隨機波動率下障礙期權的Monte Carlo模擬定價

0 引言

Black-Scholes（BS）期權定價模型[1]以無風險利率、資產波動率是常數為假設基礎，這一假設基礎常常與實際市場價格不符。而隨機波動模型，將波動率看成一個隨機過程，可以更好地模擬實際市場的價格，應用較多的有Hull-White[2]，Heston[3]等隨機波動模型。郁瑞瀾，商豪[4]用Heston隨機波動模型討論了滬深300ETF期權定價。梁艷[5]用了Hull-White隨機波動模型對亞式期權進行模擬定價。

障礙期權（Barrier Options），指的是期權生效或失效取決于期權到期前是否達到障礙值。障礙期權由達到障礙值后的期權狀態(tài)，可分為兩種：敲出期權與敲入期權。敲出、敲入期權各可以分為四類，其名稱和收益函數如表1所示。

表1 敲出、敲入期權的收益函數

張素梅[6]用有限差分法討論了隨機波動模型下的障礙期權定價。霍海峰等[7]在分數次布朗運動下探索了歐式障礙期權的定價。薛廣明[8]研究了帶跳隨機波動率模型的美式障礙期權的定價。本文研究了隨機波動模型下障礙期權[9]的定價，給出了股價波動率和標的資產的價格路徑，用蒙特卡羅法（Monte Carlo）和對偶變量法[10]得出了下降敲出歐式看跌期權在不同條件下的期權價格，并利用對偶變量法，計算出了隨機波動模型下下降敲出看漲期權的價格。

1 隨機波動基本模型

在風險中性下，資產和波動率滿足如下微分方程（1）：

μ：股票期望收益率，σt：股票波動率與Bt是標準的Brownan運動，Hull-White隨機波動模型下的各個參數如下：

本文的障礙期權定價，是在Hull-White隨機波動模型下來研究的，則方程組（1）可簡化為：

2 Monte Carlo模擬定價

2.1 Monte Carlo模擬的基本原理

大數定律和中心極限定理是Monte Carlo模擬的理論基礎。模擬時，計算機多次重復抽取隨機變量作為樣本，當樣本達到一定數量時，隨機變量的均值就會接逐漸近于其期望值。

2.2 對偶變量法

2.3 蒙特卡羅模擬障礙期權定價的步驟

2.3.1 隨機波動過程的模擬

2.3.2 股票價格路徑的模擬

在風險中性條件下，方程組（2）中的標的資產可以寫為

2.3.3 期權價格的模擬計算

歐式期權的股票價格終值為：

3 數值模擬結果與分析

3.1 蒙特卡羅法和對偶變量法的模擬結果比較

首先，分別用普通Monte Carlo法和對偶變量法比較下降敲出歐式看跌期權在不同的執(zhí)行價格、交易時間下的期權價格[12]，參數分別為S0=100，r=0.1，H=90，σ=0.3，模擬次數為5000次，時間離散步數為600。

由表2可以看出：①下降敲出看跌障礙期權價格隨著K的增大而增大，隨著T的增大而減小，當T=1/4時，不管是Monte Carlo法還是對偶變量法，K=105時的期權價格是之前的K=95和K=100時價格的好多倍，這種差距很明顯，但是隨著時間的增加，這種差距略有減小；②對偶變量法與普通Monte Carlo法相比，模擬出來的結果更加精確，標準差更小些，但是在時間的運行上，對偶變量法的運行時間比蒙特卡羅法的略長一些，matlab運行時，蒙特卡羅法基本上5秒左右都能得出結果，對偶變量法一般需要6秒左右的時間。因此，為了使得數值更加精確一些，下面的隨機波動模型的模擬過程選擇對偶變量法。

表2 蒙特卡羅法和對偶變量法比較下降敲出看跌期權

3.2 B-S模型和隨機波動模型的模擬結果比較

其次，分別用B-S常波動模型和Hull-White隨機波動模型（SV）來計算下降敲出歐式看漲期權的價格，參數分別取S0=100，μ=0，r=0.1，H=90，ρ=0，σ=0.1，Y（0）=0.08，模擬次數為1000次。

由表3可以看出：①下降敲出歐式看漲期權，隨著執(zhí)行價格K的增高，期權價格越來越低，隨著時間T的增加，期權價格越來越高；②隨機波動模型與常波動的B-S模型相比，隨機波動模型模擬出來的期權價格比B-S模型的略低些，說明波動率為常數的時候，有可能高估了期權的實際價格。

表3 B-S模型和隨機波動模型下降敲出歐式看漲期權價格比較

4 結論

本文研究了Hull-White隨機波動模型，用Monte Carlo法對模型（3）給出具體的數值算法，利用matlab軟件求出了下降敲出看跌期權的價格，并利用對偶變量法，通過matlab編程，模擬了隨機波動模型下下降敲出看漲期權的價格，通過表2和表3的數值計算，驗證了對偶變量法的準確性。