一類雙曲方程行波解的存在性及漸近穩(wěn)定性

孫 聰, 宋文晶, 閆東澤

(1. 吉林財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130117； 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

考慮Klein-Gordon方程：

utt-Δu+u=aup-1-buq-1,t>0, (x,y)∈2,

(1)

設(shè)c>0為一個(gè)常數(shù), 考慮方程(1)的形如u(x,y,t)=u(x-ct,y)的行波解, 將其代入方程(1)可得

(c2-1)uξξ-uyy+u-aup-1+buq-1=0,ξ=x-ct.

(2)

因此, 討論方程(1)行波解的存在性只需討論方程(2)非平凡解的存在性即可.

1 預(yù)備知識(shí)

(3)

該內(nèi)積誘導(dǎo)的模為

(4)

令E表示以式(4)為模的X的完備化空間, 顯然其為Hilbert空間.

引理1[15]對(duì)μ>0,λ≥0, 2≤p<∞, 有連續(xù)嵌入關(guān)系E?Lp(2).

引理3[13]設(shè)un為E中的有界列, 且

其中B(x,y,δ)表示以(x,y)為圓心、 以δ為半徑的圓.則對(duì)?p>2, 在Lp(2)中有un→0.

引理4(山路引理)[16]設(shè)Y是Banach空間,I∈C1(Y,)滿足下列條件:

1)I(0)=0, 且存在ρ>0使得I|?Bρ(0)≥α>0;

Γ={g∈C([0,1],Y):g(0)=0,g(1)=1}.

2 主要結(jié)果

考慮問題

(5)

(H3) 存在γ>2, 使得?s∈,γF(s)≤sf(s).

引入E上的泛函

(6)

顯然有J′(u)∈C2(E,), 可知問題(5)的解即為式(6)的臨界點(diǎn).

定理1若假設(shè)條件(H1)～(H3)成立, 則問題(5)存在非平凡解.

證明： 對(duì)?ε>0, 由(H1)可知, ?C(ε), 使得

(7)

從而

(8)

其中C1(ε)=C(ε)/q.

由引理1及式(6)可知, ?C2,C3, 使得

(9)

J(un)→c,J′(un)→0.

(10)

由條件(H3)可知, 當(dāng)n充分大時(shí), 有

其中〈J′(un),un〉表示泛函J′(un)在un處的值.由式(11)可知, ‖un‖E有界.

下面令

(12)

若θ=0, 則由引理3可知, 對(duì)?p>2, 在L2()中有un→0.從而

但這與已知矛盾, 進(jìn)而θ>0.

由式(12)可知, 當(dāng)n充分大時(shí), 有

(14)

由式(14)可知, ?{(ξn,yn)∈2}滿足

(15)

由式(15)可知,J′(ν)=0, 從而ν即為方程(1)的非平凡解.證畢.

下面采用加權(quán)能量估計(jì)方法證明方程(1)行波解的漸近穩(wěn)定性.考慮方程(1)的初值問題

(16)

假設(shè)方程(1)的行波解為u(x,y,t)=φ(x-ct,y)=φ(ξ,y), 滿足

(c2-1)φξξ-φyy+φ-aφp-1+bφq-1=0,ξ=x-ct.

定義v(ξ,y)=u(x,y,t)-φ(ξ,y), 則可得如下擾動(dòng)問題：

(17)

定義函數(shù)空間及范數(shù):

X(0,T)={v(ξ,y)|v∈C([0,T];H2;H2),vξξ,vyy∈L2((0,T);H2;H2)},

特別地, 定義

X(0,∞)={v(ξ,y)|v∈C([0,∞);H2;H2),vξξ,vyy∈L2((0,∞);H2;H2)},

N2(T)≤CTN2(0),

(18)

其中CT>0為常數(shù).

引理6若引理5的條件成立, 則方程(17)存在全局解v(ξ,y)∈X(0,+∞), 同時(shí)存在一個(gè)不依賴于t的常數(shù)C, 使得

N2(∞)≤CN2(0).

(19)

引理5的證明與文獻(xiàn)[17]中定理2.2的證明類似, 引理6的證明與文獻(xiàn)[18]中命題4.3的證明類似, 故略.

定理2若φ是初值問題(16)的行波解, 滿足

(20)

證明: 首先, 定義一個(gè)加權(quán)函數(shù)ω(ξ)=e-2ξ.由式(19),(20), 有

表明

(22)

由相應(yīng)的能量估計(jì)及Sobolev不等式[19]H1()C(), 可得

max‖V(ξ,y)‖≤2‖v(ξ,y)‖1/2·‖vξ(ξ,y)‖1/2.

因?yàn)閙ax‖V(ξ,y)‖有界, 結(jié)合式(21), 有

(23)