k-Noetherian半環的Ore擴張

卓遠帆, 谷勤勤

(安徽工業大學 數理科學與工程學院, 安徽 馬鞍山 243032)

Noetherian環是指在左理想和右理想上滿足升鏈條件的一種環.1893年,Hilbert[1]在研究不變量理論時首先發現了多項式環的任意理想都是有限生成的.隨后,Noether[2]在1921年從中歸納出升鏈條件.之后,越來越多的研究者開始關注這種環,如文獻[3-5]所示.一些Noetherian環的例子和性質也被相繼給出.在這些性質之中,最重要的一個結論就是：Noetherian環R的Ore擴張R[x;γ,d]也是Noetherian的,其中映射γ為R的自同構(見文獻[3]的定理2.6).

作為環的一種推廣,半環首先出現在1894年Dedekind[6]的代數數論原著中.1934年,Vandiver[7]率先給出了半環的定義,并對其進行系統研究.近年來,半環理論迅速發展,在線性代數、模糊數學等方面都有著一定的應用[8-10].同時,各種Noetherian性質也被運用到半環上.1972年,Stone[11]得到了關于半環(i.e.加法可消半環)Hilbert基定理的一種形式：令H為一個有單位元的半環,則H[x]為k-Noetherian的當且僅當D(H)為Noetherian的.這里D(H)表示H的微分環.1973年,Olson等[12]證明了k-Noetherian半環的任意詣零子半環都是冪零的.在Stone研究的基礎上,Mukherjee等[13]在1996年說明了具有單位元這個條件可以省略.2015年,Lescot[14]證明了k-Noetherian半環只有有限個極小素理想.2019年,Abuhlail等[15]證明了關于k-Noetherian半環Bass-Papp定理的一種形式.

本文首先得到半環上Hilbert基定理的一種新形式.它區別于Stone[11]和Mukherjee等[13]所提出的,并且更加接近于環上Hilbert基定理的形式.之后,通過推廣文獻[3]的定理2.6到左k-Noetherian半環上,證明左k-Noetherian半環的Ore擴張R[x;γ,d]也是左k-Noetherian的,其中映射γ為R的自同構.特別地,當Ore擴張中d為零映射時,R[x;γ]為斜多項式半環S(R).令γ為R的自同構,N(R)表示R中所有冪零元的集合,可以得到如果R是2-素的Noetherian半環,則γ(N(R))=N(R)；如果R是對稱的k-Noetherian半環,則

S(N(R))=N(S(R)).

1 預備知識

定義 1.1[16]半環是帶有2個二元運算的代數系統(R,+,·,0,1)且滿足下列條件：

1) (R,+,0)是交換幺半群；

2) (R,·,1)是幺半群；

3) 對于任意的a,b,c∈R,有a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca；

4) 對于任意的r∈R,有0·r=r·0=0；

5) 0≠1.

特別地,如果對于任意的r,r′∈R,都有r·r′=r′·r,則稱半環R是交換的.

定義 1.2[16]半環中的左(右)理想I是半環R中的一個非空子集且滿足下列條件：

1) 如果a,b∈I,則a+b∈I；

2) 如果a∈I并且r∈R,則ra∈I(ar∈I).

定義 1.3[16]半環中的理想I是指半環R中既是左理想又是右理想的非空子集.

對于任意a,b∈R,如果a∈I和a+b∈I可以推出b∈I,則稱理想I是可減的,用k-理想來表示.如果半環R的所有理想都是k-理想,則稱半環R為k-半環.

例 1.1每個環都是k-半環.

例 1.2令R={0,1,u}為一個加法冪等半環且滿足條件1+u=u+1=u.發現{0,u}是R的一個理想,但它不是可減的.所以,R不是k-半環.

定義 1.4[16]半環R中的理想I是素理想當且僅當對于任意的HK?I,這里存在H?I或者K?I,其中H和K是R的理想.

半環R中所有素理想組成的集合稱為R的譜,用Spec(R)來表示.用MinSpec(R)表示半環R中所有極小素理想的集合.

定義 1.5[17]半環R中的理想I是完全素理想,如果對于任意的a,b∈R,由ab∈I可以推出a∈I或者b∈I.

下面介紹Noetherian半環的定義和一個關于它的重要性質.

定義 1.6[16]一個半環是左(右)Noetherian的當且僅當它所有的左(右)理想滿足升鏈條件.如果一個半環既是左Noetherian的,又是右Noetherian的,則稱它是Noetherian的.

