二維格微分方程周期強(qiáng)迫波的穩(wěn)定性

顧宇萌,史振霞

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

近年來,由于全球氣候變化,許多物種開始慢慢向極地遷移.為了更好地解釋遷移對物種生存產(chǎn)生的影響,學(xué)者們開始研究隨著棲息地的變化物種的動力學(xué)行為[1-10],從而判斷這一物種在未來是持續(xù)存在還是走向滅絕,如果走向滅絕,就需要采取保護(hù)措施,這對自然界的生態(tài)平衡有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.對這一問題的研究可以追溯到2009年,Berestycki在文獻(xiàn)[1]中應(yīng)用最大值原理和比較原理研究了下列方程：

ut=Duxx+f(x-ct,u)

(1)

行波解的存在性及解的漸近行為,從而研究氣候變化對種群的影響.

2018年,Li等[2-3]利用單調(diào)半流方法證明了非局部擴(kuò)散方程：

ut(t,x)=d(J*u-u)(t,x)+
u(t,x)(r(x-ct)-
u(t,x)),t>0,x∈R

(2)

行波解的最小波速c*的存在性,從而證明了強(qiáng)迫波的存在性、唯一性和穩(wěn)定性以及當(dāng)c

ut(t,x)=
d[u(t,x+1)-2u(t,x)+u(t,x-1)]+
u(t,x)(r(x-ct,t)-u(t,x))

(3)

強(qiáng)迫波的存在性,并應(yīng)用滑動技巧及比較原理證明了強(qiáng)迫波的唯一性和全局指數(shù)穩(wěn)定性.

受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā),考慮二維格微分方程

(ui,j(t))′=(ui+1,j(t)+
ui-1,j(t)+ui,j+1(t)+ui,j-1(t)-
4ui,j(t))-ui,j(t)(r-ui,j(t)),
i,j∈Z,t∈R.

(4)

將(4)變換形式，得

ut(x,t)=d[u(x+cosθ,t)+
u(x-cosθ,t)+u(x+sinθ,t)+
u(x-sinθ,t)-4u(x,t)]+
u(x,t)(r(x-ct,t)-u(x,t))
x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z.

(5)

研究二維格微分方程(5)，滿足邊界條件

(6)

的周期強(qiáng)迫波u(x,t)=U(x-ct,t)的穩(wěn)定性,其中：θ∈[0,π/2]是波的傳播方向；q(t)為空間齊次方程u′(t)=u(t)[r(+∞,t)-u(t)]的唯一正周期解,且是全局漸近穩(wěn)定的；u(x,t)表示在位置x上t時刻的種群密度；d>0為種群擴(kuò)散率；c∈R是棲息地變化的速度；r是與時空相關(guān)的種群增長率；u(x,t)(r(x-ct,t)-u(x,t))可以理解為種群在棲息地變化時做出的反應(yīng).假設(shè)r(x,t)滿足以下條件：

(H)r(ξ,t)是連續(xù)函數(shù)且關(guān)于ξ是非減的,并滿足-∞

同時考慮將空間區(qū)域分為對種群生存有利的區(qū)域(r(x-ct,t)>0)和對種群生存不利的區(qū)域(r(x-ct,t)≤0).

1 預(yù)備知識

首先給出周期強(qiáng)迫波的定義.

定義1對于任意的c>-c*,若U(ξ,t),ξ=x-ct滿足

Ut=d[U(ξ+cosθ,t)+U(ξ-cosθ,t)+
U(ξ+sinθ,t)+U(ξ-sinθ,t)-
4U(ξ,t)]+cUξ+U(ξ,t)(r(ξ,t)-U(ξ,t))

(7)

及U(ξ,t)=U(ξ,t+ω),c為環(huán)境變化的速度,則稱u(x,t)=U(x-ct,t),x=icosθ+jsinθ，i,j∈Z為方程(5)的周期強(qiáng)迫波.

定理1[9]設(shè)(H)成立,對于?c>-c*,方程(5)存在連接0和q(t)的周期強(qiáng)迫波U(x-ct,t),x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,其中:

利用上下解方法結(jié)合單調(diào)迭代技巧可以證明二維格微分方程周期強(qiáng)迫波的存在性,此定理在文獻(xiàn)[9]中定理4.7已給出了相應(yīng)的證明過程,此處省略.

令X=BC(R,R),且u(x,t;φ) 是方程(5)滿足初值條件u(x,0;φ)=φ∈X+{0}的唯一解,

X+:={φ∈X:φ≥0,

?x=i(cosθ+jsinθ,i,j∈Z}.

2 二維格微分方程周期強(qiáng)迫波的穩(wěn)定性

首先給出假設(shè)條件(G):

4d>maxt∈[0,ω]r(+∞,t).

