“大學物理”課程與Mathematica軟件相結合的教學研究

周小燕，梁青青，楊 惠，趙春艷

(蘭州文理學院 傳媒工程學院，甘肅 蘭州 730010)

0 引言

大學物理是高等院校中多個專業開設的一門非常重要的基礎理論課，對于電子類專業很多后續專業課程學習起著承前啟后的作用，同時學習大學物理對于學生思維素質的培養有非常重要的作用.在大學物理的學習中不僅要掌握大量的概念、公式和定律，而且要把高等數學作為工具來解決大學物理中的問題，這就使部分同學在初學時感到困難重重，從而對物理的學習感到枯燥.同時大學物理是一門以實驗為基礎的課程，由于實驗儀器老化或者學校實驗室設備欠缺，導致一些實驗結果不準確甚至無法實現，從而導致學生理解上的誤區.如何能相對容易解決或者讓學生能很快接受課堂的知識呢？這是很多教該課程的老師需要思考的問題.

Mathematica的出現為大學物理的學習提供了輕松的氛圍，它是集文本編輯、數學計算、邏輯分析、圖形、動畫于一體的高度優化系統，是目前比較流行的數學軟件之一[1].董鍵[2]主編的《Mathematica與大學物理計算》這部教材討論了該軟件在力學、光學、電磁學等方面的應用，柳宏德[3]用Mathematica獲得了任意擺角下的單擺周期近似公式.楊能彪[4]應用Mathematica進行物理理論計算和物理現象可視化的研究，獲得了一些有意義的結論.本文通過Mathematica數值計算電場強度[5-6]等來探索 Mathematica在大學物理中的應用.

1 用Mathematica軟件對課堂典型案例分析

本文列舉一些課堂中的典型案例，并利用Mathematica軟件進行分析，學生可以直觀地看到利用該軟件的便利性，有助于提高課堂的效率，激發學生的興趣.

1.1 電場強度及其電勢的計算

1.1.1 連續點電荷分布引起的電場

在大學物理教程電磁學部分，求連續點電荷分布引起的電場分布是非常重要的知識點.對于大學一年級學生，運用高等數學知識求解總是不那么得心應手，但是借助數學軟件可以直觀地得出結論及畫出相應的圖形.對于連續電荷的帶電體，可以認為其是由大量極小的電荷微元dq集合而成，其中任意微元都可視為點電荷，它在空間中某點P處產生的場強為：

(1)

例1：在長為l=15 cm的直導線上，設均勻的分布著線密度λ=5.00×10-9C·m-1的正電荷，求在導線的延長線上與導線一端相距d=5 cm的點Q的場強.

解：根據(1)式列出點電荷dq在點Q處產生的場強的表達式為：

(2)

其中dq=λdx.在Mathematica軟件中，只需輸入下列簡單的代碼，就可以很快的算出來在點Q處的場強的大小.

ε0=8.85*10^(-12);

l=0.15;

d=0.05;

dq=λ*dx;

λ=5.0*10^(-9);

dE=1/(4*π*ε0)*dq/(l-x+d)^2;

計算結果為674.385.當然還可以算出該導線延長線上任意點處的電場強度大小，只需要改變數值d的大小即可.

解：根據題意可得：點電荷Q1和Q2在P產生的場強分別為

而

所以

雖然學生能理論計算出電場強度的大小，但是電場到底是怎樣分布的學生不得而知，借助數學軟件就可以作出相應的電場分布，讓學生清楚場強的分布狀況.

在軟件窗口中輸入

a = Sqrt[3]; b = 1;

{q1, q2} = {-2.0*10^(-6), 1.0*10^(-6)};

[Psi][x_, y_] := q1/Sqrt[(x + a)^2 + y^2] + q2/Sqrt[y^2 + x^2];

f[x_, y_] := Evaluate[{-D[[Psi][x, y], x], -D[[Psi][x, y], y]}]

StreamPlot[f[x, y], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Clear["Global`*"]

便可得到電場強度分布情況如圖1所示.

圖1 電場的分布

這樣，學生只要改變程序中相應的數據，就可以得出不同距離、不同帶電量的點電荷電力線的分布，從而得出場強的分布，結合算出的理論值來理解，會加強學生對磁場概念的理解.

1.1.2 利用高斯定理計算電場強度

高斯定理在靜電場中的應用非常重要，尤其是對于對稱帶電體產生的場強計算尤為重要，合理利用高斯定理能有效簡化計算.

例題3：設球殼半徑為R，所帶電量為Q，根據高斯定理，可知球殼內外的電場為：

(3)

根據電勢的計算得出：

(4)

(5)

同樣可以做出當r>R的電位，如圖2和圖3所示.

