n-強Gorenstein弱內射模和弱平坦模

宋彥輝, 郭 婷, 趙海軍

(蘭州信息科技學院 通識教育學院, 甘肅 蘭州 730300)

1 序言及預備知識

20世紀90年代,文獻[1-2]推廣了經典的內射模和平坦模,引入Gorenstein內射模和平坦模,并討論了相關的同調性質.隨后,眾多學者對Gorenstein內射和平坦模及其維數進行了深入的研究和推廣[3-6].其中,文獻[6]中推廣了Gorenstein內射和平坦模,引入了弱Gorenstein內射和平坦模,并通過該模對n-FC環進行了刻畫.近年來,文獻[7-9]引入并研究了n-強Gorenstein投射、內射和平坦模,并給出了該模的許多性質.2015年,文獻[10]對內射模和平坦模進行了推廣,引入弱內射模和弱平坦模,研究相關性質,證明了模M是弱內射模當且僅當M+是弱平坦的,并給出了模的弱內射維數和弱平坦維數的等價刻畫.2020年,文獻[11]推廣了弱內射模和弱平坦模的概念,引入并研究了Gorenstein弱內射和弱平坦模,給出了相關的性質和等價刻畫.特別地,討論了模的弱余合沖與Gorenstein弱余合沖之間的關系.

受以上工作的啟發,引入n-強Gorenstein弱內射模和弱平坦模,給出其等價刻畫,并證明n-強Gorenstein弱內射模的特征模是n-強Gorenstein弱平坦模,n-強Gorenstein弱平坦模的特征模是n-強Gorenstein弱內射模.

本文中R表示具有單位元的結合環,所有涉及的模均是酉模,所有R-模均指左R-模,右R-模可視為反環R°上的模.未解釋的標記、事實和概念見參考文獻[12-14].下面回顧一些基本概念.

定義 1.2[10]設M是R-模.若對任意超有限表現R-模L,都有則稱M是弱內射模.類似地,若對任意超有限表現R°-模L,都有則稱F是弱平坦模.顯然內射(平坦)模是弱內射(弱平坦)的.將弱內射(弱平坦)R-模的類簡記為WI(R)(WF(R)).

定義 1.3[11]設M是R-模.稱M是Gorenstein弱內射模,若存在一個弱內射R-模的正合列

使得M?Coker(E0→E1),并且對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,HomR(L,E)是正合的.稱M是Gorenstein弱平坦模.若存在一個弱平坦R-模的正合列

使得M?Coker(F0→F1),并且對任意投射維數有限的超有限表現R°-模L,L?RF是正合的.顯然每個(弱)內射模是Gorenstein弱內射的,每個(弱)平坦模是Gorenstein弱平坦的.

顯然,內射模(平坦模)是強Gorenstein弱內射的(強Gorenstein弱平坦的),每個強Gorenstein弱內射模(強Gorenstein弱平坦模)是Gorenstein弱內射的(Gorenstein弱平坦的).

2 n-強Gorenstein弱內射模

引入并研究n-強Gorenstein弱內射模,并給出n-強Gorenstein弱內射模的一些等價刻畫.

定義 2.1設n是正整數.稱R-模M是n-強Gorenstein弱內射模,如果存在R-模的正合列

其中，對任意0≤i≤n-1,Ei是弱內射R-模,使得對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,函子HomR(L,-)保持序列η正合.

將n-強Gorenstein弱內射模的類簡記為n-SGWI(R).顯然,1-強Gorenstein弱內射模(弱內射模)是n-強Gorenstein弱內射的,且1-強Gorenstein弱內射模是強Gorenstein弱內射的.在正合列η中,對任意1≤i≤n,Imfi是n-強Gorenstein弱內射模.

命題 2.2設m和n是2個正整數,則以下成立:

1) 任意強Gorenstein弱內射R-模是n-強Gorenstein弱內射的;

2) 任意n-強Gorenstein弱內射R-模是Gorenstein弱內射的;

3) 若n|m,則每一個n-強Gorenstein弱內射模是m-強Gorenstein弱內射模.

2) 設M是n-強Gorenstein弱內射R-模,則存在正合列

其中每個Ei是弱內射R-模,且對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,HomR(L,η)正合.因此可得正合列使得函子HomR(L,-)保持此序列正合.故M是Gorenstein弱內射R-模.