考慮如下方程

ut(x,t)=d[u(x+cosθ,t)+
u(x-cosθ,t)+u(x+sinθ,t)+
u(x-sinθ,t)-4u(x,t)]+uf(u,t),

(8)

其中:x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,f(u,t+ω)=f(u,t),f(u,t)關(guān)于u是非增的.

此引理的證明過程與文獻(xiàn)[4]中Lemma 5.1的證明類似,此處省略.

引理3設(shè)(H)和(G)成立,對于任意的c>-c*,令U(x-ct,t)為方程(5)唯一連接0和q(t)的周期強(qiáng)迫波,則對于任意的M>q(0),x=icosθ+jsinθ，i,j∈Z,有

證明由于U(x,t)關(guān)于x是非減的,故對于x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,有

U(x,0)≤U(+∞,0)=q(0)≤M.

根據(jù)比較原理得,

U(x-ct,t)≤u(x,t;M),
(x,t)∈R×[0,+∞).

(9)

令w(t)是w′(t)=w(t)[r(+∞,t)-w(t)]并滿足初值條件w(0)=M>0的解,因?yàn)閷τ讦?x-ct,有r(ξ,t)≤r(+∞,t).所以根據(jù)比較原理得u(x,t;M)≤w(t).又因?yàn)閝(t)是全局漸近穩(wěn)定的,故有

(10)

又U(+∞,t)=q(t),故存在x0?1,使得對于x-ct≥x0,有

(11)

則需去證明對于x-ct≤x0,式(11)仍成立.隨著t→+∞,u(x,t;M)依ξ=x-ct局部一致收斂于U(x-ct,t),說明當(dāng)ξ=x-ct為負(fù)的充分大時式(11)成立.若不成立,根據(jù)U(-∞,t)=0，可以設(shè)：存在m0>0,xn,tn,使得xn-ctn→-∞,u(xn,tn;M)=m0.令[tn/ω]是小于或等價于tn/ω的最大整數(shù),則tn-[tn/ω]∈[0,ω).為了不失一般性,設(shè)

limn→∞(tn-[tn/ω]ω)=t*.

令

wn(x,t):=u(x+xn,t+tn;M).

易驗(yàn)證wn(x,t)滿足方程

(wn(x,t)=d[wn(x+cosθ,t)+
wn(x-cosθ,t)+wn(x+sinθ,t)+
wn(x-sinθ,t)-4wn(x,t)]+
wn(x,t)(r(x-ct+xn-ctn,t+tn)-
wn(x,t)).

(12)

下面給出關(guān)于wn(x,t)的先驗(yàn)估計(jì).根據(jù)u(x,t;M)有界得:存在K>0,使得對于t∈[-tn,+∞),有0≤wn(x,t)≤K,則有

|(wn)t|≤8dK+K(Lr+K):=C1,

0≤(Pn)t=(wn)(x+η,t)-(wn)(x,t)≤
dwn(x+η+cosθ,t)+dwn(x+η-cosθ,t)+
dwn(x+η+sinθ,t)+dwn(x+η-sinθ,t)+
r(x+η-ct+xn-ctn,t+tn)Pn(x,t)+
wn(x,t)×(r(x+η-ct+xn-ctn,t+tn)-
r(x-ct+xn-ctn,t+tn))-
(4d-Lr)Pn(x,t).

又因?yàn)閞(x,t)關(guān)于(x,t)是連續(xù)的,故存在δ>0,使得對于|η|<δ，有

|r(x+η-ct+xn-ctn,t+tn)-
r(x-ct+x-ct,t+tn)|≤ε,

因此有

(Pn)t≤(4d+ε)K-(4d-Lr)Pn.

又由于假設(shè)條件(G)：4d>maxt∈[0,ω]r(+∞,t)及

|Pn(x,t)|=
|wn(x+η,t)-wn(x,t)|?
|Pn(x,-tn)|=
|wn(x+η,0)-wn(x,0)|≤2K,

得:對于|η|≤δ,

Pn≤2K+(4d+ε)K/(4d-Lr):=C2ε,

進(jìn)一步可以得到,對于|η|≤δ和某個整數(shù)C3,有

|(wn)t(x+η,t)-(wn)t(x,t)|≤C3ε.

同理，可以得到,對于|η|≤δ和某個整數(shù)C4,有

|(wn)t(x,t+η)-(wn)t(x,t)|≤C4ε.

因此,隨著n→∞,wn(x,t)依(x,t)局部一致收斂于w(x,t)≥0.故由方程(12)以及

r(·,t+tn)=r(·,t+tn-[tn/ω]ω)

得,w(x,t)滿足下列方程：

wt(x,t)=d[w(x+cosθ,t)+
w(x-cosθ,t)+w(x+sinθ,t)+
w(x-sinθ,t)-4w(x,t)]+
w(x,t)[r(-∞,t+t*)-w(x,t)].