這里的升鏈條件是指在半環R中,對于一個關于左(右)理想的無限升鏈

I1?I2?…?In?…,

這里存在一個正整數N,使得對于所有n≥N,In=In+1.

命題 1.1[16]在半環R中,下列條件互相等價：

1)R是左Noetherian的；

2)R中包含任意個左理想的非空集合都有一個極大元；

3)R的每一個左理想都是有限生成的.

證明步驟見文獻[16]的命題6.16,其中1)?2)也可以用Zorn引理證明.右Noetherian半環的等價條件是類似的.

定義 1.7[15]一個半環如果在左(右)k-理想上滿足升鏈條件,則稱為左(右)k-Noetherian半環.如果一個半環既是左k-Noetherian的,又是右k-Noetherian的,則稱它是k-Noetherian的.

命題 1.2[14]半環R是k-Noetherian的當且僅當R的每一個k-理想都是有限生成的.

考慮單邊的情況,類似于命題1.1的證明方法,可以得到：半環R是左(右)k-Noetherian的當且僅當R的每一個左(右)k-理想都是有限生成的.

例 1.3半域是Noetheriank-半環(i.e.半域是指所有非零元具有乘法逆的交換半環).的確,半域的理想只有(0)及其本身,這兩個理想都是可減的,并且滿足升鏈條件.

例 1.4[15]Z+是Noetherian半環.但是,由于Z+不是k-半環,所以它不是Noetheriank-半環.這里Z+表示所有正整數的集合.

例 1.5[15]R+[x]是k-Noetherian半環,但不是Noetherian半環.這里R+表示所有正實數的集合.

2 半環上的Hilbert基定理

本節將提出半環上Hilbert基定理的一種新形式,并從中得到一些推論.

首先,回顧多項式半環的概念.假設R是一個半環,x表示一個未定元,x可與R中任意元素交換,則可用R[x]表示半環上的多項式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

其中ai∈R.稱,an為多項式的首項系數,n為多項式的次數.

下面介紹環上的Hilbert基定理(見文獻[4]的定理2.11)，如果環R是Noetherian的,則多項式環R[x]也是Noetherian的.由于半環中可能不存在加法逆,所以這個結果不可直接推廣到半環上.一個明顯的反例就是：半環R+是Noetherian的,但多項式半環R+[x]不是Noetherian的(見例1.5).因此,通過引入k-理想的概念,有如下定理,其與環上的Hilbert基定理類似.

定理 2.1如果半環R是左k-Noetherian的,則多項式半環R[x]也是左k-Noetherian的.

證明假設U是R[x]的一個左k-理想,顯然其包含0.由命題1.2的單邊情況可知,要證明R[x]是左k-Noetherian的,只需要證明U是有限生成的.注意到U中的元素都是多項式.用A來表示U中所有多項式首項系數組成的集合.推斷A是R的左k-理想.

假設a1,a2∈A,則U中存在兩個多項式a1xm+…和a2xn+…,這里的+…表示加上低次數項.令p=m+n,對第一個多項式乘xn,對第二個多項式乘xm.因此,可以得到兩個多項式a1xp+…和a2xp+…,注意這兩個多項式也在U中.由于

(a1xp+…)+(a2xp+…)∈U,

所以a1+a2∈A.再令r∈R,因為

r(a1xp+…)∈U,

所以ra1∈A.因此,A是R的左理想.又由于U是可減的,所以A也是可減的.所以,A是R的左k-理想.

因為R是左k-Noetherian的,所以A是有限生成的.因此,A=(a1,a2,…,ah).所以U中存在一群以ai為首項系數的多項式fi,其中fi=fi(x),1≤i≤h.對這些fi乘以適當的x的某次冪,可以使他們的次數相同,次數記作M.所以,fi=aixM+…,1≤i≤h.

下面考慮U中次數不超過M-1的多項式.選取這些多項式中所有M-1次項的系數作為集合B.不難發現,B為R的左k-理想且B=(b1,b2,…,bk).所以,可以在U中選取首項次數為M-1的多項式gi,其中

gi=gi(x)=bixM-1+…, 1≤i≤k.

運用同樣的方法,可以考慮U中次數不超過M-2的多項式.選取這些多項式中所有M-2次項的系數作為集合C.不難發現,C為R的左k-理想且C=(c1,c2,…,cl).所以,可以在U中選取首項次數為M-2的多項式hi,其中

hi=hi(x)=cixM-2+…, 1≤i≤l.

類似地,可以獲得U中有限個多項式

f1,f2,…,fh,g1,g2,…,gk,h1,h2,…,hl,….