3) 因為n|m,不妨設m=kn.設M是n-強Gorenstein弱內射R-模,則存在正合列

其中每個Ei是弱內射R-模,且對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,HomR(L,η)正合.將k個正合列η合并可得正合列

其中,每個Ei是弱內射R-模,且HomR(L,-)保持此序列正合.因此，M是m-強Gorenstein弱內射模.

推論 2.3設M是n-強Gorenstein弱內射R-模，則對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,及任意i≥1,有

證明由命題2.2和文獻[11]的命題2.5可得.

命題 2.4對任意的n≥1,n-強Gorenstein弱內射R-模的類對直積封閉.

證明設{Mi}i∈I是一族n-強Gorenstein弱內射R-模,則對任意i∈I,存在正合列

ηi:0MiEin-1Ei

下面給出n-強Gorenstein弱內射模的等價刻畫,其中也給出了利用n-強Gorenstein弱內射模構造1-強Gorenstein弱內射模的方法.我們先看以下引理.

引理 2.5設M是R-模.對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,若則對任意n≥1,有

定理 2.6設n是正整數.則以下等價:

1)M是n-強Gorenstein弱內射R-模;

證明1)?2) 設M是n-強Gorenstein弱內射R-模.則存在正合列

其中Ei是弱內射R-模,且對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,HomR(L,-)保持正合.因此,對任意1≤i≤n,有正合列

EImfi0.

將這些正合列疊加可得正合列

E0⊕…⊕En-2…,

其中,α=diag{α1,α2,…,αn},f=diag{fnf0,f1,…,fn-1}.注意到ImImfi,且Imfi是n強Gorenstein弱內射的.所以,對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,由推論2.3可得

Imfi)?⊕ni=1Imfi)=0,

即有正合列

2)?3) 顯然成立.

Ext1R(L,Imfi)，

故有正合列

1)?4) 由定義2.1和推論2.3可得.

因此,M是n-強Gorenstein弱內射R-模.

引理 2.7設m和n是正整數.若WI(R)關于滿同態的核封閉,則以下成立:

1) 若n|m,則n-SGWI(R)∩m-SGWI(R)=n-SGWI(R);

2) 若m=kn+i,使得k>0且0

證明1) 由命題2.2可得.

2) 一方面,由命題2.2可知,m-SGWI(R)∩n-SGWI(R)?m-SGWI(R)∩kn-SGWI(R)顯然成立.另一方面,設M∈m-SGWI(R)∩kn-SGWI(R),則存在正合列

其中,Ei∈WI(R),使得對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,HomR(L,-)保持序列正合.令Hi=Ker(Ei→Ei-1),2≤i≤m.因為M∈kn-SGWI(R)且WI(R)對擴張封閉,從而由文獻[14]推論8.6.4知,存在W1,W2∈WI(R),使得M⊕W1?Hkn+1⊕W2.考慮拉回圖(圖1).

圖1 拉回圖

因為WI(R)對擴張封閉,且W1∈WI(R),所以X∈WI(R).又由于WI(R)關于滿同態的核封閉,因此Y∈WI(R).將序列ε和圖1第二個拉回圖的第二行合并可得正合列

定理 2.8m-SGWI(R)∩n-SGWI(R)=(m,n)-SGWI(R),其中(m,n)是m和n的最大公約數.

證明由命題2.2知,(m,n)-SGWI(R)?m-SGWI(R)∩n-SGWI(R)顯然成立.下證反過來的包含關系也成立.事實上,若m=nq0+r0,使得0

推論 2.9n-SGWI(R)∩(n+1)-SGWI(R)=1-SGWI(R).特別地,∩n≥2n-SGWI(R)=1-SGWI(R).

3 n-強Gorenstein弱平坦模

定義 3.1設n是正整數.稱R-模M是n-強Gorenstein弱平坦模,如果存在R-模的正合列

F

其中,對任意0≤i≤n-1,Fi是弱平坦R-模,使得對任意投射維數有限的超有限表現R°-模L,函子L?R-保持序列ε正合.

