基于非最大糾纏態的非對稱雙向隱形傳態及優化

肖鈞勻, 柏明強, 李文靖, 劉芷儀

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

量子通信是量子論與通信論相結合的一門新興交叉科學,主要涉及量子隱形傳態[1-4]、量子超密編碼[5]、量子態分享[6-9]、量子信息集中[10-11]等研究領域,其中量子隱形傳態又是最引人矚目的課題之一.

量子隱形傳態是利用量子糾纏在量子通信領域中最奇妙的應用,能實現瞬時離物傳輸.1993年Bennett[1]等就提出了量子隱形傳態的概念:一種利用經典信道和量子糾纏資源實現遠程傳態的方式.在這開創性工作之后,研究者利用不同類型的量子通道,提出了許多傳送未知量子態的方案,比如單向隱形傳態[12]、單向受控隱形傳態[13]、雙向隱形傳態[14-16]等.結合受控和雙向隱形傳態思想,2013年Zha等[17]提出了第一個量子雙向受控隱形傳態方案:信息傳輸的兩方在第三方的控制下,可以同時交換他們的任意單粒子未知態.量子雙向受控隱形傳態作為量子隱形傳態的一個新的方向,得到極大關注.此后,一些學者提出以不同量子糾纏態為信道的相互傳輸量子態的若干方案[18-24].其中非對稱的雙向受控隱形傳態方案是由Zhang等[23]于2015年首先提出,該方案以7粒子最大糾纏態為信道,在監控者的控制下,Alice傳送她的單量子態給Bob,同時,Bob也能傳送他的二量子態給Alice.在2019年,彭家寅[24]提出9量子團簇態信道的非對稱的雙向量子信息傳輸方案,其優點是Alice采用特殊的測量基,使得選擇的信道粒子數相對更少,提高了傳輸效率.上述研究從多方面驗證非對稱的雙向隱形傳態具有重要研究意義.

目前,針對非對稱雙向隱形傳態的研究成果中,還沒有一般性結論,本文先討論通信雙方同時傳輸不同粒子數的雙向隱形傳態,特別地,以n=2,m=1 給出具體形式.在此基礎上,通過分析發現可以使信道粒子數減少,從而得到更優方案.

1 基于非最大糾纏態為信道的非對稱雙向隱形傳態

假設Alice,Bob 分別有待傳態為:

|ψ〉x1x2…xn=

(a|00…0〉+b|11…1〉)x1x2…xn,

|ψ〉y1y2…ym=

(c|00…0〉+d|11…1〉)y1y2…ym,

(1)

其中非零復數a,b,c,d滿足|a|2+|b|2=1,|c|2+|d|2=1.他們共享一個(2n+2m)粒子態的量子信道:

|ψ〉12…2n+2m=(a1|00〉+b1|11〉)12?…?

(an+m|00〉+bn+m|11〉)(2n+2m-1)(2n+2m).

(2)

其中m,n∈Z+,非零復數a1,a2,…,an+m,b1,b2,…,bn+m滿足

|a1|2+|b1|2=1, |a2|2+|b2|2=1,
…, |an+m|2+|bn+m|2=1,

規定|ai|<|bi|(i=1,2,…,n+m),|aj|<|aj+1|(j=1,2,…,n+m-1).為了實現非對稱雙向隱形傳態,需要進行如下步驟.

步驟1信道制備階段.要實現非對稱雙向隱形傳態,需本地制備(2n+2m) 粒子糾纏態信道.通過對初始態|00…0〉12…2n+2m中序號為1,3,…,2n+2m-1的粒子進行Hardmard操作,再對粒子對(1,2),(3,4),…,(2n+2m-1,2n+2m)進行受控非門操作,則能成功制備該信道.具體操作流程如下.

對序號為1,3,…,2n+2m-1的粒子進行Hardmard操作,結果初始態變為

(|00〉+|10〉)?…?(|00〉+|10〉)12…2n+2m.

對粒子對(1,2),(3,4),…,(2n+2m-1,2n+2m)進行受控非門操作,其中1,3,…,2n+2m-1為控制比特,結果為

則本地制備成功.制備過程如圖1.