將說明是這些多項式生成了U.

假設任意的φ(x)=axN+…∈U,則a∈A.所以

a=ω1a1+ω2a2+…+ωhah,ωi∈R.

如果N≥M,則

φ(x)=ω1xN-Mf1+ω2xN-Mf2+…+

ωhxN-Mfh+d(x),

這里的d(x)表示次數小于N的多項式.由于U是可減左理想且fi∈U,所以由fi+(-fi)=0∈U可以推出-fi∈U.所以,實際上這里的

d(x)=φ(x)-ω1xN-Mf1-

ω2xN-Mf2-…-ωhxN-Mfh.

如果d(x)的次數大于等于M,則需要繼續分解d(x).假設d(x)的次數為T,首項系數為t.顯然,d(x)∈U.因此,t∈A且

t=η1a1+η2a2+…+ηhah,

其中ηi∈R.因此,

d(x)=η1xT-Mf1+η2xT-Mf2+…+

ηhxT-Mfh+e(x),

其中e(x)表示次數小于T的多項式,

e(x)=d(x)-η1xT-Mf1-

η2xT-Mf2-…-ηhxT-Mfh.

如果e(x)的次數仍大于等于M,則可運用該方法繼續分解.所以,最終可以得到這樣一個多項式

φ(x)=W1(x)f1+W2(x)f2+…+Wh(x)fh+ψ(x),

其中ψ(x)∈U且ψ(x)的次數小于等于M-1.下面,將展示

ψ(x)=μ1g1(x)+μ2g2(x)+…+μkgk(x)+

ν1h1(x)+ν2h2(x)+…+νlhl(x)+…,

其中

μ1,μ2,…,μk,ν1,ν2,…,νl,…∈R.

首先,選取系數μ1,μ2,…,μk,使得

ψ(x)=μ1g1(x)+μ2g2(x)+…+μkgk(x)+k(x),

這里ψ(x)和μ1g1(x)+μ2g2(x)+…+μkgk(x)關于xM-1項有相同的系數,并且k(x)的次數為M-2.由于gi∈U且gi+(-gi)=0∈U,所以-gi∈U.所以,實際上這里

k(x)=ψ(x)-μ1g1(x)-μ2g2(x)-…-μkgk(x).

由于k(x)∈U,所以可以繼續選取系數ν1,ν2,…,νl,使得

k(x)=ν1h1(x)+ν2h2(x)+…+νlhl(x)+l(x),

這里k(x)與ν1h1(x)+ν2h2(x)+…+νlhl(x)關于xM-2項有相同的系數,并且l(x)的次數為M-3.重復這樣的步驟,不難發現ψ(x)是有限生成的.因此,U是有限生成的.所以,R[x]也是左k-Noetherian的.

注 2.1推廣定理2.1到雙邊的情形,很容易得出：如果半環R是k-Noetherian的,則多項式半環R[x]也是k-Noetherian的.特別地,當半環R為環時,k-Noetherian半環即為Noetherian環,定理2.1的雙邊情形即為環上的Hilbert基定理.

推論 2.1如果半環R是左k-Noetherian的,則多項式半環R[x1,x2,…,xn]也是左k-Noetherian的.

證明令

R0=R,Ri=R[x1,x2,…,xi], 1≤i≤n.

所以,有Ri+1=Ri[xi+1].由定理2.1可知,當Ri為左k-Noetherian時,Ri+1也是左k-Noetherian的.所以當R0是左k-Noetherian時,Ri都是左k-Noetherian的.特別地,Rn=R[x1,x2,…,xn]也是左k-Noetherian的.

推論 2.2如果半環R是左k-Noetherian的,則冪級數半環R[[x1,x2,…,xn]]也是左k-Noetherian的.

證明該證明方法類似于定理2.1.首先可以得到R[[x]]是左k-Noetherian的,其次利用數學歸納法,可以證明冪級數半環R[[x1,x2,…,xn]]也是左k-Noetherian的.

推論 2.3如果K是半域,則多項式半環K[x1,x2,…,xn]是k-Noetherian的.

證明顯然,半域是k-Noetherian半環.所以,其多項式半環也是k-Noetherian半環.

令R為一個半環,γ：R→R為R到其本身的一個態射.γ-導子d是R→R上的一個函數,它對任意的r,r′∈R滿足

d(r+r′)=d(r)+d(r′),
d(rr′)=γ(r)d(r′)+d(r)r′.

