建模以靜制動(dòng)問(wèn)題情境 發(fā)展數(shù)學(xué)基本思維方法
——以“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題專題”團(tuán)隊(duì)教研為例

?江蘇省如皋市丁堰鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 黃曉蘭

1 引言

陽(yáng)春三月，春暖花開，又是一年初中畢業(yè)生緊張的備考階段，九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科組成員個(gè)個(gè)摩拳擦掌，投身到為學(xué)生沖刺中考做好服務(wù)的工作行列.學(xué)科組教師分組分專題編寫導(dǎo)學(xué)案，再由學(xué)科教研組集體通過(guò)，對(duì)備考的前期工作做好了規(guī)劃.筆者帶過(guò)幾屆畢業(yè)班，因此，義不容辭承擔(dān)了初中數(shù)學(xué)備考中難啃的骨頭——涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的專題.本次學(xué)科組教研的重點(diǎn)就是研究“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題專題”的導(dǎo)學(xué)案，筆者是這次教研活動(dòng)的中心發(fā)言人.以下是本次教研活動(dòng)的一些做法和要點(diǎn)記錄.

2 精心規(guī)劃專題類型，擬好幫助學(xué)生系統(tǒng)備考的導(dǎo)學(xué)案

在中考試題中，“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”通常以圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)在某線段或曲線上運(yùn)動(dòng)為載體，試題開放性強(qiáng).這類問(wèn)題解決方法的切入點(diǎn)是找到特殊點(diǎn)，再通過(guò)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)靈活解決問(wèn)題.

研討片段1：

筆者：“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”的解題關(guān)鍵是以靜制動(dòng)、動(dòng)中求靜.因?yàn)樗w了諸多的數(shù)學(xué)思想，如分類、轉(zhuǎn)化、方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等，試題突出了對(duì)幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的考查.我認(rèn)為要做好以下三點(diǎn)：

(1)以教材涉及的三角形、四邊形、函數(shù)圖象等圖形為載體，在不同的層面和不同的運(yùn)動(dòng)變化方式中讓學(xué)生學(xué)會(huì)“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”的數(shù)學(xué)思維方法，體會(huì)圖形性質(zhì)及圖形變化是基礎(chǔ)，空間觀念和合情推理是思維方法的數(shù)學(xué)建模過(guò)程.

(2)幫助學(xué)生打好解決圖形在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同的特定位置時(shí)的基礎(chǔ)，以此作為計(jì)算推理的突破口，從而感悟、觀察、分析圖形變化的思考方法.

(3)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”最有效的思維方式，它蘊(yùn)含了動(dòng)態(tài)幾何的核心問(wèn)題，幫助學(xué)生形成分類、轉(zhuǎn)化、方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，是備考的重要目標(biāo).

教師甲：從你擬定的導(dǎo)學(xué)案初稿可以看到，近年來(lái)考查的主要內(nèi)容有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和圖形動(dòng)幾種形式.我認(rèn)為這只是對(duì)動(dòng)態(tài)的理解，能不能對(duì)題目的知識(shí)體系進(jìn)行分類呢？

教師乙：“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”專題用題目的知識(shí)體系進(jìn)行分類，更便于對(duì)問(wèn)題情境的建模，導(dǎo)學(xué)案調(diào)整為這種形式更好.

教研反思：對(duì)同一專題的分類有不同的方法，筆者采用的是對(duì)近年來(lái)各省市中考中出現(xiàn)的熱點(diǎn)進(jìn)行分類，即點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和圖形動(dòng)這三種形式，沒(méi)有很好地突出知識(shí)體系，而是通過(guò)題目進(jìn)行甄別，是考慮到備考復(fù)習(xí)需要綜合運(yùn)用知識(shí)的緣故.其他教師提出需要改進(jìn)，筆者認(rèn)為他們提出的建議有道理.可能是筆者對(duì)學(xué)情估計(jì)不準(zhǔn)確的緣故.

研討片段2：

筆者：現(xiàn)在我將專題的題目重新分為兩大類，一是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系類，二是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題類.然后分成子類型，大家認(rèn)為怎么樣？

教師丙：這樣分類知識(shí)的系統(tǒng)性更強(qiáng)，有利于幫助學(xué)生對(duì)“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”進(jìn)行建模.

組長(zhǎng)：這種方法比較好，與去年的做法大同小異.現(xiàn)在請(qǐng)大家將導(dǎo)學(xué)案的草稿進(jìn)行相對(duì)應(yīng)的調(diào)整.調(diào)整好之后，哪位教師再說(shuō)說(shuō)你在這兩個(gè)類型下設(shè)立的子類型目標(biāo)？

教師丁：函數(shù)關(guān)系類和動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸類都可以按草稿中的點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和圖形動(dòng)的形式進(jìn)行相應(yīng)的分類.

