈[0,1].證畢.

引理5若問題(2)有上解α(t)和下解β(t), 則問題(2)有解u(t), 且β(t)≤u(t)≤α(t).

證明: 由式(15)知,A*:C[0,1]→C[0,1]是全連續(xù)算子.由于f*(t,u(t))在[0,1]上有界, 因此,A*在[0,1]上有界.由Schauder不動點定理,A*有一個不動點u.由引理4,β(t)≤u(t)≤α(t), 且u(t)也是問題(2)的解.證畢.

5 多解性

為保證問題(2)的所有可能解都是正的, 本文約定:f(t,u)=f(t,0)，u<0.

引理6假設(shè)b為屬于(0,∞)的緊子集, 則存在常數(shù)C, 使得對問題(2)的任意解, 均滿足‖u‖≤C.

證明: 設(shè)u是問題(2)的任意一個解, 令y(t)=-2bt3+3bt2, 則

由引理1和引理2得,

矛盾.因此, 問題(2)的任意解u(t)有界, 即存在常數(shù)C, 使得問題(2)的任意解均滿足‖u‖≤C.證畢.

下面證明b*∈Λ.事實上, 取bn→b*且bn∈Λ, 滿足b1

設(shè)u*是問題

(16)

的解.設(shè)ε>0, 定義

考慮輔助問題

(17)

定義算子

構(gòu)造Ω={u∈C[0,1]|-ε≤u(t)≤u*(t)+ε}.

證明: 由于β=0滿足

可以驗證,α=u*滿足

因此, 0是問題(17)的下解,u*是問題(17)的上解.從而-ε≤0≤u(t)≤u*(t)≤u*(t)+ε, 進而可得u∈Ω.證畢.

下面證明定理1.設(shè)0

由于0是問題(2)的下解,u*是問題(2)的一個上解, 由引理4知問題 (2)有解ub, 且0≤ub(t)≤u*(t),b∈(0,b*), 從而ub∈Ω.當(dāng)b>b*時, 問題(2)沒有正解.

再由切除性得

因此, 當(dāng)b∈(0,b*)∩I時, 問題(2)存在第二個正解.定理1證畢.