注意到,1-強Gorenstein弱平坦模(弱平坦模)是n-強Gorenstein弱平坦的,且1-強Gorenstein弱平坦模是強Gorenstein弱平坦的.在正合列ε中,對任意1≤i≤n,Imhi是n-強Gorenstein弱平坦模.類似于命題2.2的證明,可得到任意強Gorenstein弱平坦模是n-強Gorenstein弱平坦的,任意n-強Gorenstein弱平坦模是Gorenstein弱平坦的.

命題 3.2對任意的n≥1,n-強Gorenstein弱平坦R-模的類對直和與直積封閉.

證明由文獻[10]命題2.3和定理2.13可知,弱平坦R-模的類對直和與直積封閉.再根據命題2.4類似的方法即可得證.

引理 3.3設M是n-強Gorenstein弱平坦R-模，則對任意投射維數有限的超有限表現R°-模L,及任意i≥1,有

證明對i進行數學歸納.當i=1時,因為M是n-強Gorenstein弱平坦模,則存在正合列

其中對任意Fi是弱平坦R-模,使得對任意投射維數有限的超有限表現R°-模L,函子L?R-保持正合.令K1=Imf1,則有正合列0L?RK1L?RF0L?RM0.考慮正合列

TorR1(L,F0)TorR1(L,M)L?RK1

L?RF0L?RM0.

因為F0是弱平坦模,所以因此0.假設i≥2,且結論對i-1成立.考慮正合列…注意到K1是n-強Gorenstein弱平坦模,由歸納假設知再由文獻[10]命題3.1得因此,0.

引理 3.4設M是R-模.對任意投射維數有限的超有限表現R°-模L,若則對任意n≥1,有

證明類似引理2.5的證明方法可得.

令R是環.根據文獻[16]定義2.2,稱R是左GWF-封閉環,如果Gorenstein弱平坦R-模的類關于擴張封閉.以下結論類似于定理2.6,給出了n-強Gorenstein弱平坦模的等價刻畫,并給出在左GWF-封閉環上通過n-強Gorenstein弱平坦模構造1-強Gorenstein弱平坦模的方法.

定理 3.5設n是正整數.考慮以下條件:

1)M是n-強Gorenstein弱平坦R-模.

一般情況下,可得到4)?1)?2)?3).如果R是左GWF-封閉環,那么以上條件等價.

證明由文獻[16]中定理2.1推論2.2可知,當R是左GWF-封閉環時,Gorenstein弱平坦R-的類投射可解且對直和項封閉.再運用定理2.6類似的證明方法即可得證.

命題 3.6設M是R-模.則以下結論成立:

1) 若M是n-強Gorenstein弱平坦R-模,則M+是n-強Gorenstein弱內射R°-模;

2) 若M是n-強Gorenstein弱內射R-模,則M+是n-強Gorenstein弱平坦R°-模;

3) 若M是n-強Gorenstein弱平坦R-模,則M++是n-強Gorenstein弱平坦R-模;

4) 若M是n-強Gorenstein弱內射R-模,則M++是n-強Gorenstein弱內射R-模.

證明1) 設M是n-強Gorenstein弱平坦R-模,由定理3.5可得存在正合列

其中Fi是弱平坦模,且對任意投射維數有限的超有限表現R°-模L,考慮R°-模的正合列其中是弱內射R°-模[10,注記2.2].注意到再由定理3.5可得M+是n-強Gorenstein弱內射R°-模.

2) 設M是n-強Gorenstein弱內射R-模,由定理2.6可得,存在正合列

其中Ei是弱內射模,且對任意投射維數有限的超有限表現R-模L,考慮R°-模的正合列其中是弱內射R°-模[10,定理2.10].因為L是超有限表現的,所以,存在正合列其中，P是有限生成投射模,K是超有限表現模.考慮自然同態

φ:Hom(M,Q/Z)?RX→

則由文獻[13]引理3.60可知,當X是有限表現模時,φ是自然同構.因為K和P是有限表現的,考慮以下交換圖.

0→㊣Tor??R1(M+,L)→M+?RK→M+RP→M+RL→0↓?↓?↓?↓0→㊣Ext?1R(L,M)+→㊣Hom?R(K,M)+→㊣Hom?R(P,M)+→㊣Hom?R(L,M)+→0

通過1)和2)的結論可得到3)和4).