組長(zhǎng)：大家有沒(méi)有其他建議？如果沒(méi)有，那么，現(xiàn)在可以通過(guò)電腦將導(dǎo)學(xué)案的草稿進(jìn)行調(diào)整.

筆者重新規(guī)劃導(dǎo)學(xué)案.

教研反思：眾人拾柴火焰高.的確，經(jīng)過(guò)調(diào)整后的導(dǎo)學(xué)案知識(shí)的系統(tǒng)性更強(qiáng)，比開始的草稿中由點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和圖形動(dòng)的形式為主線(分三個(gè)學(xué)時(shí)完成)，再分為函數(shù)關(guān)系法的思想和幾何推斷法的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，思路更明了.教學(xué)相長(zhǎng)，這樣調(diào)整導(dǎo)學(xué)案，可以將例題分為兩個(gè)課時(shí)，然后鞏固提升為一個(gè)課時(shí).

3 精心挑選典型例題，擬好幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的思路

例題對(duì)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題起到了引領(lǐng)和示范的作用，還可以很好地幫助學(xué)生進(jìn)行智力訓(xùn)練.專題中的例題既是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的重要途徑，也是在解題過(guò)程中，獲得技能技巧的關(guān)鍵渠道.因此，在備考專題教學(xué)中精心挑選典型例題，充分發(fā)揮其鞏固數(shù)學(xué)概念、運(yùn)用法則或性質(zhì)、規(guī)范解題格式等作用，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，確保在中考時(shí)會(huì)做的題一分不丟.

研討片段3：

筆者：按照各位同仁的建議，現(xiàn)在將此專題分為兩大類.第一類是“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”函數(shù)關(guān)系法的思想，再細(xì)分為三個(gè)小類.其中第一小類用函數(shù)的思想解決“點(diǎn)動(dòng)”問(wèn)題，例題選用的是2019年山東省臨沂市中考數(shù)學(xué)模擬試卷中的第14題.

圖1

圖2

筆者選本題的原因是此題主要涉及了反比例函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、解析式，以及反比例函數(shù)的應(yīng)用等，考查學(xué)生的綜合分析和應(yīng)用能力.關(guān)于這些知識(shí)點(diǎn)，可以在課堂教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行歸檔.

筆者給出下列一些解題方法，幫助學(xué)生對(duì)類似的問(wèn)題情境進(jìn)行建模：

(1)若證明的線段在某一四邊形中，則利用特殊四邊形(如例1中是矩形，其面積為點(diǎn)P的坐標(biāo)的積等)的性質(zhì)，通過(guò)量的轉(zhuǎn)化、等量代換進(jìn)行求證；

(2)若證明的線段在某個(gè)三角形中，則利用等腰、直角三角形的性質(zhì)(如勾股定理、三角形的面積是兩直角邊積的一半等)進(jìn)行求證；

(3)若證明的線段在兩個(gè)三角形中，則通過(guò)三角形全等的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明；

(4)若出現(xiàn)三條線段的數(shù)量關(guān)系，則需要轉(zhuǎn)化為兩條線段進(jìn)行探究.

教師乙：例1選擇的是2019年山東省臨沂市中考數(shù)學(xué)模擬題，能否找一道本省地市級(jí)近年的中考試題？

教師丙：我選了2020年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)試卷第28題，略有改動(dòng)，大家看看怎么樣.

圖3

(1)若點(diǎn)P的縱軸坐標(biāo)是m，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為8.

①用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo).

②點(diǎn)P能否落在該二次函數(shù)的圖象上？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)m=2時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)P恰好落在該二次函數(shù)的圖象上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)滿足條件的所有直線OA的函數(shù)表達(dá)式.

4 寫在最后

總之，對(duì)中考備考專題進(jìn)行團(tuán)隊(duì)教研，教師針對(duì)自己負(fù)責(zé)的專題進(jìn)行深入理解與設(shè)計(jì).在活動(dòng)中，通過(guò)導(dǎo)學(xué)案的草案研究教什么、練什么、怎樣教、怎樣練.同時(shí)，導(dǎo)學(xué)案以電子文稿的形式呈現(xiàn)，教師個(gè)人補(bǔ)充自己在教學(xué)實(shí)踐中的思考，以及具體的、不同的做法.通過(guò)學(xué)科組團(tuán)隊(duì)的教研活動(dòng)，可以充分發(fā)揮每個(gè)人的智慧，挖掘每個(gè)人的潛能，節(jié)省時(shí)間，形成合力，從而打造復(fù)習(xí)備考的高效課堂.