(13)

引理4設(shè)(H)和(G)成立.若-c*

其中：x=icosθ+jsinθ，i,j∈Z.

證明對于任意的σ∈(0,c*-c),只需要證明：對于任意的ε>0,存在t0>0,使得

(14)

由于對于t∈R,U(+∞,t)=q(t),所以存在x0>0,使得

U(x,t)>q(t)-ε/2,t∈R,x≥x0,
c1>c*-σ/2,

其中c1為下面初值問題解的傳播速度，

(15)

根據(jù)[9,Theorem 5.2.1]易知常微分方程(u1)t(t)=u1(t)[r(x0,t)-u(t)]有唯一正周期解q1(t)，滿足q1(t)>q1(t)-ε/4.為了證明式(14)成立,將x∈(-∞,c*-σ)t分成兩部分：

(i)x∈(-∞,x0+ct].

(ii)x∈[x0+ct,(c*-σ)t].

在(i)中，由引理3證明的相似方法可得,當(dāng)x-ct≤x0時,u(x,t;φ)一致收斂于U(x-ct,t),因此可以找到一常數(shù)t0使得式(14)成立.

在(ii)中，由x-ct≥x0,可得U(x-ct,t)≥U(x0,t)≥q(t)-ε/2,故只需證明：存在t0>0,使得

(16)

由于r(ξ,t)關(guān)于ξ是非減的,故對于x≥x0+ct,有r(x-ct,t)≥r(x0,t).

設(shè)u1(x,t;φ)為初值問題(15)的解,則u(x0+ct,t)和u1(x0+ct,t)均可以通過解下面的方程獲得，

vt(ζ,t)=d[v(ζ+cosθ,t)+
v(ζ-cosθ,t)+v(ζ+sinθ,t)+
v(ζ-sinθ,t)-4v(ζ,t)]+
cvζ(ζ,t)+v(ζ,t)[r(x0,t)-v(ζ,t)],

(17)

其中：ζ=x0+ct；u(x0,0)=φ(x0)=u1(x0,0).根據(jù)方程(17)解的唯一性可得，

u(x0+ct,t)=u1(x0+ct,t).

進(jìn)一步,根據(jù)比較原理得,對于任意的x≥x0+ct,有

u(x,t;φ)≥u1(x,t;φ).

因?yàn)閏1為方程(15)的解u(x,t;φ)的傳播速度,所以對于任意的μ∈(0,c1)，有

令μ=c*-σ,則μ

(18)

另外,可以選擇α>1，使得αsupx∈Rφ(x)>q(0).根據(jù)引理3得,對于某個常數(shù)t2,任意的t≥t2,x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,有

(19)

令t0=max{t1,t2},聯(lián)立式(18)和(19),得式(16)成立.證畢.

引理5設(shè)(H)和(G)成立.對于任意的c∈(-c*,c*),有

limt→+∞supx∈R|u(x,t;φ)-

U(x-ct,t)|=0,

其中x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z.

證明根據(jù)引理4知,對于任意的μ∈(c,c*),只需證明

limt→+∞supx≥μt|u(x,t;φ)-
U(x-ct,t)|=0.

因?yàn)閁(ξ,t)=U(ξ,t+ω),U(ξ,t)關(guān)于ξ是非減的,且U(+∞,t)=q(t),所以有

又因?yàn)棣?c>0,U(+∞,t)=q(t),所以有

limt→+∞supx≥μt|q(t)-
U(x-ct,t)|=0.

根據(jù)三角不等式,還需證明

(20)

設(shè)x0>0,取σ0∈(0,min{μ,μ-c}),則有

令h(x,t):=u(x+(μ-σ0)t,t;φ),則h(x,t)滿足

ht(ζ,t)=d[h(x+cosθ,t)+h(x-cosθ,t)+
h(x+sinθ,t)+h(x-sinθ,t)-4h(x,t)]+
h(x,t)[r(x+(μ-σ0-c)t,t)-h(x,t)]

(21)

下面證明對于任意的ε>0,存在x0>0,t0>0,使得對于任意的t≥t0,

(22)

因?yàn)閡(·,0;φ)=φ∈X+{0},lim infx→+∞φ(x)>0,故可以選擇正數(shù)κ使得對于所有的x≥x0,有φ(x)>κ.定義非負(fù)連續(xù)非減函數(shù)φ-(x),對于某個δ>0,滿足

β′(t)=β(t)(r(+∞,t)-β(t)-τ)

滿足初值條件β(0)=φ-(x)的唯一正周期解.對于上述的τ,存在x0>0使得對于t∈R,有

r(x0+(μ-σ0-c)t,t)≥r(+∞,t)-τ.

