G-純正合復形的相關刻畫

魏寶軍, 于春艷, 楊曉燕

(重慶對外經貿學院 數學與計算機學院, 重慶 合川 401520)

純這一概念在代數和模理論研究中扮演著重要的角色.純性是阿貝爾群理論中的一個重要概念,其中有足夠純內射群和足夠純投射群,這使得可以利用同調方法對純進行更深層次的探究.然而復形范疇是一個有足夠多投射對象和足夠多內射對象的Abel 范疇,因此Gorenstein同調理論在復形范疇中可以形成一種新的理論體系.1998 年,Enochs等[1]引入了Gorenstein投射復形的概念,證明了在Gorenstein環上的這些復形就是Gorenstein投射模的復形.2011年,Yang等[2]證明了在任意環上復形P是Gorenstein投射(內射)的當且僅當P的每一層次上的模是Gorenstein投射(內射)模,并給出了一系列相關的等價刻畫.

2017年,Yu等[3]在定義了相對于Gorenstein投射模范疇中的純正合列,即G-純正合列,并得到了相關的一系列性質和應用.隨著純領域的深入研究,本文通過前面對Gorenstein投射復形范疇中的純正合列,即定義了G-純正合復形的研究,主要對G-純正合復形相關的等價刻畫作了進一步研究.

1 預備知識

除非特別聲明,環R是具有單位元的結合環,所有涉及的模均是酉模,ModR表示左R-模范疇.對未作解釋的標記,事實和概念,請參見文獻[4].

定義 1[5]如果正合復形F:…→Fn+1→Fn→Fn-1→…是G-純正合的,則滿足以下兩條:

1) 對任意的n∈Z,Fn是Gorenstein投射的;

2) 對任意的n∈Z,模的短正合列0→ZnF→Fn→Zn-1F→0是G-純正合的.

性質 1[5]1)H如果為GProjC(R)中的純投射復形,則對復形的任意G-純正合列0→F1→F2→F3→0,序列

0→HomC(R)(H,F1)→HomC(R)(H,F2)→
HomC(R)(H,F3)→0

是正合的.

2)E如果為GProjC(R)中的純內射復形,則對復形的任意G-純正合列0→F1→F2→F3→0,序列

0→HomC(R)(F3,E)→HomC(R)(F2,E)→
HomC(R)(F1,E)→0

是正合的.

3)A如果為GProjC(R)中的絕對純復形,則GProjC(R)中任意的正合列0→A→F2→F3→0是G-純正合的.

將GProjC(R)中的純投射、純內射和絕對純復形構成的GProjC(R)的全子范疇分別記為PP-GProjC(R),PI-GProjC(R)和Abs-GProjC(R).

定義 3[4]稱R-模的序列

定義 4[6]稱小范疇I是filtered,如果滿足以下兩個條件：

1) 對I的任意兩個對象i、j,存在對象k,使得HomI(i,j)和HomI(j,k)是非空的.

2) 對I的任意兩個對象i、j和兩個平行同態f,g∈HomI(i,j),存在對象k和同態h∈HomI(j,k),使得hf=hg∈HomI(i,k).

引理 2[6]設X、Y是鏈復形.若滿足：

1) 對任意的整數n,HomR(Xn,Y)是正合的;

2) 對任意的整數n?0,HomR(Xn,Yn)是平凡群.

則鏈映射f:X→Y是零倫的.

定義 5如果任意Gorenstein投射R-模可寫成有限表示Gorenstein投射模的正向極限,稱環R滿足(*)條件.

例子 11) Artian代數是滿足(*)條件的[3].

2)n-完全的Ding-Chen環是滿足(*)條件的[7].

2 Gorenstein投射復形范疇中的純正合列

000↓↓↓0→N'→N→N″→0↓↓↓0→P'→P'P″ →P″→0π'↓π↓π″↓0→M'π→Mp→M″→0↓↓↓000

證明因為p*:HomR(P″,M)→HomR(P″,M″)是滿的,所以存在映射f:P″→M,使得pf=π″.因此由線性映射π=[τπ′,f]:P′⊕P″→M可得到如下行正合的交換圖.

0→P'→P'P″ →P″→0π'↓π↓π″↓0→M'τ→MP→M″→0

取N=Kerπ,由蛇引理得到上述行列正合的交換圖.又因為左右兩列的短正合列是G-純正合的,所以中間一列的短正合列也是G-純正合的.

引理 4設R滿足(*)條件,C是有限表示Gorenstein投射模構成的復形,P是一個可縮復形且P的每一個合沖模是有限表示Gorenstein投射模的直和.考慮鏈映射g:C→P,則存在一個可縮復形P′?P,其中P′是每個層次由有限表示Gorenstein投射模構成的,使得Img?P′.如果復形C是左有界(右有界,有界),那么子復形P′也是左有界(右有界,有界).

證明假設對任意的正整數n,存在有限表示Gorenstein投射模{Qn}n∈Z,使得Pn=Qn⊕Qn-1,其微分dp:Pn→Pn-1是映射

Qn⊕Qn-1→Qn-1⊕Qn-2,

(xn,xn-1)(xn-1,0),

g(Cn)?Q?n⊕Q?n-1.

因此P的可縮復形可以通過g合成,對于所有的n,其中P的n-層次上的模是有限表示Gorenstein投射子模且

Q?n⊕Q?n-1?Qn⊕Qn-1=Pn.