雖然均勻帶電球殼內外電場強度和電勢的計算簡單，但是，通過Mathematica軟件可以得出電位和場強的等高線，讓一個理論問題非常容易理解，從而激發學生學習物理的興趣.

1.1.3 受迫振動

在大學物理的教學過程中，振動和波動是非常重要的章節，但是在教學過程中，振動這個章節會涉及二階微分方程求解，由于高等數學和大學物理在教學知識點上的不同步，導致很多同學在學習振動這章時不會求解，從而對振動內容糊里糊涂，但是通過Mathematica軟件輔助教學，就會讓學生比較直觀地理解所學內容.

圖2 均勻帶電球殼的電位

圖3 均勻帶電球殼的電場強度等高線

例題4：設有一個彈簧，它的上端固定，下端掛著一個質量為m的物體，當物體處于靜止狀態時，這個位置就是物體的平衡狀態，當物體受到外力作用向下拉一段距離時，求出物體的振動規律.

化簡并移項，得到下面的表達式

(6)

上式就是在有阻尼的情況下物體自由振動的微分方程.

在建立方程的過程中，雖然學生對牛頓第二定律比較熟悉，但是求解這個方程要用到數學中的微分方程，這對學生的理解會產生一定的影響，而類似的物理模型有電路中的RLC振蕩電路、單擺、復擺等非常重要的模型.但是，很多同學都不會求解或者不知道解的形式，如果采用Mathematica軟件來輔助則可以達到非常好的效果，同學們可以看到具體圖形.在軟件窗口中輸入：

m=1;c=28.28;k=200; [Delta] = c/(2*m);

Subscript[[Omega], 0] = Sqrt[k/m];

x1 = 1; time = 4;

p = NDSolve[{x''[t] + Subscript[[Omega], 0]^2*x[t] +

2*[Delta]*x'[t] == 0, x[0] == x1, x'[0] == 0}, x, {t, 0, time}];

x = x /. p[[1]];

Plot[{x[t]}, {t, 0, time}, AxesLabel -> {"t/s", "x/m"},

PlotRange -> All]

Clear["`Global`*"]

只需變化上述代碼中的時間和c的數值，就可以畫出臨界阻尼、欠阻尼和過阻尼的圖形，具體如圖4所示.

圖4 當c=0.8,c=28.28,c=35時分別對應欠阻尼，臨界阻尼，過阻尼

這樣，學生只要改變相應的參數，就可以從圖形上看到結果，從而更好理解教學中的相關內容.

2 在教學中利用Mathematica軟件的優點

2.1 Mathematica軟件強大的作圖功能，將抽象演變為具體

Mathematica軟件是一款科學計算軟件，很好地結合了數值和符號計算引擎、圖形系統、編程語言、文本系統、與其他應用程序的高級連接等功能，在相應領域內處于領先地位，也是使用最廣泛的數學軟件之一.雖然目前有很多軟件如excel、spss等也可以做一些比較簡單的圖形，但是針對大學物理等比較高層次的專業領域的學科研究使用中，要將抽象的數學概念、公式等通過具體圖像圖形表現出來，就必須使用Mathematica軟件，做出的圖形更具體也更形象，實現了從抽象到具體的轉變，更有利于開展科學研究.

2.2 Mathematica軟件為解決具體問題提供實踐條件

大學物理中有時一個問題可能要好幾種解決的方法，這些方法中存在著各種聯系和區別，每一種方法都有優缺點，那么到底用哪一種方法最簡便呢？回答這些問題的最簡單的方法是將這些方法都列出來，給學生一一講解，但是，在教學過程中，這些計算都將耗費大量時間，如果借助Mathematica軟件強大的計算能力及其超強的繪圖能力就可以展示比較多的計算方法[7-8]，這樣有助于拓寬學生的解題思路和知識視野，有助于學生更好地學習大學物理知識，為后續學習奠定基礎.

2.3 Mathematica軟件幫助學生建立第二課堂，有助于課后復習和歸納

隨著計算機的普及以及人們生活條件的改善, 已有較多學生擁有個人電腦.這樣，只需要在個人電腦上安裝上Mathematica軟件，就相當于擁有了個人多功能計算實驗室和第二課堂[9].學生課后就可通過軟件方便地實踐課堂上所學知識，還可以對相似的問題進行總結和歸納，最大程度利用教學資源和軟件資源，提高學習的主動性和創造性.

3 結語

本文用Mathematica軟件對《大學物理》教學中幾個重要的物理模型進行了深入研究，給出了均勻帶電球殼全空間的電勢和電場強度分布的等高線.編程作圖的結果可以直觀呈現給學生，加深學生對知識點的理解，提高課堂效率.Mathematica軟件數值能力強大，并且可以模擬一些在實驗室中難以完成的物理實驗，對大學物理教學有重要的輔助作用.