一階非線性邊值問題正解的存在性和多解性

雷 想 兵

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言及主要結果

一階常微分方程邊值問題應用廣泛[1-3]. 目前， 關于一階周期邊值問題解的存在性研究已得到廣泛關注[4-15]. 特別地, Peng[4]用錐上的不動點定理研究了非線性項f滿足至多線性增長條件時一階微分方程周期邊值問題

(1)

正解的存在性, 其中f∈C([0,T]×,),T>0； Tisdell[5]用Leray-Schauder度的性質和不動點理論研究了一階微分方程周期邊值問題

(2)

解存在的一些充分條件, 其中f∈C([0,1]×,),a∈C([0,1],)連續且在[0,1]的任意子區間上a(t)不恒為0.

文獻[4-5]用不動點理論研究了齊次邊界條件下一階微分方程解的存在性問題.本文用上下解方法及拓撲度理論研究一階微分方程邊值問題

(3)

正解的存在性及多解性， 并討論問題(3)正解的個數隨參數b的變化情況.

假設:

(H1)b是一個正參數,a: [0,1]→[0,∞)連續， 且在[0,1]的任意子區間上a(t)不恒為0;

(H2)f: [0,+∞)→[0,+∞)連續， 且滿足

本文主要結果如下:

定理1假設(H1),(H2)成立, 則存在一個b*>0, 使得當0b*時, 問題(3)沒有正解.

注1當b=0時, 問題(3)可退化為一階微分方程周期邊值問題， 關于其解的存在性結果可參見文獻[6-10,12,15].

2 預備知識

(4)

其中

在X中定義錐

K={u∈X|u(t)>0,u(t)≥σ‖u‖,t∈[0,1]}.

定義算子T:X→X,

引理1假設(H1)，(H2)成立, 則T(K)?K， 且算子T:K→K全連續.

證明: 對任意的u∈K,t∈[0,1], 有

因此T(K)?K.再根據Arzèla-Ascoli定理易得T:K→K全連續.證畢.

3 正解的存在性及不存在性

引理2假設(H1)，(H2)成立, 若b充分小, 則問題(3)至少存在一個正解; 若b充分大, 則問題(3)不存在正解.

證明: 設h是問題

的解, 這里

u稱為問題(3)的一個正解當且僅當v=u-bh是問題

(5)

的一個非負解.

事實上, 若v是問題(5)的解, 則有

另一方面， 有

反之類似可證, 因此u是問題(3)的一個正解當且僅當v=u-bh是問題(5)的一個非負解.

由式(4)可知, 問題(5)等價于積分方程

其中p是問題

定義X的一個閉凸子集：

D={u∈X|0≤u(t)≤b1,t∈[0,1]},

對任意的w∈D, 設Aw=v是方程

的解.顯然,A:D→X的一個全連續算子.假設b

表明A:D→D.根據Schauder不動點定理,A有一個不動點v∈D, 則u=v+bh是問題(3)的一個正解.

下面證明當b充分大時, 問題(3)不存在正解.設u是問題(3)的一個解, 則v=u-bh是問題(5)的一個解, 且有

(6)

事實上, 由于

且有

因此易見式(6)成立.

于是

4 多解性

定義1若α滿足

則α∈C1[0,1]稱為問題(3)的下解.

定義2若β滿足

則β∈C1[0,1]稱為問題(3)的上解.

引理3假設(H1)，(H2)成立， 設α和β分別是問題(3)的下解和上解, 則問題(3)至少存在一個解u， 滿足

α(t)≤u(t)≤β(t),t∈[0,1].

證明: 考慮輔助問題

(7)

其中

顯然, 要證明問題(3)有一個解u且滿足α(t)≤u(t)≤β(t), 只需證明問題(7)有一個解u且滿足α(t)≤u(t)≤β(t)即可.