定理 1設R滿足(*)條件.則對任意的Gorenstein投射復形F,以下條件等價:

1)F是G-純正合的;

2) 對任意的有限表示Gorenstein投射模C,有HomR(C,F)是正合的;

3) 任意從有限表示Gorenstein投射模的右有界復形到F的鏈映射是零倫的;

4)F是正合的且對每個層次都是G-純滿的任意鏈映射f:Y→F,對任意的有限表示Gorenstein投射模的右有界復形C,鏈映射C→F可通過f分解;

5) 任意從有限表示Gorenstein投射模的右有界復形到F的鏈映射能通過有限表示Gorenstein投射模的右有界可縮復形分解;

6) 任意從有限表示Gorenstein投射模的有界復形到F的鏈映射能通過有限表示Gorenstein投射模的有界可縮復形分解;

7)F是有限表示Gorenstein投射模的有界可縮復形的一個filtered上極限.

證明1)?2) 設C是有限表示Gorenstein投射模.因為F是G-純正合的,所以對任意的n∈Z,存在GProjR模中的短正合列0→ZnF→Fn→Zn-1F→0,則

0→HomR(C,ZnF)→HomR(C,Fn)→
HomR(C,Zn-1F)→0

2)?3) 由引理6可得.

3)?4) 因為任意的從有限表示Gorenstein投射模的右有界復形到F的鏈映射是零倫的,所以對任意的R[n]也成立.故F是正合的.

設C是有限表示Gorenstein投射模的右有界復形.考慮鏈映射g:C→F.假設存在g與零映射之間的同倫Σ,使得g=dFΣ+ΣdC.因為f:Y→F是每個層次由G-純滿同態構成的鏈映射,所以在每個層次存在映射S:C→Y,使得Σ=fS.因此

h=dYS+SdC:C→Y

是一個鏈映射.又因為dYh=dYSdC=hdC,所以

fh=f(dYS+SdC)=fdYS+fSdC=
dFfS+fSdC=dFΣ+ΣdC=g.

4)?5) 設F是正合復形.構造一個對子(P,π),若對任意的n,Qn是有限表示Gorenstein投射模的直和且Qn→ZnF是G-純滿態射,則由引理4可得到如下交換圖.

0→Qn→QnQn-1 →Qn-1→0↓πn↓↓0→ZnF →Fn→ Zn-1F→0

5)?6) 設C→F是鏈映射,其中C是有限表示Gorenstein投射模構成的有界復形.由5)可知,鏈映射C→F可以通過有限表示Gorenstein投射的有界可縮復形P分解為C→P→F的合成.因為C是有界復形,所以由引理4知,Img?P′,其中P′是有限表示Gorenstein投射模的有界可縮復形.

ζ=ζ

是鏈映射,使得f是合成

其中(P,f)是中的任意對象,η(P,f)是Γ(P,f)到的自然映射.

則對子(P⊕P′,[f,f′])是中的對象且自然映射τ:P→P⊕P′和τ′:P′→P⊕P′是中的態射.因此有如下交換圖.

Pτ→ PP'τ'←P'f↓[f,f']↓ f'↓FFF

下證ζ每一個層次是滿的.

再證ζ每一個層次是單的.

γn=η(Q,g)(tn).

gn(tn)=0∈Fn.

考慮可縮鏈復形P,其中P的第n和n-1層次為R，其他層次為0.則存在唯一的鏈映射h:P→Q,其中h(1)=tn.則有范疇中的如下交換圖.

0←Ph→Q0↓0↓g↓FFF

因此可以誘導出鏈復形的交換圖.

0←Ph→QΓ(0,0)←Γ(P,0)Γ(h)→Γ(Q,g)η(0,0)↓ η(P,0)↓ η(Q,g)↓㊣lim?→ Γ㊣lim?→ Γ㊣lim?→ Γ

于是易得tn∈Kerη(Q,g).故

γn=η(Q,g)(tn)=0.

設(P,f)和(P′,f′)是中的兩個對象,a,b:(P,f)→(P′,f′)是兩個平行態射.則a,b:P→P′是兩個鏈映射,使得f′a=f=f′b.因為f′(b-a)=0,所以f′可通過C=Coker(b-a)分解為其中p是商映射.因為C是有限表示Gorenstein投射模的有界復形,所以存在有限表示Gorenstein投射模的有界可縮復形P″,使得分解為

于是有下面交換圖.

Pa,b→P'p→C?→P″f↓f'↓f'↓f″↓FFFF

故對子(P″,f″)也是的一個對象,鏈映射c=φp是ζ中從(P′,f′)到(P″,f″)的態射.因為

c(b-a)=φp(b-a)=φ0=0,

所以cb=ca.

7)?1) 設F是有限表示Gorenstein投射有界可縮復形{Pi}i∈I的filtered上極限.因為Pi是正合的且filtered上極限是正合函子,所以復形F也是正合的.因此對任意的整數n,GProjR中的短正合列0→ZnF→Fn→Zn-1F→0是可裂短正合列0→ZnPi→Pni→Zn-1Pi→0的filtered上極限.故由引理1易知,對任意的整數n,GProjR中的短正合列0→ZnF→Fn→Zn-1F→0是G-純正合的.

致謝重慶師范大學涉外商貿學院校級項目(GG2020010)對本文給予了資助,謹致謝意.