圖1 (2n+2m)粒子糾纏態制備

步驟2測量階段.粒子x1,x2,…,xn,1,3,…,2n+2m-1屬于Alice,粒子y1,y2,…,ym,2,4,…,2n+2m屬于Bob,整個系統態可表示為

|ψ〉t=

|ψ〉x1x2…xn?|ψ〉y1y2…ym?|ψ〉12…2n+2m.

(3)

Alice對粒子對(x1,1),(x2,3),…,(xn,2n-1)實施Bell測量,同時Bob對粒子對(y1,2n+2),(y2,2n+4),…,(ym,2n+2m)實施Bell測量,測量結果共有4n+m種,其中Bell基為

|B

步驟3經典信息傳輸階段.Alice將她測量結果編碼成經典信息,通過經典信道發送給Bob;同時,Bob將他測量結果編碼成經典信息,通過經典信道發送給Alice.編碼規則如下:

|B00〉→00, |B01〉→01,

|B10〉→10, |B11〉→11.

步驟4重構量子態階段.Bob根據Alice的測量結果,分別對粒子2,4,…,2n實施相應的幺正變換.同時,Alice根據Bob的測量結果,分別對粒子2n+1,2n+3,…,2n+2m-1實施相應的幺正變換.規則如下:

00 →δI, 01 →δx, 10→δz, 11→iδy.

注意:

δI=|0〉〈0|+|1〉〈1|,δz=|0〉〈0|-|1〉〈1|,
δx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,iδy=|0〉〈1|-|1〉〈0|.

例如,Alice的測量結果為|B10〉x1,1,|B10〉x2,3,…,|B10〉xn,2n-1,Bob的測量結果為|B10〉y1,2n+2,|B10〉y2,2n+4,…,|B10〉yn,2n+2m,余下粒子坍塌為

(-1)

(-1)

根據收到的測量結果,Bob需對粒子(2,4,…,2n)進行幺正變換δz2?δz4?…?δz2n,同時,Alice需對粒子(2n+1,2n+3,…,2n+2m-1)進行幺正變換δz2n+1?δz2n+3?…?δz2n+2m-1,可得到

(4)

為重建最初的粒子態,Bob和Alice應分別引進一個初始態為|0〉B和|0〉A的二能級粒子B和A,并分別對(4)式在基矢|00〉2B,|01〉2B,|10〉2B,|11〉2B和|00〉(2n+1)A,|01〉(2n+1)A,|10〉(2n+1)A,|11〉(2n+1)A實施如下幺正變換U1和U2:

(4)式演化為

d|1…1〉)2n+1,…,2n+2m-1|0〉A+

d|1…1〉2n+1,…,2n+2m-1|1〉A].

對于Alice和Bob的其他的測量結果,Bob和Alice只需根據接收到的測量結果分別對粒子(2,4,…,2n)和粒子(2n+1,2n+3,…,2n+2m-1)實施相應的幺正變換,并引入一個輔助粒子再做一次單粒子測量,即可以通過一定概率分別恢復出Alice和Bob想傳輸的粒子態.特別地,當信道為最大糾纏態時,即

雙方成功率達到1.

當n=2,m=1 時,Alice,Bob 分別有待傳態為:

|ψ〉x1x2=(a|00〉+b|11〉)x1x2,

|ψ〉y1=(c|0〉+d|1〉)y1,

(7)

其中非零復數a,b,c,d滿足

|a|2+|b|2=1, |c|2+|d|2=1.

他們共享一個6粒子非最大糾纏態的量子信道,其量子信道為

|ψ〉123456=

(c1|0000〉+c2|0011〉+c3|1100〉+

c4|1111〉)1234?(a3|00〉+b3|11〉)56.(8)

其中非零復數c1,c2,c3,c4,a3,b3滿足

|c1|=|a1a2|, |c2|=|a1b2|, |c3|=|a2b1|,
|c4|=|a2b2|, |a1|2+|b1|2=1,
|a2|2+|b2|2=1, |a3|2+|b3|2=1,

規定

|ai|<|bi|(i=1,2,3), |aj|<|aj+1|(j=1,2),

顯然Alice傳送成功總概率為2|c1|2+2|c2|2,Bob傳送成功總概率為2|a3|2.若對應的信道為最大糾纏態,則非對稱雙向傳態成功傳送的概率為1.