由于μ-σ0-c>0,r(x,·)關(guān)于x是非減的,故對于任意的t∈R,x≥x0,有

r(x+(μ-σ0-c)t,t)≥
r(x0+(μ-σ0-c)t,t)≥r(+∞,t)-τ.

又因?yàn)?/p>

h(x,0)=u(x,0)=φ(x)>φ-(x),

則根據(jù)比較原理得,對于t≥T0,x≥x0,有

h(x,t)≥β(t)>q(t)-ε/2,

因此式(21)成立.證畢.

引理6設(shè)(H)和(G)成立.令

ν±(x,t):=U(x-ct,t)±
ρe-τ(t-τ1)(1+NU(x-ct,t)),
x=icosθ+jsinθ,
((i,j)t)∈Z2×[0,+∞),

其中τ1∈R,N,ρ和τ為合適的正實(shí)數(shù),則ν±為方程(5)的上下解.

證明

d[ν+(x+cos,t)+ν+(x-cos,t)+
ν+(x+sin,t)+ν+(x-sin,t)-
4ν+(x,t)]+ν+(x,t)(r(x-ct,t)-
ν+(x,t))-(ν+(x,t)=
d[U(x+cosθ-ct,t)+U(x-cosθ-ct,t)+
U(x+sinθ-ct,t)+
U(x-sinθ-ct,t)-4U(x-ct,t)]-
Ut(x-ct,t)+cUx(x-ct,t)+
Nρe-τ(t-τ1){d[U(x+cosθ-ct,t)+
U(x-cosθ-ct,t)+U(x+sinθ-ct,t)+
U(x-sinθ-ct,t)-4U(x-ct,t)]-
Ut(x-ct,t)+cUx(x-ct,t)+
U(x-ct,t)(r(x-ct,t)-U(x-ct,t))}+
ρe-τ(t-τ1)[r(x-ct,t)-NU2(x-ct,t)-
ρe-τ(t-τ1)(1+NU(x-ct,t)-
2U(x-ct,t)-ρe-τ(t-τ1)NU(x-ct,t)
(1+NU(x-ct,t)+τ(1+NU(x-ct,t))]=
ρe-τ(t-τ1)[r(x-ct,t)-
2U(x-ct,t)-NU2(x-ct,t)-
(1+NU(x-ct,t)(ρe-τ(t-τ1)+
ρe-τ(t-τ1)NU(x-ct,t)-τ)]≤0

取N>0充分大,使得

2U(x-ct,t)+

NU2(x-ct,t)>r(x-ct,t).

令ρ,τ>0充分小,則對于?t≥0,x=icosθ+jsinθ,i,j∈Z,

d[ν+(x+cosθ,t)+ν+(x-cosθ,t)+
ν+(x+sinθ,t)+ν+(x-sinθ,t)-
4ν+(x,t)]+ν+(x,t)(r(x-ct,t)-
ν+(x,t))≤(ν+)(x,t),

故ν+(x,t)方程為(5)的上解,同理可證ν-(x,t)為方程(5)的下解.

定理2設(shè)(H)和(G)成立.對于任意的c∈(-c*,c*),令U(x-ct,t)為方程(5)連接0和q(t)的唯一周期強(qiáng)迫波.存在實(shí)數(shù)μ>0,使得對于任意的φ∈X+{0},則方程(5)滿足初值條件u(x,0;φ)=φ的唯一解u(x,t;φ)滿足:

證明由引理5知,存在T0>0,使得對于任意的x∈R,有

|u(x,T0;φ)-U(x-cT0,t)|<ρ.

取τ1=T0,通過計(jì)算驗(yàn)證了ν±(x,t)分別為式(5)的上下解,根據(jù)比較原理得,

ν-(x,t)≤u(x,t;φ)≤
ν+(x,t),?t≥T0,x∈R,

故

則對于0<μ<τ,limt→+∞supx∈R|u(x,t;φ)-U(x-ct,t)|eμt=0成立.證畢.

4 結(jié)語

本文利用比較原理及上下解方法, 研究了二維格微分方程周期強(qiáng)迫波的指數(shù)穩(wěn)定性, 由x與μt的關(guān)系分兩部分討論, 得到當(dāng)條件(H)和(G)成立且c∈(-c*,c*),μ∈(c,c*)時, 該周期強(qiáng)迫波是全局漸近穩(wěn)定的，進(jìn)而利用上下解方法得到該周期強(qiáng)迫波是全局指數(shù)穩(wěn)定的.