首先, 證明問題(7)有一個解, 令

z(u(t))=min{max{u(t),α(t)},β(t)},

顯然,z(u(t))是一個連續函數, 且f*(u(t))=f(z(u(t)))-arctan(u(t)-z(u(t))), 從而f*(u(t))連續.設

B={u(t)∈X|α(t)≤u(t)≤β(t),t∈[0,1]},

定義算子T*:X→X，

則T*全連續.由于f*有界, 故T*有界.由Schauder不動點定理知,T*有一個不動點, 即為問題(7)的一個解.

其次, 證明α(t)≤u(t)≤β(t),t∈[0,1].只證α(t)≤u(t), 而u(t)≤β(t)的情形同理可證.

記ζ(t)=α(t)-u(t).反設存在t*∈[0,1], 使得ζ(t*)>0.下面分3種情形討論.

情形1) 若t*∈(0,1), 不失一般性, 設ζ在t*處取得最大值, 則ζ′(t*)=0.另一方面, 由定義1及f*的定義可知

因此ζ′(t*)<0, 與ζ′(t*)=0矛盾.

情形2) 若t*=0, 則ζ(0)>0,ζ(t)≤0于t∈(0,1].由定義1知

ζ(0)=α(0)-u(0)≤b+α(1)-b-u(1)≤0,

顯然, 與ζ(0)>0矛盾.

情形3) 若t*=1, 則ζ(1)>0,ζ(t)≤0于t∈[0,1), 此時, 存在τ∈[0,1), 使得ζ(τ)=0且ζ(t)>0于t∈(τ,1].由定義1知, 對t∈(τ,1]， 有

表明ζ(t)是(τ,1]上的減函數, 因此

ζ(t)<0,t∈(τ,1].

與ζ(1)>0矛盾.

類似可證明u(t)≤β(t),t∈[0,1].于是有α(t)≤u(t)≤β(t),t∈[0,1].證畢.

引理4假設(H1)，(H2)成立,Y?(0,∞)為緊子集, 若b∈Y, 則存在常數m>0, 使得問題(3)的所有解u滿足‖u‖≤m.

證明: 設{un}是問題(3)的解集, 與其對應的{bn}∈Y.反設{un}無界, 即‖un‖→∞,n→∞.由引理1知,un∈K.因為f∞=∞, 故存在常數q>0, 使得當u≥q時,f(u)≥ηu, 其中η>0滿足

又因為當n→∞時, ‖un‖→∞, 故存在N, 使得當n>N時, 有un(t)≥q, 從而

顯然矛盾, 命題得證.

記Λ={b>0|問題(3)至少有一個正解}, 由引理2可知,Λ有界.設supΛ=b*, 則b*∈Λ.事實上, 取{bn}∈Λ且滿足

0

顯然{bn}有界, 再設bn→b*,n→∞, 由引理4知bn對應于問題(3)的解un有界, 再結合算子T的緊性易知b*∈Λ.

為保證問題(3)的所有可能解非負, 本文約定: 如果u<0, 則f(u)=f(0).設ub*是問題(3)對應于b*的解, 令

記

Ω={u∈X|-ε

|f(ub*(t)+ε)-f(ub*(t))|

其中0

因此

(ub*(t)+ε)′≥-a(t)(ub*(t)+ε)+f(ub*(t)+ε).

另一方面, 有

(ub*+ε)(0)-(ub*+ε)(1)=ub*(0)-ub*(1)=b*>b.

所以ub*(t)+ε是問題(3)的一個上解, 再由引理3知u≤ub*+ε.證畢.

下面證明定理1.設b∈(0,b*), 由引理5的證明知ub*和0分別是問題(3)的一個上解和下解, 根據引理3知， 問題(3)存在解ub滿足0≤ub≤ub*, 因此當0b*時, 問題(3)不存在正解.進一步, 由引理5知, 當0

另一方面, 由引理4可知, 問題(3)的所有解有界, 因此

deg(I-T,B(0,L),0)=d,

其中d是常數,L充分大.因為當b>b*時, 問題(3)不存在正解, 所以d=0.再由拓撲度的切除性可知

deg(I-T,B(0,L)Ω,0)=-1,

因此, 當0