特別地,γ(1)=1,d(1)=0.可以在R[x]上定義一個新的乘法運算,即對于任意的r∈R,

xr=γ(r)x+d(r),

并且其乘法關于加法符合分配律.這樣一個半環用R[x;γ,d]表示,稱其為由γ和d構成的R的Ore擴張.下面給出一個k-Noetherian半環Ore擴張的例子.

例 3.1令F為一個半域,R=F[x]為一個交換的多項式半環,γ是R的一個自同態,其在F上恒等.因此,對于任意的多項式f∈R,γ-導子d始終可以被定義為d(x)=f.

特別地,如果取d為零映射,由R[x;γ,d]可以獲得R[x;γ],稱其為R上的斜多項式半環,用S(R)表示.在半環上推廣文獻[3]的定理1.14,有如下命題.

命題 3.1如果半環R是左k-Noetherian的,則斜多項式半環S(R)也是左k-Noetherian的,其中γ是R的一個自同構.

證明此命題實際是定理2.1的一種推廣,可以遵循定理2.1的證明步驟.但是一些證明細節需要注意,其區別于定理2.1.

第一,對任意的多項式乘以x的某次冪,需要自右乘;第二,對于右k-Noetherian半環R,證明A是R的右k-理想的過程是有區別的.

假設a1,a2∈A,則U中存在兩個多項式a1xm+…和a2xn+…,這里的+…表示加上低次數項.令p=m+n,對第一個多項式右乘xn,對第二個多項式右乘xm.因此,可以得到兩個多項式a1xp+…和a2xp+…,注意這兩個多項式也在U中.由于

(a1xp+…)+(a2xp+…)∈U,

所以a1+a2∈A.再令r∈R,因為

(a1xp+…)r=a1γp(r)xp+…∈U,

所以a1γp(r)∈A.由于想要獲得a1r∈A,所以可以用γ-p(r)代替r.由于γ是R的一個自同構,所以有

(a1xp+…)γ-p(r)=a1rxp+…∈U.

因此,a1r∈A,A是R的右理想.又由于U是可減的,A也是可減的,所以A是R的右k-理想.

推論 3.1如果半環R是左k-Noetherian的,則Ore擴張R[x;γ,d]也是左k-Noetherian的,其中γ是R的一個自同構.

證明該證明方法類似于命題3.1.唯一的不同就是xnr=γn(x)xn+…+dn(r).

推論 3.2如果半環R是左k-Noetherian,則

R[x1;γ1,d1][x2;γ2,d2]…[xn;γn,dn]

R[x1;γ1,d1][x2;γ2,d2]…[xi-1;γi-1,di-1]

的一個自同構.

證明由數學歸納法可得.

分別用N0(R)、P(R)和N(R)表示半環R所有冪零理想的和、素根(i.e.所有素理想的交)和所有冪零元素的集合.由文獻[17]的命題3.16可知,在任意半環R中,P(R)?N(R).如果

P(R)=N(R),

則稱R是2-素的.2-素半環的例子見文獻[17]的例3.12.

對于半環R,如果對任意的a,b,c∈R,abc=0可以推出acb=0,則稱R為對稱半環.如果對任意的a,b∈R,ab=0可以推出aRb=0,則稱R為半交換半環.由文獻[18]可知,對稱半環是半交換半環.

類似于詣零半交換環的定義(見文獻[19]的定義2.1),給出詣零半交換半環的定義.

定義 3.1稱半環R為詣零半交換半環,如果對任意的a,b∈N(R),ab=0可以推出aRb=0.

顯然,半交換半環是詣零半交換半環.但是,詣零半交換半環不是半交換半環,反例見文獻[19]的例2.2.

引理 3.1在詣零半交換半環R中,N(R)是一個理想.

證明假設任意的a∈N(R),且a2m=0.由于R是詣零半交換的,則對任意的r∈R,有

amram=0.

顯然,am-1,aram∈N(R).因此,通過詣零半交換性,有am-1raram=0.又因為

am-1(ra)2,am-1∈N(R),

所以通過詣零半交換性,有

am-1(ra)2ram-1=0.

又因為am-1(ra)3,am-2∈N(R),所以通過詣零半交換性,有

am-1(ra)3ram-2=0.

重復這樣的步驟,有am-1(ra)m+1=0.等式兩邊左乘rm-1,有(ra)2m=0.因此,ra∈N(R).類似地,有ar∈N(R).

假設任意的a,b∈N(R),且am=0,bn=0.令k=m+n+1,則有

(a+b)k=∑ai1bj1ai2bj2…aisbjs.

其中,

0≤i1,i2,…,is,j1,j2,…,js≤k,

并且

i1+i2+…+is+j1+j2+…+js=k.