2 基于4粒子糾纏態為信道的非對稱雙向隱形傳態

本節考慮Alice和Bob分別同時互傳2粒子態和單粒子態給對方,采用粒子數更少的信道,如4粒子態.

假設Alice和Bob分別有待傳態為

|ψ〉12=(a|00〉+b|11〉)12,

|ψ〉3=(c|0〉+d|1〉)3,

(9)

其中非零復數a,b,c,d滿足

|a|2+|b|2=1, |c|2+|d|2=1.

他們共享一個4粒子非最大糾纏態的量子信道,其量子信道為

|ψ〉4567=(a1a2|0000〉+a1b2|0111〉+

b1a2|1000〉+b1b2|1111〉)4567.

(10)

其中非零復數a1,b1,a2,b2滿足

|a1|2+|b1|2=1, |a2|2+|b2|2=1,

且規定|a1|<|b1|,|a2|<|b2|,為了實現非對稱雙向隱形傳態,需進行以下步驟.

步驟1測量階段.假設粒子1,2,4,5屬于Alice,粒子3,6,7屬于Bob.整個系統態可表示為:

|ψ〉t=|ψ〉12?|ψ〉3?|ψ〉4567.

(11)

下列8個GHZ態構成三粒子正交基:

Alice需要對粒子2施行Hadamard操作,然后用三粒子正交基對粒子對(1,2,5)實施測量,同時Bob對粒子3實施單粒子投影測量，可想而知測量結果有16種.

步驟2經典信息傳輸階段.Alice將他測量結果編碼成經典信息,通過經典信道發送給Bob,同時,Bob將他測量結果編碼成經典信息,通過經典信道發送給Alice.編碼規則如下:

|-〉,|γ+〉→0000; |δ-〉,|λ+〉→0101;

|γ-〉,|+〉→0010; |λ-〉,|δ+〉→0011.

步驟3重構量子態階段.Bob根據Alice的測量結果,對粒子(6,7)實施相應的幺正變換,同時,Alice根據Bob的測量結果,對粒子(4)實施相應的幺正變換.規則如下:

00 →δI, 01 →δx, 10→δz, 11→iδy.

注意:

δI=|0〉〈0|+|1〉〈1|,δz=|0〉〈0|-|1〉〈1|,
δx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,iδy=|0〉〈1|-|1〉〈0|.

不失一般性,假設Alice的測量結果為|λ+〉1,2,5,Bob的測量結果為|0〉3,余下粒子坍塌為

根據收到的測量結果,Bob對粒子(6,7)進行幺正變換δx6?δx7,同時,Alice對粒子(4)進行幺正變換δI4可得

c(a1|0〉+b1|1〉)4.

(12)

為重建最初的粒子態,Bob和Alice需分別引進一個初始態處于|0〉B和|0〉A的二能級粒子B、A,并分別對(13)式在基矢|00〉6B,|01〉6B,|10〉6B,|11〉6B和|00〉4A,|01〉4A,|10〉4A,|11〉4A實施如下幺正變換U3和U4:

(13)式演化為

[a1(c|0〉+d|1〉)4|0〉B+

同理,對于Alice和Bob的其他的測量結果,Bob和Alice只需根據接收到的測量結果分別對粒子(6,7)和粒子(4)實施相應的幺正變換,并引入一個輔助粒子再做一次單粒子測量,即可分別恢復Alice和Bob想傳輸的粒子態,傳送成功的總概率分別為2|a2|2和2|a1|2.特別地,當信道為最大糾纏態時,雙方成功率達到1.

3 結論

表1 傳輸效率比較

上面的方案可以有效地提升量子隱形傳態的效率,相信未來一定存在提升量子通信的效率的更優方案.同時，多發送方、多接收方和多控制方的情況在量子隱形傳態中將會越來越普遍,理想情況下,控制方的加入能夠極大提高整個過程的安全性,所以我們會在這方向上做更多的工作.