如果i1+i2+…+is≥m,則有

ai1ai2…ais=ai1+i2+…+is=0.

又因為對于任意的0≤p≤s,aip∈N(R),所以由于詣零半交換性,有ai1bj1ai2bj2…aisbjs=0.如果

i1+i2+…+is

則有j1+j2+…+js≥n.因此,bj1+j2+…+js=0.類似地有

ai1bj1ai2bj2…aisbjs=0.

所以,(a+b)k=0.因此,N(R)為詣零半交換半環的一個理想.

命題 3.2詣零半交換半環R是2-素的.

證明只需要證明N(R)?P(R).假設任意的a∈N(R).由引理3.1可知,N(R)是R的一個理想,從而RaR?N(R).由于R是詣零半交換半環,RaR是R的一個冪零理想.所以

RaR∈N0(R)?P(R).

因此,每一個冪零元都包含在任意素理想中.

所以對于上述幾種非交換半環,存在如下關系

對稱?半交換?詣零半交換?2-素.

介紹下面的引理.

引理 3.2[12]如果半環R在左k-理想和右k-理想上滿足升鏈條件,則R的任意詣零子半環是冪零的.

命題 3.3如果R是一個2-素的Noetherian半環,則γ(N(R))=N(R),其中γ是R的一個自同構.

證明用N表示N(R).顯然,N和γ(N)都是R的理想.由于R是Noetherian的,所以γ(N)?N.因此,由引理3.2可知,γ(N)是R的冪零理想.令n∈N,則由γ是R的自同構可知,這里存在一個a∈R使得n=γ(a).所以

I=γ-1(N)={a∈R|γ(a)=n∈N}

是R的一個理想.顯然,I是冪零的.所以,I?γ(N),這意味著N?γ(N).所以,γ(N)=N.

引理 3.3如果R是一個對稱的k-Noetherian半環,則任意極小素理想是完全素理想,且為k-理想.

證明令u∈R,用r(u)表示u的右零化子.假設任意的Pi∈MinSpec(R),由文獻[14]的定理4.1可知,在k-Noetherian半環中,存在u∈R{0},使得任意的Pi=r(u),且為k-理想.下面證明Pi是完全素的.

假設任意的ab∈Pi,則有uab=0.因為R是對稱半環,所以有uba=0.所以ba∈r(u)=Pi.所以由文獻[16]的推論7.5可知,Pi是完全素的.

對于任意的Pi∈MinSpec(R),可以得到

γt(Pi)∈MinSpec(R),

其中t為任意整數且t≥1.由于MinSpec(R)在k-Noetherian半環中有限(文獻[14]命題6.7),所以

MinSpec(R)={P1,P2,…,Pn}.

顯然,這里存在某個正整數mi使得

γmi(Pi)=Pi,

其中1≤i≤n.所以,令u=m1m2…mn,則對于任意的Pi∈MinSpec(R),有γu(Pi)=Pi.因此,推廣文獻[5]的命題2到半環上,有如下命題.

命題 3.4如果R是一個對稱的k-Noetherian半環,則S(N(R))=N(S(R)),其中γ是R的一個自同構.

證明顯然,有S(N(R))?N(S(R)).將證明N(S(R))?S(N(R)).令

所以,存在k>0使得fk=0.因此,由(amxm)k=0可知

am·γm(am)·γ2m(am)…γ(k-1)m(am)·xkm=0.

因此,對于任意的Pi∈MinSpec(R),

am·γm(am)·γ2m(am)…γ(k-1)m(am)=0∈Pi.

這里存在兩種情況：1)u≥m；2)m≥u.

如果u≥m,有

am·γu(am)·γ2u(am)…γ(k-1)u(am)∈Pi.

所以由引理3.3可知,存在某一正整數j(1≤j≤k),使得γ(k-j)u(am)∈Pi.所以,對于任意的

Pi∈MinSpec(R),

有am∈γ-(k-j)u(Pi)=Pi.因此,

am∈P(R)=N(R).

所以,

amxm∈S(N(R))?N(S(R)).

因為Pi是R的k-理想且

am+(-am)=0∈Pi,

所以,由am∈Pi可以推出-am∈Pi,即-am∈R.又因為amxm∈N(S(R)),所以

-amxm∈N(S(R)).

因此,

再重復上述步驟,可以得到

ai∈P(R)=N(R),

其中0≤i≤m-1.因此,f∈S(N(R)),這意味著

N(S(R))?S(N(R)).

第二種情況證明過程與第一種類似.